文 /陳玉榮

數(shù)形結合思想是數(shù)學學科的基本思想方法，是以數(shù)和形關系為基礎，借助數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法[1]。眾所周知，數(shù)學的研究對象是數(shù)與形。小學數(shù)學四大領域均建立在數(shù)與形的基礎上。在形的輔助下，學生可以認知數(shù)；在數(shù)的助力下，學生可以理解形。

然而，在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，部分教師忽視數(shù)學學科特點，機械地灌輸數(shù)學知識點，忽視數(shù)形結合思想的滲透，導致大部分學生知其然不知其所以然，影響了學習興趣、學習質(zhì)量，甚至承受了過重的課業(yè)負擔、心理壓力。針對此情況，小學數(shù)學教師有必要滲透數(shù)形結合思想。

一、滲透數(shù)形結合思想的必要性

（一）數(shù)形結合思想的教育價值

1.提高學生的思維能力

在成長的過程中，個體的認知結構也在不斷重組、改造。依據(jù)個體的認知發(fā)展特點，皮亞杰將認知發(fā)展分為四個階段。小學生的認知發(fā)展處于具體運算階段和形式運算階段。在這兩個階段，小學生的形象思維較發(fā)達，往往依賴實物、直觀形象來建立認知。在實物、直觀形象的助力下，他們獲得邏輯運算、推理機會，有利于發(fā)展邏輯思維能力。數(shù)形結合思想能借助直觀的形（實物、圖像、線段、圖形等）展現(xiàn)抽象的事物，使學生發(fā)揮形象思維作用，克服種種認知障礙，建立良好的數(shù)學認知[2]。

2.優(yōu)化學生的認知結構

建構認知結構其實是聯(lián)系新舊知識的過程。無論何種認知結構，都可以用符號、圖像、動作進行表征，但對大部分小學生來說，數(shù)學邏輯性強、抽象程度高，很難理解。教師滲透數(shù)形結合思想能夠借助直觀的圖像、線段等，展現(xiàn)不同知識點之間的聯(lián)系，助力學生建構數(shù)學認知[3]。

3.增強學生的問題解決能力

解決數(shù)學問題是數(shù)學學科的重要活動，也是學生學習數(shù)學的目的之一。數(shù)形結合思想作為“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的手段，可以使學生借助具體的形象表征來分析、解決復雜的數(shù)學問題[4]。例如，在解決數(shù)學應用題時，學生可以把握關鍵信息，繪制線段圖、示意圖等，直觀地展現(xiàn)數(shù)量關系，把握問題本質(zhì)，理清問題解決思路，繼而列式、運算，解決問題。長此以往，學生會扎實掌握問題解決方法，積累問題解決經(jīng)驗，提升問題解決能力。

4.培養(yǎng)學生的審美情趣

從數(shù)學研究歷史上看，在很長的一段時間內(nèi)，“數(shù)”與“形”處于割裂狀態(tài)。在解析幾何創(chuàng)立之后，“數(shù)”與“形”實現(xiàn)結合。二者的結合展現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美、統(tǒng)一美、和諧美等，如可以用直觀的“形”展現(xiàn)抽象復雜的“數(shù)”（文字、數(shù)、方程等）。學生在長期學習和應用數(shù)形結合思想的過程中，不僅可以建構深刻的數(shù)學認知，還可以在不知不覺中受到數(shù)學多元美的熏陶，有利于培養(yǎng)良好的審美情趣。

（二）新課標要求

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）是數(shù)學教學的導向。《課程標準》強調(diào)了數(shù)學學科的抽象性，提出直觀化教學要求。在教學中，教師要引導學生從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學知識，從具體事物中抽象出簡單的幾何體和平面圖形。同時，《課程標準》在過去“雙基”的基礎上增加了數(shù)學基本思想、基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。這些要求均強調(diào)了數(shù)形結合思想的重要性。

綜上所述，教師在小學數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想，能在降低數(shù)學學習難度的基礎上，讓學生在知識、方法、能力等方面有所發(fā)展，實現(xiàn)數(shù)學教學提質(zhì)增效。所以，小學數(shù)學教師應采用適宜的策略滲透數(shù)形結合思想。

二、滲透數(shù)形結合思想的策略

（一）以形助數(shù)

