楊靜寧, 韋子豐, 盧鏡宇, 王 鵬

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 蘭州 730050)

形狀記憶合金(SMA)是由兩種或兩種以上的金屬元素復(fù)合而成的新型智能材料, 具有獨(dú)特的超彈性和形狀記憶效應(yīng), 且耐腐蝕、 抗疲勞和阻尼性較好[1]. 形狀記憶合金在生物醫(yī)療、 航空航天工業(yè)和建筑結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-3].

目前, 研究人員對(duì)SMA材料的彎曲變形特性進(jìn)行了研究. Flor等[4]在NiTi記憶合金絲彎曲實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上, 分析了NiTi形狀記憶合金絲在整個(gè)轉(zhuǎn)變溫度范圍內(nèi)的彎曲行為; Eshghinejad等[5]研究了橫截面上應(yīng)變呈線性分布的SMA懸臂梁在集中載荷作用下的變形特性; Auricchio等[6]基于SMA超彈性行為的一維模型推導(dǎo)出馬氏體體積分?jǐn)?shù)變化的演化方程; Brinson[7]研究了相變過(guò)程中的馬氏體體積分?jǐn)?shù), 其中一部分馬氏體相變由應(yīng)力所致, 另一部分由溫度所致; Shaw[8]通過(guò)具有超彈性和形狀記憶效應(yīng)的一維本構(gòu)模型, 證明馬氏體相變的不穩(wěn)定性是由應(yīng)變梯度效應(yīng)所致; Raniecki等[9-10]描述了SMA超彈性的本構(gòu)模型, 并研究了加載和卸載時(shí)超彈性對(duì)梁的彎曲行為影響, 通過(guò)研究拉壓不對(duì)稱性和相變屈服面, 得到馬氏體體積分?jǐn)?shù)在梁截面上的分布規(guī)律; Qidwai等[11]基于不同相變方程得到不同的本構(gòu)模型; 周博等[12]分析和描述了SMA螺旋彈簧簧絲橫截面的應(yīng)變和應(yīng)力分布規(guī)律, 推導(dǎo)出SMA螺旋彈簧相變臨界參數(shù)的計(jì)算公式; 商澤進(jìn)等[13]通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了SMA材料基于梁的大變形理論下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系; Rejzner等[14]研究了拉壓不對(duì)稱性對(duì)梁的相變行為影響; Chen等[15]通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)(MD)模擬研究了單晶和納米晶NiTi形狀記憶合金(SMAs)的拉伸-壓縮不對(duì)稱性; 崔世堂等[16]研究了在拉壓不對(duì)稱系數(shù)影響下形狀記憶合金純彎曲梁的力學(xué)性能; 楊靜寧等[17]研究了拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)熱-機(jī)載荷作用下形狀記憶合金純彎曲梁的影響; 考慮到拉壓不對(duì)稱性, Bouvet等[18]分別用兩種不同的相變屈服面描述馬氏體正相變和逆相變, 利用應(yīng)力的第二和第三不變量定義相變屈服面, 得到了三維本構(gòu)模型; 薛立軍等[19]研究了一種由形狀記憶合金和功能梯度材料按不同比例結(jié)合形成的新型復(fù)合材料; 韓悌信等[20]對(duì)NiTi形狀記憶合金設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)情況下的三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn), 研究了NiTi形狀記憶合金的彎曲變形, 得到了TiNi合金的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)情況下應(yīng)力-應(yīng)變曲線異于普通金屬的結(jié)論.

目前, 對(duì)形狀記憶合金梁的力學(xué)性能研究較多, 但對(duì)SMA變截面梁的研究較少. 在實(shí)際工程中, 為減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量或滿足生產(chǎn)需要, 一些桿件經(jīng)常采用變截面. 本文用分階段分步驟方法分析相變過(guò)程, 研究SMA變截面梁在相變過(guò)程中機(jī)械載荷、 變截面系數(shù)和拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)中性軸位移、 曲率和相邊界的影響.

1 SMA梁的非線性變形

1.1 幾何模型

SMA變截面梁的幾何模型如圖1所示. 任意截面高度H(x)=λx+h0, 其中λ為變截面系數(shù).

圖1 SMA變截面梁的幾何模型Fig.1 Geometric model of SMA variable cross section beam

1.2 本構(gòu)模型

形狀記憶合金材料的簡(jiǎn)化本構(gòu)模型如圖2所示[13], 其中σts和σtf分別為受拉側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)力,σcs和σcf分別為受壓側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)力,εts和εtf分別為受拉側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)變,εcs和εcf分別為受壓側(cè)相變開始和結(jié)束時(shí)的臨界應(yīng)變, Δεt為相變平臺(tái)段.

圖2 形狀記憶合金的簡(jiǎn)化本構(gòu)模型Fig.2 Simplified constitutive model for shape memory alloys

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué), 截面變形始終滿足平面假設(shè), 梁截面上的應(yīng)變沿截面高度呈線性分布, 梁的軸向應(yīng)變?yōu)?/p>

(1)

其中yi表示中性軸位置,ρ表示曲率半徑.

