廣東省惠州仲愷中學(xué)(516229) 陳偉流

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào):教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,敢于質(zhì)疑、善于思考,理念概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈,建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)[1]. 以幾何與代數(shù)模塊主線(xiàn)為例,教師在解析幾何模塊的教學(xué)活動(dòng)中,要特別引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同試題在數(shù)學(xué)背景上的邏輯關(guān)聯(lián)性,引導(dǎo)學(xué)生在整體上理解,從系統(tǒng)中掌握所學(xué)知識(shí),把握其通性通法,促使數(shù)學(xué)知識(shí)在邏輯上成為深度關(guān)聯(lián)的整體,從而有利于學(xué)生形成相關(guān)數(shù)學(xué)命題或模型,進(jìn)一步以高階思維認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系,從而促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)好學(xué)科抽象思維. 基于此,筆者以一道市聯(lián)考解析幾何試題為例,通過(guò)深入分析試題的一般背景及其關(guān)聯(lián)的推廣性質(zhì),闡述點(diǎn)滴教學(xué)心得,以期與讀者交流.

1 試題再現(xiàn)

題目(2023 屆湖北七市(州) 聯(lián)考) 如圖1, 已知橢圓的右頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作斜率不為零的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),連接AM,AN分別交直線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)F且垂直于MN的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)R.

圖1

(1)求證:點(diǎn)R為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn);

(2)記?MPR,?MRN,?NRQ的面積分別為S1,S2,S3,試探究:是否存在實(shí)數(shù)λ使得λS2=S1+S3? 若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)略;(2)存在使得λS2=S1+S3,過(guò)程略.

評(píng)注試題以直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系為切入基礎(chǔ),考查函數(shù)與方程,轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,注重運(yùn)算求解,邏輯思維等基本關(guān)鍵能力的培養(yǎng),以定值的考查形式傳達(dá)出新課標(biāo)理念下對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理,數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的試題命制導(dǎo)向,蘊(yùn)含數(shù)學(xué)探索和理性思維的育人宗旨,彰顯著試題區(qū)分度大,選拔性強(qiáng),示范性高等鮮明特點(diǎn),在高考備考工作具備典型的選材參考與二次開(kāi)發(fā)的研究?jī)r(jià)值.

2 一般背景

注意到橢圓的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(xiàn)是一對(duì)特殊的極點(diǎn)與極線(xiàn),直線(xiàn)MN,RF斜率積為定值,故筆者初步判斷此為產(chǎn)生中點(diǎn)屬性及面積成等差問(wèn)題的先決條件. 為此,筆者將橢圓背景中的所有要素進(jìn)行一般化處理,進(jìn)一步深入探索,有

性質(zhì)1已知橢圓的右頂點(diǎn)為A, 過(guò)定點(diǎn)E(t,0)(t /= 0 且|t| < a) 且斜率不為零的直線(xiàn)l交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),連接AM,AN分別交直線(xiàn)于P(x3,y3),Q(x4,y4) 兩點(diǎn), 點(diǎn)R在直線(xiàn)上且直線(xiàn)RE,MN斜率積為定值記?MPR,?MRN,?NRQ的面積分別為S1,S2,S3,則R是線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)且

證設(shè)直線(xiàn)MN方程為由得

聯(lián)立直線(xiàn)lMN:x=my+t與橢圓的方程得(m2b2+a2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,則

考慮lAM:與x=a2/t交點(diǎn)得;同理得Q

則

故R是線(xiàn)段PQ的中點(diǎn).

點(diǎn)R到lMN的距離為故

由于

注當(dāng)E為橢圓的焦點(diǎn)時(shí), 有kRE · kMN=-1, 即RE⊥MN,此時(shí)(e為橢圓的離心率),這便是本試題的一般命制背景.

注意到試題載體中點(diǎn)R關(guān)聯(lián)著動(dòng)點(diǎn)P,Q及直線(xiàn)RM,RN,RO,RE, 若立足極點(diǎn)極線(xiàn)知識(shí)理論為研究基礎(chǔ)點(diǎn),在知識(shí)深度上能否探索出更多結(jié)構(gòu)和諧對(duì)稱(chēng)的優(yōu)美性質(zhì)呢? 進(jìn)一步在知識(shí)廣度上類(lèi)比到圓錐曲線(xiàn)體系(雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)),類(lèi)似的相關(guān)性質(zhì)是否仍成立? 如何從知識(shí)高度的本質(zhì)上認(rèn)識(shí)拋物線(xiàn)與橢圓(雙曲線(xiàn))載體中性質(zhì)的異同性?

3 性質(zhì)拓展

性質(zhì)2如圖2, 已知橢圓0) 的右頂點(diǎn)為A, 過(guò)定點(diǎn)E(t,0)(t /= 0 且|t| < a) 且斜率不為零的直線(xiàn)l交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn), 連接AM,AN分別交直線(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)R在直線(xiàn)上且直線(xiàn)RE,MN斜率積為定值則有

圖2

(2)以PQ為直徑端點(diǎn)的動(dòng)圓過(guò)x軸上的雙定點(diǎn);

(3)直線(xiàn)OR平分弦MN;

(4)直線(xiàn)RM,RN均與橢圓相切;

(5)設(shè)直線(xiàn)PA,PN,RE的斜率分別為k1,k2,k3,則有為定值.