1.以形助數(shù)，掌握數(shù)學概念

數(shù)學概念是數(shù)學學科的基礎內(nèi)容，具有概括性、抽象性[5]。在學習數(shù)學概念時，學生要分析、對比大量實例，發(fā)現(xiàn)其統(tǒng)一屬性。形是學生進行對比的助力。教師可以依據(jù)具體的數(shù)學概念，呈現(xiàn)相關的形，引導學生觀察、對比，歸納統(tǒng)一屬性，認知數(shù)學概念。

例如，在“千以內(nèi)數(shù)的認識”這節(jié)課上，學生要了解計數(shù)單位之間的關系。對此，教師可以操作電子白板，先后展示一個小立方體、十個小立方體、一百個小立方體、一千個小立方體，而學生認真觀察小立方體從一到千的數(shù)量變化過程。在此過程中，教師可以引導學生對比不同的模型，讓學生分析它們之間的關系。在對比時，很多學生會發(fā)揮形象思維作用，發(fā)現(xiàn)“十個1 是10，十個10 是100，十個100 是1000”?；诖?，學生會在腦海中建立“十進制”的概念。教師可以趁機介紹計數(shù)單位之間的十進制關系，使學生建構清晰的認知。這樣學習數(shù)學概念更高效。在這一過程中，學生可以在腦海中建立深刻的直觀表象，提高記憶水平，同時汲取學習經(jīng)驗，學會借助形學習數(shù)。

2.以形助數(shù)，化解學習難點

“數(shù)形結合”不僅是一種數(shù)學思想，而且是一種切實可行的數(shù)學學習方法。在學習數(shù)學時，學生受到思維能力、認知水平等因素的影響，會遇到諸多學習難點，如數(shù)學概念、復雜的數(shù)學運算等。教師可以發(fā)揮數(shù)形結合思想的作用，引導學生刻畫形，展現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象，并進行觀察、分析、歸納，逐步得出數(shù)學結論，輕松化解學習難點。

例如，在教學“異分母分數(shù)加減法”時，教師可以先呈現(xiàn)情境圖，引導學生觀察、思考、列式?；趯W生的列式結果，教師可以鼓勵他們對比所學，發(fā)現(xiàn)不同之處。在已有認知的支撐下，學生很容易發(fā)現(xiàn)所列出的算式是異分母分數(shù)加法。教師可以趁機引導學生思索異分母分數(shù)加法的計算方法。

在學生沒有解題思路的情況下，教師可以鼓勵他們拿出一張長方形紙，將它對折，為其中二分之一的部分涂色。在學生涂色后，教師可以引導他們繼續(xù)對折這張紙，為其中四分之一的部分涂色。面對操作成果，學生認真觀察，很容易發(fā)現(xiàn)“兩次涂色的部分一共占了這張紙的四分之三”。一些認知水平較高的學生會發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)“二分之一是兩個四分之一”，“二分之一加四分之一是四分之三”。教師可以引導學生分析此過程和結果。在分析時，學生不斷觀察涂色情況，回想自己的發(fā)現(xiàn)，確定“在進行異分母分數(shù)加法計算時，需要將兩個分數(shù)的分母化成同一個數(shù)”。這時，教師可以引出“通分”這一概念。與此同時，教師可以操作電子白板，演示類似現(xiàn)象。學生通過不斷觀察、思考，得出結論——在進行異分母分數(shù)加法計算時，要先通分，再進行同分母分數(shù)加法計算。如此學習使學生輕松掌握了算理，提高了數(shù)學運算水平。

3.以形助數(shù)，解決數(shù)學問題

善于解決數(shù)學問題不是指善于遵循一定的標準來解決問題，而是能獨立思考，使用恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題[6]。數(shù)形結合是學生解決數(shù)學問題的助手，學生通過繪制線段圖，可以直觀地發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關系，順利解決問題。又如，學生通過繪制圖像、圖表等，可以直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中蘊含的規(guī)律，找到解決問題的方法。對此，小學數(shù)學教師可以引導學生借助形來解決數(shù)學問題。