1.3 拉壓不對(duì)稱系數(shù)

考慮到SMA變截面梁在彎曲變形過(guò)程中的非對(duì)稱性, 特引入拉壓不對(duì)稱系數(shù)[21]

(2)

由計(jì)算可得

(3)

1.4 本構(gòu)關(guān)系

隨著彎矩的增大, 形狀記憶合金變截面梁將經(jīng)歷一個(gè)由彈性變形到相變階段的變形過(guò)程. 其中εt表示受拉側(cè)的表層應(yīng)變,εc表示受壓側(cè)的表層應(yīng)變. 由平面假設(shè)可知, 在受載過(guò)程中相變首先發(fā)生在表層, 其相變過(guò)程分為Ⅰ～Ⅳ階段.

1.4.1 初始階段(εt<εts)

在初始階段, 梁的整個(gè)截面均未發(fā)生相變, 材料全部為奧氏體相, 中性軸未偏移, 截面上的應(yīng)力為

(4)

其中EA為奧氏體彈性模量,y0表示中性軸初始位置,y表示截面上點(diǎn)的位置.

1.4.2 相變階段(εt≥εts)

隨著應(yīng)變逐漸增大并達(dá)到一定值時(shí), 中性軸產(chǎn)生偏移, 梁的截面發(fā)生相變.任意截面及其微段的變形如圖3所示, 其中A表示奧氏體相, M表示馬氏體相, AM表示混合相. 當(dāng)|εc|≤εcs,εts≤εt≤εtf時(shí), 受拉側(cè)出現(xiàn)混合相, 受壓側(cè)尚未發(fā)生相變, 奧氏體相與混合相形成相邊界BTA, 進(jìn)入Ⅰ階相變, 如圖3(A)所示, 截面上應(yīng)力為

(5)

當(dāng)εcs≤|εc|≤εcf,εts≤εt≤εtf時(shí), 受壓側(cè)表層開始發(fā)生相變并出現(xiàn)混合相, 受壓側(cè)混合相與奧氏體相形成相邊界BCA, 進(jìn)入Ⅱ階相變, 如圖3(B)所示, 截面上應(yīng)力為

(6)

當(dāng)εcs≤|εc|≤εcf,εtf≤εt時(shí), 受拉側(cè)表層應(yīng)變?chǔ)舤超過(guò)受拉側(cè)相變結(jié)束臨界應(yīng)變?chǔ)舤f, 受拉側(cè)表層出現(xiàn)馬氏體相, 而受壓側(cè)表層仍處于混合相, 受拉側(cè)混合相與馬氏體相形成相邊界BTM, 如圖3(C)所示, 進(jìn)入Ⅲ階相變, 截面上應(yīng)力為

(7)

當(dāng)εcf≤|εc|,εtf≤εt時(shí), 受壓側(cè)表層應(yīng)變?chǔ)與超過(guò)受壓側(cè)相變結(jié)束臨界應(yīng)變?chǔ)與f, 受壓側(cè)表層出現(xiàn)馬氏體相, 受壓側(cè)混合相和馬氏體相形成相邊界BCM, 進(jìn)入Ⅳ階相變, 如圖3(D)所示, 截面上應(yīng)力為

(8)

其中yi(i=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)表示不同階段截面上中性軸位置, Δh=yi-y0表示中性軸位移, 相邊界A1A,B1B,C1C和D1D的坐標(biāo)可分別為yA1A=yi-εtsρ,yB1B=yi+εcsρ,yC1C=yi-εtfρ,yD1D=yi+εcfρ.

1.5 內(nèi)力方程

設(shè)任意截面上的彎矩為M(x).在初始階段, 梁的內(nèi)力方程為

(9)

(10)

在Ⅰ階相變階段, 梁的內(nèi)力方程為

(11)

(12)

在Ⅱ階相變階段, 梁的內(nèi)力方程為

在Ⅲ階相變階段, 梁的內(nèi)力方程為

在Ⅳ階相變階段, 梁的內(nèi)力方程為

2 結(jié)果與討論

設(shè)SMA變截面梁長(zhǎng)l=200 nm, 截面寬b=8 mm, 梁高h(yuǎn)0=6 mm,h1=λl+h0, 受集中載荷F作用, 幾何模型如圖1所示.TiNi合金材料成分為Ti50.9Ni, 材料相關(guān)參數(shù)[17]分別為

EA=62 GPa,EM=62 GPa,E1=4.5 GPa,σts=465 MPa,σtf=645 MPa, Δεt=0.04.

2.1 有限元對(duì)比

為驗(yàn)證本文結(jié)果的可靠性和理論的正確性, 對(duì)圖1所示的幾何模型用有限元方法和本文的理論分析方法[17]分別對(duì)x=50,100,150 mm 3個(gè)截面處應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算. 利用有限元軟件ABAQUS建立計(jì)算模型, 選用C3D8R單元, 網(wǎng)格劃分的精度為1 mm. 當(dāng)F=250 N時(shí), 應(yīng)力隨梁截面高度分布如圖4所示, 其中圖4(A)為初始階段, 圖4(B)和圖4(C)均為相變階段. 由圖4可見, 截面越靠近端部, 數(shù)據(jù)越理想, 理論結(jié)果與有限元結(jié)果總體上吻合良好.