故

(2)以線(xiàn)段PQ為直徑端點(diǎn)的圓方程為

令y= 0 得即x=故動(dòng)圓恒過(guò)定點(diǎn)

(3) 設(shè)弦MN的中點(diǎn)為D, 由橢圓的垂徑定理知kOR,故O,D,R三點(diǎn)共線(xiàn),即OR平分弦MN.

(4)橢圓在點(diǎn)M(x1,y1)處的切線(xiàn)方程為聯(lián)立得=yR,即直線(xiàn)RM與橢圓相切;同理可證直線(xiàn)RN也與橢圓相切.

(5) 設(shè)B(-a,0) 為橢圓的左頂點(diǎn). 首先證明:且P,N,B三點(diǎn)共線(xiàn).

實(shí) 際 上, 由(?) 知聯(lián)立得

故P,N,B三點(diǎn)共線(xiàn).

故

故

4 類(lèi)比推廣

基于圓錐曲線(xiàn)知識(shí)體系的統(tǒng)一關(guān)聯(lián)性,將上述探索背景進(jìn)一步推廣到雙曲線(xiàn)及拋物線(xiàn),有

性質(zhì)3如圖3,已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A,過(guò)定點(diǎn)E(t,0)(t /= 0 且|t| > a)且斜率不為零的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn), 連接AM,AN分別交直線(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)R在直線(xiàn)上且直線(xiàn)RE,MN斜率積為定值則

(1)點(diǎn)R為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)且OR平分弦MN;

(3)P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值且以PQ為直徑端點(diǎn)的動(dòng)圓過(guò)x軸上的雙定點(diǎn)

(4)直線(xiàn)RM,RN均與雙曲線(xiàn)相切;

(5) 記?MPR, ?MRN, ?NRQ的 面 積 分 別 為

(6)設(shè)直線(xiàn)PA,PN,RE的斜率分別為k1,k2,k3,則有為定值同樣地,對(duì)于雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn),則有的結(jié)論.

注雙曲線(xiàn)載體中性質(zhì)的證明與橢圓類(lèi)似,故在此從略.

圖3

圖4

性質(zhì)4如圖4, 已知拋物線(xiàn)y2= 2px(p >0) 的頂點(diǎn)為O,過(guò)定點(diǎn)E(t,0)(t >0)且斜率不為零的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),連接OM,ON分別交直線(xiàn)x=-t于P(x3,y3),Q(x4,y4)兩點(diǎn),點(diǎn)R在直線(xiàn)x=-t且直線(xiàn)RE,MN斜率積為則

(1)y1=y3,y2=y4;

(2)P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值且以PQ為直徑端點(diǎn)的動(dòng)圓過(guò)x軸上的雙定點(diǎn);

(3)點(diǎn)R為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)且直線(xiàn)RM,RN均與拋物線(xiàn)相切;

(4) 記?MPR, ?MRN, ?NRQ的 面 積 分 別 為S1,S2,S3,有

證聯(lián)立則y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.

(2)由(1)知y3y4=y1y2=-2pt,故以PQ為直徑端點(diǎn)的動(dòng)圓方程為(x+t)2+(y-y3)(y-y4) = 0. 令y= 0 得即動(dòng)圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)

(3)由kRE ·kMN=知直線(xiàn)RE方程為lRE:y=聯(lián)立

注基于橢圓(雙曲線(xiàn)) 在幾何圖形上“有心”屬性, 拋物線(xiàn)載體中并未能出現(xiàn)如性質(zhì)2 與性質(zhì)3 中“OR平分弦MN”與“斜率差積為定值”的優(yōu)美結(jié)論,但也正因拋物線(xiàn)中極點(diǎn)極線(xiàn)的特殊對(duì)稱(chēng)性,使其既承接關(guān)聯(lián)著橢圓(雙曲線(xiàn))的相關(guān)性質(zhì),又展示出自身性質(zhì)更加獨(dú)特的一面,可見(jiàn),在課堂實(shí)踐中,若能帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷推廣論證的過(guò)程,站在知識(shí)的高度上明晰不同載體間性質(zhì)的異同性,便能自然地培養(yǎng)具有辯證觀點(diǎn)的認(rèn)知抽象思維.

4 結(jié)束語(yǔ)

隨著“三新”背景高考改革的實(shí)施與推廣,高考試題命制的定位已悄然從能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)導(dǎo)向. 以解析幾何模塊的常規(guī)教學(xué)為例, 教師不能只是對(duì)眾多數(shù)學(xué)結(jié)論作簡(jiǎn)單表述,而是應(yīng)該在知識(shí)深度的層面上重視并體現(xiàn)相關(guān)結(jié)論產(chǎn)生的背景及其形成發(fā)展的過(guò)程,在分析論證的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生在深度上主動(dòng)探討,在廣度認(rèn)識(shí)構(gòu)建,在高度上充分理解,促使學(xué)生厘清知識(shí)本源方面的來(lái)龍去脈,從而才能引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展并培養(yǎng)好具有高觀點(diǎn)的學(xué)科抽象思維.