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        在遷移中探索 在變化中成長

        2023-09-29 07:34:18江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學成長
        初中生世界 2023年34期
        關鍵詞:字型垂線過點

        文/江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學 成長

        經過了本章的學習,我知道了全等三角形是圖形變換的基礎。利用全等三角形,能夠解決大量圖形中線段、角的相關問題。學好全等三角形對于發(fā)展我們的邏輯推理能力具有重要的意義。下面,我們來看這道題。

        例題如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一點,PA=PD,∠APD=90°,AB=3,CD=7。求四邊形ABCD的面積。

        圖1

        題目已經給出了∠B=∠C、PA=PD兩個條件,所以我們只需要證另一個邊或角相等即可。而本題明顯無法證明邊的相等關系,所以我們將目標定為證明角相等??墒窃撊绾巫C明呢?

        我們可以從條件出發(fā),由∠B=90°結合“直角三角形兩銳角互余”得到∠BAP+∠APB=90°;由∠APD=90°及平角的定義得到∠APB+∠DPC=90°;再根據(jù)“同角的余角相等”,易證∠BAP=∠CPD。從而可證△APB≌△PDC,所以AB=PC,BP=CD,再利用梯形面積公式求得ABCD的面積為50。

        這類全等問題中的圖形猶如字母K,我們不妨稱之為“K”字型全等。這類問題雖然由多條垂線構成,看似煩瑣,但只要挖掘出垂線所帶來的條件,尋找“K”字型,即可成功解題。根據(jù)“K”字型全等,我們再一起嘗試解答變式1吧。

        變式1 如圖2,在△ABC和△DBE中,AB=BC,DB=BE,∠ABC=∠DBE=90°,連接AD、CE,過點B的直線分別交AD、CE于點N、M,MN⊥AD。求證:M是CE的中點。

        圖2

        我第一眼見到這個圖形,沒有任何頭緒,但是仔細一看,卻能發(fā)現(xiàn)一絲“K”字型的影子:三角形頂點共直線,有垂直,有邊相等。于是我毫不猶豫,選擇過點C、E分別向直線MN作垂線,垂足為P、Q(如圖3)。

        圖3

        此時,熟悉的“K”字型就被我構造出來了。根據(jù)例題所求結論,易得△ANB≌△BPC、△DNB≌△BQE。但是,如何由兩個全等關系得到“M是CE中點”這一結論呢?靜心思考,我又發(fā)現(xiàn)了一絲“端倪”:要證中點,只需證兩條線段相等,即證線段CM、ME分別所在的兩個三角形(△CPM與△EQM)全等,問題迎刃而解!變式2 就留給同學們自己嘗試一下啦!

        變式2 在△ABC和△DBE中,AB=BC,DB=BE,∠ABC+∠DBE=180°,連接AD、CE,過點B的直線分別交AD、CE于點N、M,∠ANM=∠ABC。試問:M還是CE的中點嗎?請自行畫圖并說明你得到的結論的正確性。

        全等三角形的應用不僅僅停留在幾何問題之中。解決復雜的全等三角形問題,只要尋找解決基本問題的方法即可。我想,這也是數(shù)學變化之美的一種體現(xiàn)吧!

        教師點評:

        全等三角形的學習,需要同學們在基本圖形的變化中去探索、發(fā)現(xiàn)。圖形變化之繁,思想方法之多,都是對同學們的考驗。我們要學習成長同學善于思考、遷移、歸納總結的好習慣,理解數(shù)學的本質,舉一反三,以不變應萬變,積極思考,主動探究,就一定能學好數(shù)學,用好數(shù)學,將來為祖國做出更大的貢獻。

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