寇發(fā)榮，門 浩，王甜甜，王思俊，羅 希

(西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710054)

鋰電池作為純電動(dòng)汽車的直接動(dòng)力源，其狀態(tài)的估計(jì)直接影響整車性能[1]。準(zhǔn)確、可靠的模型對(duì)鋰電池的研究具有重要意義，建立電池模型是進(jìn)行荷電狀態(tài)(SOC)估計(jì)、功率狀態(tài)(SOP)估計(jì)、健康狀態(tài)(SOH)估計(jì)等工作的基礎(chǔ)[2]。

目前，學(xué)者們主要通過(guò)探究鋰電池的行為特性與反應(yīng)機(jī)理對(duì)其進(jìn)行建模。常用的電池模型有電化學(xué)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、分?jǐn)?shù)階模型和等效電路模型[3]。等效電路模型通過(guò)將電阻、電容等電器元件進(jìn)行組合排列，模擬電池的靜態(tài)及動(dòng)態(tài)特性。模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算負(fù)荷較小的特點(diǎn)[4]。等效電路模型的精度取決于RC 環(huán)節(jié)的階數(shù)，當(dāng)模型階數(shù)增加時(shí)，精度隨之提升；但隨階數(shù)的增加，模型復(fù)雜度會(huì)大幅增加[5]。三階及三階以上RC 等效模型會(huì)出現(xiàn)過(guò)度擬合現(xiàn)象，導(dǎo)致其實(shí)用性降低[6]。已有研究表明：一階RC 模型往往不能滿足高精度場(chǎng)合的需求；二階RC 模型考慮了歐姆、濃差及電化學(xué)極化特性的影響，能更精確地描述鋰離子電池的動(dòng)靜態(tài)特性[7]，其結(jié)構(gòu)相對(duì)較復(fù)雜，計(jì)算量增大。為保證模型精度同時(shí)提高其實(shí)用價(jià)值，對(duì)模型階數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整；綜合考慮模型的復(fù)雜度與計(jì)算量、精度與實(shí)用性之間的矛盾，選用一階、二階RC 自適應(yīng)變階(adaptive variable-order，AVO)模型，該模型可在電壓變化劇烈的區(qū)域進(jìn)行升階處理，保證模型精度；在電壓變化緩慢的區(qū)域降階處理，達(dá)到除冗和降低計(jì)算量的目的。

本文提出一種融合貝葉斯信息量準(zhǔn)則(Bayes information criterion，BIC)和樽海鞘優(yōu)化算法(salp swarm algorithm,SSA)的AVO 模型，通過(guò)端電壓誤差Bayes 信息量確定模型階數(shù)的最優(yōu)解，以最優(yōu)擬合度、最小平均誤差和為目標(biāo)函數(shù)，利用樽海鞘優(yōu)化算法搜索模型階數(shù)的全局最優(yōu)解，使模型變階效果達(dá)到最佳。最終通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證AVO 模型的精確性與實(shí)用性。

1 鋰電池自適應(yīng)變階模型

1.1 自適應(yīng)變階等效電路模型

鋰電池等效電路模型(equivalent circuit model，ECM)在工程應(yīng)用中主要有一階RC 模型、二階RC 模型等。模型精度往往與階數(shù)成正比，理想情況下，當(dāng)?shù)碗A模型擬合度較高時(shí)，模型可由二階降為一階，達(dá)到降階除冗的效果。當(dāng)?shù)碗A模型擬合精度不足時(shí)，模型亦可由一階切換為二階，提升模型精度。

AVO 模型以Bayes 信息量準(zhǔn)則作為變階標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)端電壓誤差得出各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的BIC 值，對(duì)模型實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)變階。AVO 模型等效電路如圖1 所示。

圖1 AVO模型等效電路

圖1 中：Ccap為電池容量；I為電流；Uoc為開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1、R2、C1、C2分別為模型的電阻、電容參數(shù)；Ut為端電壓；F1、F2為模型的切換開關(guān)。

根據(jù)基爾霍夫定律，AVO 等效電路模型的數(shù)學(xué)方程可表示為：

式中：l為RC 環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，其值為1、2。

RC 環(huán)節(jié)的狀態(tài)方程可表示為：

式中：Un為RC 環(huán)節(jié)極化電壓。

通過(guò)控制開關(guān)F1和F2的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)AVO 模型階數(shù)切換。AVO 模型階數(shù)與開關(guān)狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1 所示。其中，狀態(tài)T 表示電路接通，O 表示電路斷開。

表1 模型階數(shù)與開關(guān)狀態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.2 模型階數(shù)的確定