圖4 應(yīng)力隨截面高度的分布 Fig.4 Distribution of stress with cross section height

2.2 橫截面應(yīng)力分布

圖5為x=100 mm處橫截面的應(yīng)力分布. 由圖5(A)可見: 當(dāng)拉壓不對(duì)稱系數(shù)α=0時(shí), 拉壓兩側(cè)應(yīng)力呈對(duì)稱分布; 拉壓不對(duì)稱系數(shù)越大, 受壓側(cè)同一高度混合相處的應(yīng)力越大, 奧氏體相處的應(yīng)力越小; 拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)受壓側(cè)影響大于受拉側(cè). 由圖5(B)可見, 變截面系數(shù)對(duì)受拉側(cè)和受壓側(cè)的影響均較大, 且變截面系數(shù)越大, 截面混合相所占比例越大, 同一高度處應(yīng)力也越大.

圖5 截面上的應(yīng)力分布Fig.5 Stress distribution on cross sections

2.3 中性軸位移

中性軸位移和截面位置的關(guān)系如圖6所示. 進(jìn)入相變階段后, 載荷和變截面系數(shù)對(duì)中性軸位移影響較大.由圖6(A)可見, 隨著載荷的增大, 中性軸位移最大值的截面位置越靠近梁中間截面, 在梁彎矩較小截面處, 中性軸向受壓側(cè)偏移, 在梁彎矩較大截面處, 中性軸向受拉側(cè)偏移. 由圖6(B)可見, 拉壓不對(duì)稱系數(shù)導(dǎo)致中性軸產(chǎn)生位移, 拉壓不對(duì)稱系數(shù)變大, 中性軸的偏移量增大, 與文獻(xiàn)[16]結(jié)果相符. 由圖6(C)可見, 改變變截面系數(shù)對(duì)梁兩端的影響較小, 在相變階段, 中性軸位移的最大值隨變截面系數(shù)的增大而減小, 變截面系數(shù)越大, 中性軸位移最大值的截面也越靠近中間截面.

圖6 中性軸位移和截面位置的關(guān)系 Fig.6 Relationship between neutral axis displacement and cross section position

2.4 曲 率

曲率和截面位置的關(guān)系如圖7所示. 進(jìn)入相變階段后, 載荷和變截面系數(shù)對(duì)曲率影響較大. 由圖7(A)可見, 曲率的最大值隨集中載荷的增大而增大, 在相變階段, 載荷對(duì)曲率的影響比初始階段更明顯. 由圖7(B)可見, 在初始階段, 改變拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)曲率影響較小, 但在相變階段影響較大. 由圖7(C)可見, 改變變截面系數(shù)對(duì)梁兩端曲率的影響較小, 而對(duì)梁中間部分截面影響較大, 在同一截面, 變截面系數(shù)越大, 曲率越大.

2.5 相邊界

相邊界和截面位置的關(guān)系如圖8所示. 在相變階段, 載荷和變截面系數(shù)對(duì)相邊界影響較大, 拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)受拉側(cè)相邊界的影響較小.

由圖8(A)可見: 隨著集中載荷的增大, 馬氏體部分由梁根部逐漸向梁中部擴(kuò)散; 混合相和奧氏體的相邊界與馬氏體和混合相的相邊界整體向梁受載小的部分移動(dòng). 由圖8(B)可見, 增大拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)受拉側(cè)影響較小, 但受壓側(cè)奧氏體和混合相的相邊界逐漸靠近梁受載大的部分. 由圖8(C)可見, 隨著變截面系數(shù)的增大, 奧氏體和混合相相邊界與混合相和馬氏體相邊界整體向梁端部移動(dòng), 且影響較大.

綜上, 本文在考慮拉壓不對(duì)稱性的基礎(chǔ)上得到了梁截面上應(yīng)力的解析表達(dá)式, 通過(guò)有限元計(jì)算驗(yàn)證了本文理論計(jì)算方法的可靠性, 并討論了變截面系數(shù)對(duì)中性軸位移、 曲率和相邊界的影響, 得到如下結(jié)論:

1) 在相變階段, 載荷越大, 中性軸位移最大值的截面位置越靠近梁中間截面; 中性軸位移隨拉壓不對(duì)稱系數(shù)的增大而增大; 中性軸位移的最大值隨變截面系數(shù)的增大而減小, 變截面系數(shù)越大, 中性軸位移最大值的截面越靠近中間截面.

2) 在梁載荷較小的部分, 變截面系數(shù)和拉壓不對(duì)稱系數(shù)對(duì)中性軸、 曲率和相邊界的影響較小; 在梁載荷較大的部分, 梁進(jìn)入相變階段, 曲率在彎矩最大值處達(dá)到最大值, 且曲率的變化量隨載荷的增大而增大.

3) 載荷和變截面系數(shù)越大, 相邊界越遠(yuǎn)離截面邊緣; 拉壓不對(duì)稱系數(shù)越大, 受壓側(cè)越不易發(fā)生相變, 但對(duì)受拉側(cè)影響較小.