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        謹(jǐn)防隱含條件的陷阱

        2023-09-28 02:45:20周華軍
        初中生世界 2023年35期

        文/周華軍

        一、忽視等式性質(zhì)的使用條件

        例1方程x2=x的解是________。

        【錯(cuò)解】兩邊同除以x,得x=1。所以方程的解是x=1。

        【剖析】等式性質(zhì)2 是:等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以一個(gè)不為0 的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式。錯(cuò)解中兩邊同除以x,忽視了x可能為0 的情況,導(dǎo)致漏解。

        【正解】移項(xiàng),得x2-x=0。所以x(x-1)=0。所以x1=0,x2=1。

        【對(duì)策】方程的根是使方程成立的未知數(shù)的值,不管遇到多么簡單的方程,一定要按照解方程的步驟去求解。

        二、忽視一元二次方程的概念

        例2已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。求k的取值范圍。

        【錯(cuò)解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以根的判別式b2-4ac=(2k+4)2-4k(k-6)>0,解得

        【剖析】一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,這一點(diǎn)在解題過程中經(jīng)常被同學(xué)們忽視,導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

        【正解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以k≠0 且根的判別式b2-4ac=(2k+4)2-4k(k-6)>0。解 得且k≠0。

        【對(duì)策】理解一元二次方程的概念是解決此類問題的起點(diǎn)。解決一元二次方程的相關(guān)問題時(shí),一定要抓住“二次”,只有二次項(xiàng)系數(shù)不為0,才能保證“二次”的存在。

        三、忽視實(shí)際問題的背景

        例3某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地為學(xué)生建一個(gè)面積為80m2的矩形車棚,其中一面靠墻(墻的可用長度為12m),已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長為26m。根據(jù)學(xué)校要求,在與墻平行的一面開一個(gè)2m 寬的門(如圖1),那么這個(gè)矩形車棚相鄰兩邊長分別為多少?

        圖1

        【錯(cuò)解】設(shè)與墻垂直的邊長為xm,則與墻平行的邊長為(26+2-2x)m。

        根據(jù)題意,得x(26+2-2x)=80。整理,得x2-14x+40=0。解得x1=4,x2=10。

        答:這個(gè)矩形車棚相鄰兩邊長分別為4m、20m或10m、8m。

        【剖析】當(dāng)x=4時(shí),26+2-2x=26+2-2×4=20>12,不符合題意,要舍去。錯(cuò)解忽視了問題的背景條件“墻的可用長度”。

        【正解】設(shè)與墻垂直的邊長為xm,則與墻平行的邊長為(26+2-2x)m。

        根據(jù)題意,得x(26+2-2x)=80。整理,得x2-14x+40=0。解得x1=4,x2=10。

        當(dāng)x=4時(shí),26+2-2x=26+2-2×4=20>12,不符合題意,舍去;

        當(dāng)x=10 時(shí),26+2-2x=26+2-2×10=8<12,符合題意。

        答:這個(gè)矩形車棚相鄰兩邊長分別為10m、8m。

        【對(duì)策】遇到實(shí)際問題,在將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題并解決后,一定要將這個(gè)問題的解代回到實(shí)際問題中加以驗(yàn)證。

        四、忽視問題中隱語發(fā)出的信息

        例4某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利10 元,每天可售出500 千克。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,若每千克漲價(jià)1 元,日銷售量將減少20 千克。現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000 元,同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?

        【錯(cuò)解】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元。

        根據(jù)題意,得(500-20x)(10+x)=6000。解得x1=5,x2=10。

        答:每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元或10元。

        【剖析】我們?nèi)菀渍业降攘筷P(guān)系:盈利額=每千克盈利×日銷售量,但要注意有一句重要的隱語,“要使顧客得到實(shí)惠”。因此,我們?cè)谇蟪龇匠痰膬蓚€(gè)解后,需要舍去x2=10 這個(gè)解,也就是說,既要漲價(jià),也要讓顧客得到實(shí)惠。

        【正解】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元。

        根據(jù)題意,得(500-20x)(10+x)=6000。

        整理,得x2-15x+50=0。

        解這個(gè)方程,得x1=5,x2=10。

        要使顧客得到實(shí)惠,應(yīng)取x=5。

        答:每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元。

        【對(duì)策】用方程解決問題,要充分利用題目中的已知條件,善于分析題目中的隱含條件,挖掘其隱含關(guān)系。

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