模型階數(shù)確立的關(guān)鍵是變階指標(biāo)的選取。赤池信息量準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)與貝葉斯信息量準(zhǔn)則(BIC)被廣泛應(yīng)用到模型的選擇中，用來(lái)評(píng)判模型擬合的優(yōu)良性[8]。

AIC 以信息熵來(lái)衡量模型擬合優(yōu)良性的一種指標(biāo)，通?？杀硎鰹閇9]：

式中：K為模型參數(shù)數(shù)目；NT為實(shí)驗(yàn)采樣總數(shù)；L為模型極大似然函數(shù)；2K/NT為模型懲罰項(xiàng)，模型參數(shù)數(shù)目K值決定模型精簡(jiǎn)程度；lnL為模型擬合度，其值越小代表此時(shí)模型越精確。

BIC 在AIC 的基礎(chǔ)上引入模型樣本容量nm，極大地彌補(bǔ)了AIC 懲罰項(xiàng)與樣本容量無(wú)關(guān)的缺陷。引入模型端電壓誤差平方和對(duì)BIC 擬合項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，假設(shè)模型的誤差服從正態(tài)分布，改進(jìn)的BIC 函數(shù)為：

式中：d為電池端電壓與模型端電壓的誤差。

為得到最優(yōu)的BIC 評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，在改進(jìn)的BIC 懲罰項(xiàng)中引入懲罰系數(shù)s，對(duì)擬合程度的不敏感度進(jìn)行調(diào)節(jié)。使用BIC 準(zhǔn)則評(píng)定時(shí)，認(rèn)為一階RC 模型包含參數(shù)Ccap、R0、R1、C1，共計(jì)4個(gè)；二階RC 模型在一階的基礎(chǔ)上增加了參數(shù)R2和C2，共計(jì)6個(gè)。因此，認(rèn)為在RC 等效電路模型中，p階模型參數(shù)數(shù)目K的取值為2p+2。

最優(yōu)BIC 函數(shù)為：

計(jì)算同時(shí)刻不同階數(shù)的BIC 值，較小的BIC 值所對(duì)應(yīng)的模型階數(shù)即為該時(shí)刻擬合效果最佳的階數(shù)。BICopt(t,p)為t時(shí)刻p階模型對(duì)應(yīng)的最優(yōu)BIC 值。當(dāng)前t時(shí)刻AVO 模型的最優(yōu)BIC 值為：

1.3 模型階數(shù)的最優(yōu)解

在模型階數(shù)標(biāo)定過(guò)程中，參數(shù)的選取會(huì)直接影響B(tài)IC 的取值，進(jìn)一步影響階數(shù)的確定。針對(duì)BIC 參數(shù)選取的問(wèn)題，本文利用樽海鞘優(yōu)化算法及設(shè)定的優(yōu)化條件對(duì)BIC 參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

樽海鞘優(yōu)化算法是模擬樽海鞘群在海洋中聚集與狩獵行為而創(chuàng)立的一種算法[10]，其數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單、算法尋優(yōu)精度高。最優(yōu)擬合度、最小平均誤差和目標(biāo)函數(shù)分別為：

式中：NHPPC為HPPC 工況實(shí)驗(yàn)下的總采樣數(shù)；Ut,j(nm,s)為模型樣本容量為nm、懲罰系數(shù)為s時(shí)，AVO 模型第i個(gè)端電壓輸出值；Ut,j為端電壓第i個(gè)采樣值。

在n維搜索空間中定義樽海鞘位置：其中N為給定問(wèn)題的變量個(gè)數(shù)，包含樣本容量nm和懲罰系數(shù)s；假設(shè)F為給定搜索空間下的狩獵目標(biāo)，所有樽海鞘的位置都存儲(chǔ)于矩陣X中；Bmaxj、Bminj分別代表第j維上的取值上、下邊界；狩獵過(guò)程中迭代時(shí)差取值為1。

將樽海鞘群劃分為領(lǐng)頭者和追隨者，尋優(yōu)過(guò)程中領(lǐng)頭者處于種群最前端，追隨者緊隨其后。在n維空間尋優(yōu)時(shí)，樽海鞘的數(shù)學(xué)模型中，領(lǐng)頭者在j 維空間中的位置為：

式中：Xj為j維空間下待狩獵目標(biāo)位置；c2、c3為[0,1]之間隨機(jī)數(shù)，c2決定領(lǐng)頭者移動(dòng)長(zhǎng)度，c3決定移動(dòng)的正反向。

