文／殷偶云

一元二次方程是歷年中考必考內(nèi)容之一。在中考試卷中，直接或間接考查所占分值約為10%。因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的積累、基本技能的獲得，深刻領(lǐng)會(huì)各知識(shí)點(diǎn)的意義，勤于總結(jié)解題方法和規(guī)律，做到有的放矢。

考點(diǎn)1：一元二次方程的解

例1（2022·江蘇連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx-1=0（m≠0）的一個(gè)解是x=1，則m+n的值是________。

【解析】把x=1 代入方程，得m+n-1=0。變形，得m+n=1。

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題的一般方法是將方程的根代入原方程，再求出有關(guān)字母系數(shù)或代數(shù)式的值。

考點(diǎn)2：一元二次方程的解法

例2（2023·江蘇無錫）解方程：2x2+x-2=0。

【解析】根據(jù)方程的特點(diǎn)，我們選擇公式法求解方程。

因?yàn)閍=2，b=1，c=-2，所以b2-4ac=12-4×2×（-2）=17。

【點(diǎn)評(píng)】解一元二次方程，要根據(jù)方程的特征選擇合適的方法。公式法是解一元二次方程的通法，但我們要注意，運(yùn)用公式法時(shí)，應(yīng)先將方程化成一般形式。

考點(diǎn)3：一元二次方程根的判別式

例3（2023·甘肅蘭州）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2-2（1+2c）=（ ）。

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【解析】由一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得根的判別式為0。所以b2-4c=0，即b2=4c，則b2-2（1+2c）=4c-2-4c=-2。選A。

【點(diǎn)評(píng)】在討論一元二次方程根的情況時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0 這個(gè)隱含條件。

考點(diǎn)4：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例4（2023·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2m-1）x-3m2+m=0總 有 實(shí) 數(shù) 根x1、x2，且求m的值。

【解析】因?yàn)榉匠炭傆袑?shí)數(shù)根x1、x2，

【點(diǎn)評(píng)】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將相關(guān)代數(shù)式變形為含有兩根和與兩根積的形式，再利用整體思想代入變形后的關(guān)系式，即可得出相關(guān)字母的值。在運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，一定要注意方程是一元二次方程且總有實(shí)數(shù)根這個(gè)隱含條件。

考點(diǎn)5：用一元二次方程解決問題

例5（2023·山東東營(yíng)）如圖1，老李想用長(zhǎng)為70m 的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)），圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m 寬的門（建在EF處，另用其他材料）。當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少m 時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？

圖1

【解析】根據(jù)BC=柵欄總長(zhǎng)-2AB+2，再利用矩形面積公式求解。

設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm，則邊BC=70-2x+2=（72-2x）m。

根據(jù)題意，得x（72-2x）=640。解得x1=16，x2=20。

當(dāng)x=16 時(shí)，72-2x=72-32=40；當(dāng)x=20時(shí)，72-2x=72-40=32。

答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m、寬為16m 或長(zhǎng)為32m、寬為20m時(shí)滿足題目要求。

【點(diǎn)評(píng)】建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是正確找出題目中的相等關(guān)系，對(duì)于求得的結(jié)果要注意檢查是否符合題意和實(shí)際情況，并進(jìn)行正確的取舍。

例6（2023·四川遂寧）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有［a，b］·［c，d］=ac-bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：［3，2］·［5，1］=3×5-2×1=13。已知關(guān)于x的方程［x，2x-1］·［mx+1，m］=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

【解析】根據(jù)題意，得x（mx+1）-m·（2x-1）=0，即mx2+（1-2m）x+m=0。因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以（1-2m）2-4m·m≥0且m≠0。解得且m≠0。

【點(diǎn)評(píng)】解決新定義問題的關(guān)鍵是讀懂題意。本題實(shí)質(zhì)是考查一元二次方程根的判別式。