郭 媛, 王旦霞, 張建文
(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原 030024)
經(jīng)典Cahn-Hilliard方程用于描述非均勻體系中的相分離和粗化現(xiàn)象[1-3]. 黏性Cahn-Hilliard方程[4]是對經(jīng)典Cahn-Hilliard方程的推廣. 目前, 關(guān)于黏性Cahn-Hilliard方程數(shù)值解法的研究已得到廣泛關(guān)注. 文獻[5]基于標量輔助變量方法構(gòu)造了黏性Cahn-Hilliard方程的一階和二階數(shù)值格式; 文獻[6]給出了時間雙層網(wǎng)格的有限元數(shù)值方法; 文獻[7]對帶有非恒定梯度能量系數(shù)的黏性Cahn-Hilliard方程建立了有限元數(shù)值格式; 文獻[8]使用凸分裂方法提出了有限差分格式, 并證明了所提格式是無條件能量穩(wěn)定的.
求解黏性Cahn-Hilliard方程的關(guān)鍵是如何在保持能量穩(wěn)定性的條件下, 對非線性項進行線性離散. 本文采用文獻[9]的Lagrange乘子方法, 在黏性Cahn-Hilliard方程中構(gòu)造線性數(shù)值格式. 引入Lagrange乘子黏性Cahn-Hilliard方程如下:
(1)
其邊界條件和初值條件分別為
模型(1)的能量函數(shù)定義[10]為
滿足能量耗散定律
并且是質(zhì)量守恒的, 即(u(·,t),1)=(u0,1).
本文首先給出模型(1)的半離散格式和全離散格式; 其次給出能量穩(wěn)定性分析及所提格式的二階收斂估計; 最后給出一些數(shù)值算例證明所提格式的精確性和有效性.
模型(1)的混合弱形式為
把時間區(qū)間[0,T]做一致劃分0=t0 考慮模型(1)的半離散格式, 即給定un-1,un, 求un+1滿足 其中 Sh={vh∈C(Ω)||vh|K∈Pk(x,y),K∈T}?H1(Ω), 這里Pk(x,y)是x,y的次數(shù)不超過k∈+的多項式集合. 對方程組(8)-(10)求和得 根據(jù)2a·(3a-4b+c)=a2-b2+(2a-b)2-(2b-c)2+(a-2b+c)2, 得 證畢. 證畢. (12) 證明: 將式(11)從1~n求和即可得式(12). 為簡單, 引入下列符號: 對于(u,r), 做如下正則性假設(shè): u∈w3,∞(0,T;L2(Ω))∩w1,∞(0,T;Hq+1(Ω)),r∈w3,∞(0,T;L2(Ω))∩w1,∞(0,T;Hq+1(Ω)). 定義1[11]Ritz算子Rh:H1(Ω)→Sh滿足 ((u-Rhu),u)=0, ?v∈Sh, (Rhu-u,1)=0, 并且Ritz投影算子滿足以下估計: ‖u-Rhu‖+h‖u-Rhu‖H1(Ω)≤Chq+1‖u‖Hq+1(Ω). 引理1[12]假設(shè)u是方程(1)的解, 則有如下估計: 成立, 其中CT,ε表示常數(shù)C與T和ε有關(guān). 證明: 當t=n+1時, 方程組(2)-(4)減去方程組(5)-(7), 得 當n=0時, 由2a·(a-b)=a2-b2+(a-b)2得, 其中 下面依次估計Mi.根據(jù)Young不等式[13]、 Cauchy-Schwarz不等式和引理1, 得 其中 當n=0時, 有 根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、 引理1及Young不等式, 得 當n=0時, 對M8估計如下: 把式(17)~(27)代入式(16), 并將兩邊同乘4τ: 當n≥1時, 有 其中 當n=0時, 有 證畢. 下面通過數(shù)值算例[14-15]對理論誤差估計和能量穩(wěn)定性進行驗證, 其中u,w,r取P2元[16]有限元空間. 表1 當ε=0.1時的空間收斂階Table 1 Spatial convergence order of when ε=0.1 u0=0.5+0.17cos(πx)cos(2πy)+0.2cos(3πx)cos(πy). (30) 表2 當β=0.04時的時間收斂階Table 2 Time convergence order of when β=0.04 圖1 能量隨時間的演化曲線Fig.1 Evolution curves of energy with time (A) T=0.001 s; (B) T=0.1 s; (C) T=0.5 s; (D) T=1.5 s; (E) T=3 s; (F) T=5 s.圖3 當β=0.1時的相分離過程Fig.3 Phase separation process when β=0.11.2 全離散格式
2 穩(wěn)定性分析
3 誤差分析
4 數(shù)值分析
4.1 空間收斂階
4.2 時間收斂階
4.3 能量耗散
4.4 相分離