收斂因子c1的設(shè)定影響算法的平衡探索和局部開發(fā)能力，其表達(dá)式為：

式中：tmax為最大迭代次數(shù)。

第i個(gè)追隨者在第j維空間中的位置為：

取初始速度ν0=0，則式(10)可表達(dá)為：

基于空間限制，對(duì)算法中的主要參數(shù)做出如下限定：變量個(gè)數(shù)N設(shè)定為2；樣本容量nm的取值設(shè)定為整個(gè)放電過(guò)程中采樣點(diǎn)總數(shù)的1%～5%；懲罰系數(shù)s設(shè)定為1～5。SSA 尋優(yōu)流程如圖2 所示。

圖2 樽海鞘算法流程

2 模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 開路電壓實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為寧德時(shí)代NCM811 三元鋰電池，其標(biāo)稱容量為40 Ah，充放電截止電壓為2.75～4.2 V。選用ITECH 公司生產(chǎn)的ITS5300 系列電池測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，完成數(shù)據(jù)采集，如圖3 所示。

圖3 動(dòng)力電池測(cè)試系統(tǒng)

OCV-SOC曲線標(biāo)定實(shí)驗(yàn)步驟為：①使用標(biāo)準(zhǔn)的恒流恒壓充電方式將電池充至滿電狀態(tài)，靜置2 h。②以1/3C的恒定電流對(duì)電池進(jìn)行放電，每次放10%的電池最大可用容量并靜置1 h，靜置后得到的端電壓值視為OCV值。③循環(huán)步驟②直至電池的電量被放空。④記錄實(shí)驗(yàn)過(guò)程中OCV與SOC數(shù)據(jù)。

在MATLAB 中使用polynomal 函數(shù)擬合OCV-SOC曲線的6 次多項(xiàng)式為：

2.2 FFRLS 在線參數(shù)辨識(shí)

FFRLS 通過(guò)引進(jìn)遺忘因子來(lái)削減舊數(shù)據(jù)所提供的信息量，以提升算法后期自適應(yīng)修正的能力。在進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，將電池模型看作以工作電流I(t)為輸入，端電壓U(t)為輸出的單輸入輸出系統(tǒng)。通過(guò)分析電池模型，建立并求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，進(jìn)而推導(dǎo)出等效電路模型的電容和電阻參數(shù)。

令y(k)=Uoc(s) -Ut(s)，得一階RC和二階RC模型在頻域下的差分方程為：

式中：a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8為相應(yīng)系數(shù)；yfrist(k)和ysecond(k)分別代表一階和二階模型的電勢(shì)差。

將系統(tǒng)考慮成一種外源性自回歸模型，設(shè)系統(tǒng)k時(shí)刻的誤差eLS,k為平穩(wěn)零均值白噪聲誤差。系統(tǒng)輸出變量yk可表達(dá)為：

式中：φk為系統(tǒng)數(shù)據(jù)矩陣；θk為系統(tǒng)待辨識(shí)參數(shù)矩陣。

FFRLS 利用輸出與期望之間的誤差和更新的量測(cè)值進(jìn)行遞歸運(yùn)算，對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行自適應(yīng)修正，使系統(tǒng)取得最小目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)J(θ)為：

式中：l 為遺忘因子，本文取值為0.98。

當(dāng)且僅當(dāng)J(θ)導(dǎo)數(shù)為0 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值。則令J(θ)′=0，可解得最優(yōu)參數(shù)矩陣θk為：

考慮FFRLS 算法協(xié)方差矩陣PLS,k=R－1k，可得：

式(17)中，系統(tǒng)增益矩陣KLS,k為：

式(19)中，系統(tǒng)估計(jì)誤差eLS,k為：

HPPC 工況實(shí)驗(yàn)下一階和二階ECM 電阻、電容參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果分別如圖4、圖5 所示。

圖4 HPPC工況下一階ECM電阻、電容參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖5 HPPC工況下二階ECM電阻、電容參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 模型切換仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 模型切換仿真

為驗(yàn)證本文所提出最優(yōu)BIC 準(zhǔn)則的有效性，將其在MATLAB 中進(jìn)行仿真。驗(yàn)證工況為快速脈沖放電(使用1C電流放電，每放10%SOC電量后擱置1 h，以此循環(huán)至電量放空)，實(shí)驗(yàn)共計(jì)用時(shí)36 900 s。仿真SOC區(qū)間為90%～10%，用時(shí)31 680 s。BIC與最優(yōu)BIC的模型切換效果仿真如圖6所示。