例如，在學習“倍的認識”時，學生要解決應用題：“超市的一盒軍棋8 元，一盒象棋是軍棋價格的4 倍。請問，一盒象棋多少錢？”在剛剛認知“倍”的概念的情況下，大部分學生面對這個應用題很容易摸不著頭腦。這時，教師可以指導他們繪制線段圖。教師可以引導學生將8 元看作一個線段。學生會遷移課堂認知，畫出4 段同樣長的線段，展現(xiàn)“一盒象棋是軍棋價格的4 倍”的含義。在直觀、清晰的線段圖的作用下，學生發(fā)散思維，轉(zhuǎn)化數(shù)學問題，如“求象棋的價格，就是在求4 盒軍棋的價格”。如此一來，學生可以輕松列出算式：8×4，得出結果：32。教師可以依據(jù)學生的問題解決情況，總結解題方法——畫線段圖，強化認知。同時，教師可以呈現(xiàn)其他類似問題，鼓勵學生自主解決。在解決問題后，大部分學生利用線段圖展現(xiàn)問題中的條件，獲取數(shù)量關系并列式、計算。學生體驗這樣的數(shù)學問題解決活動，切實掌握了方法，建構了以形助數(shù)的認知，有利于今后解決數(shù)學問題。

（二）以數(shù)輔形

1.以數(shù)輔形，感知圖形特點

盡管幾何圖形的性質(zhì)具有直觀性，但是在缺乏量化分析的情況下，學生對圖形的特征是難以判斷的。對此，小學數(shù)學教師應引導學生借助數(shù)來分析形，把握數(shù)量關系，確定圖形的特點，增強對圖形的認知。

例如，在教學“長方形和正方形”時，教師可以為學生提供大小不同的長方形模型，引導學生觀察、測量，建立表格，展現(xiàn)每個長方形模型的長、寬、角等信息。在操作的過程中，學生獲得數(shù)據(jù)，建立表格，認真對比，發(fā)現(xiàn)長方形的特點，如，“長方形的四個角都是直角”“長方形的對邊相等”“長方形永遠有兩個長邊和兩個短邊”等。基于學生的發(fā)現(xiàn)，教師可以進行歸納，使學生建立完善的認知。之后，教師可以按照如此方式，引導學生探尋正方形的特點。甚至，教師可以引導學生操作電子白板，改變長方形的一邊長，不斷測量長度。在操作的過程中，學生借助具體的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當長方形的長和寬同樣長時，會變成一個正方形，由此發(fā)現(xiàn)長方形和正方形的關系——正方形是特殊的長方形。學生由此便可在腦海中建立深刻的印象，建構完善的認知結構。

2.以數(shù)輔形，證明圖形問題

證明離不開嚴密的邏輯推理。一般情況下，經(jīng)過證明的結論是具有科學性的。一些圖形問題雖然可以通過直接觀察得出結論，但仍需要借助數(shù)證明，使結論更準確、科學。所以，小學數(shù)學教師應引導學生用數(shù)來證明圖形問題。

例如，在學習“圓”后，學生會面對這樣的證明（如圖1）：某人從A點走到B點，有兩條路可選，分別為①和②，哪一條路更近？為什么？

圖1

經(jīng)過一番觀察，學生會提出猜測。在學生觀察后，教師可以引導學生使用賦值法，賦予大圓和三個小圓不同的直徑。通過閱讀題目，學生很容易發(fā)現(xiàn)，比較路程的遠近其實就是在比較半圓的弧長。因此，學生可以遷移已有認知，借助圓的周長計算公式列出算式，得出結論——兩條路一樣長。通過用數(shù)來證明形，學生可以輕松解決問題。此外，在解決問題的過程中，學生受數(shù)形結合思想的影響，能夠掌握以數(shù)輔形法，用轉(zhuǎn)化數(shù)與形來解決數(shù)學問題，提高數(shù)學學習水平。

三、結束語

總而言之，數(shù)形結合思想是學生學習數(shù)學的助力。學生通過掌握、應用數(shù)形結合思想，既可以降低數(shù)學學習難度，提高數(shù)學學習興趣，還可以扎實掌握數(shù)學知識，獲取數(shù)學學習方法，積累數(shù)學學習經(jīng)驗，增強思維能力，優(yōu)化認知結構，提高問題解決能力，培養(yǎng)審美情操。基于此，小學數(shù)學教師應注重滲透數(shù)形結合思想，以日常教學為依托，以教學需要為依據(jù)，借助數(shù)與形的關系引導學生學習數(shù)學概念、解決數(shù)學問題，做到以形助數(shù)，以及用數(shù)來感知圖形特點，證明圖形問題，做到以數(shù)輔形，發(fā)展數(shù)學學習能力，實現(xiàn)數(shù)學學習提質(zhì)增效。