陳佳祥

三角函數最值問題是歷年來高考考試中的重點問題，具有涉及范圍廣、綜合性強、靈活性大等特征.因此在解決三角函數最值問題時，需要掌握三角函數的周期性、有界性、單調性等性質，并靈活應用三角恒等變換，結合其函數最值特點進行有效地分析.本文主要討論形如（1）f（x）=cos2x·sinx；f（x）=cosx·sin2x；f（x）=sinx·sin2x；f（x）=cos2x·cosx；，（2）f（x）=sin3x+3sinx等函數的最值.

1 問題本質

由倍角公式cos2x=2cos2x－1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．一般地，存在一個n（n∈N）次多項式Pnt=a0tn+a1tn－1+a2tn－2+···+an（a0，a1，a2，···，an∈R），使得cosnx=Pncosx，這些多項式Pnt稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得cos2x=P2cosx=2cos2x－1，記作P2t=2t2－1，cos3x=cos2x+x=cos2xcosx－sin2xsinx=2cos2x－1cosx－2sin2xcosx=2cos2x－1cosx－21－cos2xcosx=4cos3x－3cosx，所以P3t=4t3－3t，同理可得sin3x＝3sinx－4sin3x.

因此問題（1）和（2）本質都可以展開以cosx（或者sinx）的三次多項式，三次函數擁有的對稱性、單調性等性質，因此這類三角函數的最值是值得研究.

2 基于“換元法”的導數法求解三角函數最值

當三角函數表達式始終只存在正弦函數、余弦函數，且函數最高次數為“3”時，可通過整體換元的方法將其轉化為一元三次函數的最值問題，再結合導數單調性研究最值.

例1 求函數f（x）=cos2xsinx在R上的最大值.

解：∵f（x）=cos2x·sinx=1－2sin2x·sinx.故令t=sinx∈－1，1，∴g（t）=－2t3+t.∵g′t=－6t2+1，t∈－1，1，∴gt在－66，66上單調遞增，在－1，66，66，1上單調遞減，∴gtmax=g－1=1.即f（x）的最大值為1.

評析：該問題在倍角公式cos2x=1－2sin2x的基礎上，通過化歸轉化的思想，有效地整理與變形，構成只含有sinx的三次多項式的函數，然后換元為一元三次函數形式，需要注意換元的取值范圍，再借助一元三次函數導數單調性研究最值.

3 基于均值不等式求解三角函數最值

利用均值不等式求最值，所需的條件可概括為“一正、二定、三相等”.當這些條件不完全具備時，就需要湊“定和”或“定積”的技巧，使其具備.同角三角平方和關系式sin2x+cos2x=1其作為隱含條件，依據三角函數“定和”的特征，求三角函數最值有充分地體現.

例2 設x為銳角，求函數y=sinx·sin2x的最大值.

解：由y=sin2x·cosxy2=4sin4x·cos2x≤22sin2x+2cos2x33=1627y=439當cos2x=13時，以上各式等號成立.

評析：若例1是仿照例2使用均值不等式來求解，得到的答案是69，這不是f（x）的最大值，而是其極大值.究其原因是認為函數的極大值就是最大值，而的極大值未必就是最大值（它有兩個極大值）.而且利用均值不等式的話，取等號的點是極值點而不是最值點，所以遇到此類問題時，建議使用導數來求解.

例3 設ΔABC的內角A、B、C，求cosA（sinB+sinC）的最小值.

解：當A是銳角或者直角時，則cosA（sinB+sinC）≥0，求最小值，可設cosA<0.則

cosA（sinB+sinC）=2cosAsinB+C2cosB－C2≥2cosAsinB+C2=2cosAcosA2=－2（sin2A2－cos2A2）2cos2A2=－（sin2A2－cos2A2）（sin2A2－cos2A2）4cos2A2

≥－2（sin2A2－cos2A2）+4cos2A233=－269，當A滿足cosA2=66的鈍角，且B=C等號成立.

評析：這里將cosB－C2放大到1，再結合三角函數平方和的關系式，構造均值不等式.另外cosA（sinB+sinC）≤2，∵cosA≤1，sinB+sinC≤2，但等號不成立，∵A=0，B=C=π2，∴cosA（sinB+sinC）雖有上界，但沒有最大值.

變式1 在ΔABC中，求sinA2sinBsinC的最大值.

4 基于琴生不等式求解三角函數最值

例4 求函數f（x）=sin3x+3sinx的值域．

解：由sin3x=3sinx－4sin3x得f（x）=－4sin3x+6sinx.設t=sinx∈－1，1，則y=gt=－4t3+6t，g′t=－12t2+6，令g′t=0，解得t=±22，所以函數gt在－1，－22上單調遞減，在－22，22上單調遞增，在22，1上單調遞減，又g－1=－2，g－22=－22，g22=22，g1=2，所以值域為－22，22.

評析：這類函數利用（三）倍角轉化，本質是求三次函數最值，然后借助導數來實現.而三角函數特有周期性和奇偶性，從而例4有解法2：f（x）是周期函數，T=2π，考慮x∈（0，π），函數f（x）在（0，π）上是上凸函數，由琴生不等式得：f（x）=sinx+sinx+sinx+sinπ－3x≤sinx+x+x+π－3x4=sinπ4=22.

當且僅當x=π4，f（x）max=22，由f（x）是奇函數，得f（x）min=－22.

例4有如下更一般的形式：

變式2求f（x）=sinnx+nsinx（n∈N+）的值域．

答案：f（x）∈－sinπn+1，sinπn+1.

對于三次多項式的三角函數最值問題，一般解題思路是：合理的三角變換或是代數換元，化歸為三角函數或者三次函數類型，最后利用導數和基本不等式或琴生不等式方法求最值.引導學生掌握三角函數的單調性、有界性、周期性等性質，再通過函數的最值問題與導數和不等式知識的綜合運用，就能有效地解決三角函數的最值問題.