圖6 快速脈沖放電工況下基于BIC、最優(yōu)BIC切換效果與切換模型端電壓對(duì)比

分析圖6(a)、(b)、(c)得，模型切換階數(shù)與時(shí)間一一對(duì)應(yīng)。分析圖6(d)、(e)得，BIC 切換模型端電壓與最優(yōu)BIC 切換模型端電壓逼近實(shí)驗(yàn)值。當(dāng)時(shí)間處于3 960～3 976 s 時(shí)，最優(yōu)BIC切換模型端電壓誤差明顯小于BIC 切換模型。分析圖6(c)、(d)、(e)得，在3 960～3 976 s 時(shí)，BIC 切換模型處于二階狀態(tài)，最優(yōu)BIC 切換模型處于一階狀態(tài)，且最優(yōu)BIC 切換模型端電壓誤差小于BIC 切換模型，說(shuō)明此時(shí)一階模型精確度高于二階，最優(yōu)BIC 切換模型復(fù)雜度與計(jì)算量均小于BIC 切換模型，凸顯了最優(yōu)BIC 下模型的精度與實(shí)用性。

由表2 可知，快速脈沖工況下，最優(yōu)BIC 切換模型誤差各項(xiàng)指標(biāo)均低于BIC 切換模型。BIC 切換模型與最優(yōu)BIC 切換模型端電壓誤差均值分別為0.012 4 和0.011 7 V，均方根誤差分別為0.018 7 和0.016 6。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，快速脈沖工況下，相比于BIC 切換，最優(yōu)BIC 切換下的模型端電壓誤差較小，證明了切換模型的準(zhǔn)確性與有效性。

表2 快速脈沖工況下BIC與最優(yōu)BIC切換模型輸出端電壓誤差統(tǒng)計(jì)分析

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證AVO 模型在HPPC 工況下的精度與實(shí)用性，將HPPC 工況實(shí)驗(yàn)得到的端電壓、MATLAB 中使用FFRLS 得到的AVO 模型仿真端電壓與使用FFRLS 得到的一階和二階ECM 的仿真端電壓進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 HPPC工況下AVO模型與一階和二階ECM端電壓對(duì)比圖

分析圖7 可知：在短時(shí)間大電流充放電時(shí)，端電壓急劇跳動(dòng)，AVO 模型能夠迅速響應(yīng)，使模型端電壓快速收斂至實(shí)驗(yàn)值附近，說(shuō)明模型有較強(qiáng)的抗干擾性。在恒流放電過(guò)程中，模型端電壓值與實(shí)驗(yàn)值逼近，誤差基本保持在0.01 V 左右，說(shuō)明模型能夠根據(jù)電池工作狀態(tài)很好地?cái)M合出實(shí)驗(yàn)端電壓值。在電池靜置時(shí)，模型端電壓值逼近實(shí)驗(yàn)值，說(shuō)明模型能精確地反映電池的電壓回彈特性?？傮w實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，AVO 模型端電壓與實(shí)驗(yàn)端電壓保持了較好的一致性，亦驗(yàn)證了最優(yōu)BIC 切換模型的精度與實(shí)用性。

詳細(xì)誤差統(tǒng)計(jì)分析如表3 所示。

表3 AVO模型與傳統(tǒng)一階和二階ECM端電壓誤差統(tǒng)計(jì)

由表3 可得：相較于傳統(tǒng)一階和二階ECM，AVO 模型的最大誤差分別降低了26.77% 和7.52%，平均誤差降低了22.01%和4.03%，均方根誤差降低了19.50%和3.61%，證明該模型精度與實(shí)用性較高。

4 結(jié)論

(1)利用樽海鞘算法對(duì)引入模型端電壓誤差平方和及懲罰系數(shù)改進(jìn)的Bayes 信息量準(zhǔn)則的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可保證AVO 模型實(shí)時(shí)處于最優(yōu)階數(shù)。

(2)快速脈沖工況實(shí)驗(yàn)下，BIC 切換模型的端電壓均方根誤差與平均誤差分別0.018 7 和0.012 4 V，最優(yōu)BIC 切換模型的此兩項(xiàng)誤差分別為0.016 6 和0.011 7 V，均小于BIC 切換模型，說(shuō)明最優(yōu)BIC 切換模型精度較高。

(3)HPPC 工況實(shí)驗(yàn)下端電壓預(yù)測(cè)仿真表明，AVO 模型的各項(xiàng)誤差均小于傳統(tǒng)的一階和二階ECM；AVO 模型的平均誤差為0.011 9 V，較傳統(tǒng)一階和二階ECM 模型分別降低了22.01%和4.03%。