王其

一、問題提出

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對于典型的問題往往都有特殊的處理方法，即固化的解答套路，如在排列組合問題的處理中，相鄰的問題計數(shù)用“捆綁法”，不相鄰問題計數(shù)用“插空法”比較方便，但這些特殊的方法只適用于特殊的試題情境，故并不是通性通法，但是根據(jù)辯證法“普遍性寓于特殊性之中”的原理知，解題套路必然來源于“通性通法”，其實，“通性通法”不僅是“套路”的來源，而且也是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的生長點，然而，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師在處理典型的問題時，往往僅僅注重“解題套路”的應(yīng)用，而忽視支撐“解題套路”背后的“通性通法”的掌握，不利于核心素養(yǎng)的達成，所以教學(xué)中不僅僅要介紹套路，更重要的是要揭示“套路”背后的“通性通法”.

二、案例展示

將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人4本，其余兩人分別一本，問共有多少種方法？此題顯然屬于“分組”問題，由于其中有兩組的元素個數(shù)相同，教學(xué)中，對于此類問題，教師往往告訴學(xué)生思路如下：先將6人按1、1、4分成“無序”的3組，組數(shù)為C16C15A22，然后再將分成的組分給甲、乙、丙三人，即方法數(shù)為C16C15A22·A33=90，這個解答中有一個套路就是對于有“平均分組”的問題時，有m組的元素個數(shù)相同，欲將“有序”分組化為“無序”分組時，就將“有序”分組的總數(shù)除以m！，對此解法，學(xué)生也能記住套用，但它僅僅是一個技巧而已，不具有一般性.

關(guān)于此題，除了上面的“套路”解法，還有其他方法嗎？我們不妨將甲、乙兩人每人分得1本書、丙分得4本書，則有C16C15C44=30種方法，同理，甲、丙每人分得1本書、乙得4本及乙、丙每人分得1本書、甲得4本方法種數(shù)分別是30種，由加法計數(shù)原理得，共有90種分配方法.顯然，此法是采用分類討論的思想進行解答的，輕松自然，具有一般性，是處理計數(shù)問題的通性通法.事實上，采用“套路”的解法，先將6本書按1、1、4分成“無序”的3組，到底哪兩個人得到1本，有3種可能，故總數(shù)為C16C15A22×3！=90，顯而易見，“套路”解法也蘊含著通性通法——分類討論的思想方法.

三、教學(xué)啟示

誠然，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是需要“刷題”，如果不刷題，誰也學(xué)不好數(shù)學(xué)，正因為這個邏輯關(guān)系，“刷題”儼然成為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的代名詞，于是乎，“忽視原理的揭示重機械刷題”的教學(xué)模式大行其道至今，教師教學(xué)表現(xiàn)為將同一類型的問題用什么方法整理得頭頭是道，讓學(xué)生照貓畫虎去套用，例如，案例中的平均分組的問題，如何將“有序”分組化為“無序”分組的套路，教學(xué)中如何教師引導(dǎo)學(xué)生總是沉浸在“套路”之中去處理計數(shù)問題，這種學(xué)習(xí)方式就是機械刷題，因為機械套用這法那法，缺乏思維靈活性，則學(xué)生就覺得這一章難學(xué)，因為不少題目的處理是沒有套路的，需要學(xué)生有深度思考的能力，而深度思考的能力來源于通性通法的理解與掌握.當(dāng)然，并不是說“套路”一定不好，其實，對于套路化的題目，用“套路”十分快捷，只不過，如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一味追求“套路化”，大腦就會僵化，缺乏宏觀的策略引領(lǐng)，學(xué)生見木不見林.

事實上，解決計數(shù)問題的兩個原理，是處理計數(shù)問題的根本方法，其中分類加法計數(shù)原理是分類討論思想的具體體現(xiàn)，而分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理息息相關(guān)，它是分類加法計數(shù)原理的進一步優(yōu)化，基于此認(rèn)識，可以說，分類討論思想是處理計數(shù)問題的通性通法，是靈魂所在，故分類討論思想也是此類解決問題的方向，雖然面對套路化的題目，誠然采用“套路”更快捷，但畢竟使用范圍有限，但是“通性通法”具有一般性，其價值更高.