亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        黏性Cahn-Hilliard方程的二階BDF數(shù)值格式

        2023-09-27 01:36:14王旦霞張建文
        關(guān)鍵詞:黏性方程組二階

        郭 媛, 王旦霞, 張建文

        (太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原 030024)

        0 引 言

        經(jīng)典Cahn-Hilliard方程用于描述非均勻體系中的相分離和粗化現(xiàn)象[1-3]. 黏性Cahn-Hilliard方程[4]是對經(jīng)典Cahn-Hilliard方程的推廣. 目前, 關(guān)于黏性Cahn-Hilliard方程數(shù)值解法的研究已得到廣泛關(guān)注. 文獻[5]基于標量輔助變量方法構(gòu)造了黏性Cahn-Hilliard方程的一階和二階數(shù)值格式; 文獻[6]給出了時間雙層網(wǎng)格的有限元數(shù)值方法; 文獻[7]對帶有非恒定梯度能量系數(shù)的黏性Cahn-Hilliard方程建立了有限元數(shù)值格式; 文獻[8]使用凸分裂方法提出了有限差分格式, 并證明了所提格式是無條件能量穩(wěn)定的.

        求解黏性Cahn-Hilliard方程的關(guān)鍵是如何在保持能量穩(wěn)定性的條件下, 對非線性項進行線性離散. 本文采用文獻[9]的Lagrange乘子方法, 在黏性Cahn-Hilliard方程中構(gòu)造線性數(shù)值格式. 引入Lagrange乘子黏性Cahn-Hilliard方程如下:

        (1)

        其邊界條件和初值條件分別為

        模型(1)的能量函數(shù)定義[10]為

        滿足能量耗散定律

        并且是質(zhì)量守恒的, 即(u(·,t),1)=(u0,1).

        本文首先給出模型(1)的半離散格式和全離散格式; 其次給出能量穩(wěn)定性分析及所提格式的二階收斂估計; 最后給出一些數(shù)值算例證明所提格式的精確性和有效性.

        1 離散格式

        1.1 半離散格式

        模型(1)的混合弱形式為

        把時間區(qū)間[0,T]做一致劃分0=t0

        考慮模型(1)的半離散格式, 即給定un-1,un, 求un+1滿足

        其中

        1.2 全離散格式

        Sh={vh∈C(Ω)||vh|K∈Pk(x,y),K∈T}?H1(Ω),

        這里Pk(x,y)是x,y的次數(shù)不超過k∈+的多項式集合.

        2 穩(wěn)定性分析

        對方程組(8)-(10)求和得

        根據(jù)2a·(3a-4b+c)=a2-b2+(2a-b)2-(2b-c)2+(a-2b+c)2, 得

        證畢.

        證畢.

        (12)

        證明: 將式(11)從1~n求和即可得式(12).

        3 誤差分析

        為簡單, 引入下列符號:

        對于(u,r), 做如下正則性假設(shè):

        u∈w3,∞(0,T;L2(Ω))∩w1,∞(0,T;Hq+1(Ω)),r∈w3,∞(0,T;L2(Ω))∩w1,∞(0,T;Hq+1(Ω)).

        定義1[11]Ritz算子Rh:H1(Ω)→Sh滿足

        ((u-Rhu),u)=0, ?v∈Sh, (Rhu-u,1)=0,

        并且Ritz投影算子滿足以下估計:

        ‖u-Rhu‖+h‖u-Rhu‖H1(Ω)≤Chq+1‖u‖Hq+1(Ω).

        引理1[12]假設(shè)u是方程(1)的解, 則有如下估計:

        成立, 其中CT,ε表示常數(shù)C與T和ε有關(guān).

        證明: 當t=n+1時, 方程組(2)-(4)減去方程組(5)-(7), 得

        當n=0時, 由2a·(a-b)=a2-b2+(a-b)2得,

        其中

        下面依次估計Mi.根據(jù)Young不等式[13]、 Cauchy-Schwarz不等式和引理1, 得

        其中

        當n=0時, 有

        根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、 引理1及Young不等式, 得

        當n=0時, 對M8估計如下:

        把式(17)~(27)代入式(16), 并將兩邊同乘4τ: 當n≥1時, 有

        其中

        當n=0時, 有

        證畢.

        4 數(shù)值分析

        下面通過數(shù)值算例[14-15]對理論誤差估計和能量穩(wěn)定性進行驗證, 其中u,w,r取P2元[16]有限元空間.

        4.1 空間收斂階

        表1 當ε=0.1時的空間收斂階Table 1 Spatial convergence order of when ε=0.1

        u0=0.5+0.17cos(πx)cos(2πy)+0.2cos(3πx)cos(πy).

        (30)

        4.2 時間收斂階

        表2 當β=0.04時的時間收斂階Table 2 Time convergence order of when β=0.04

        4.3 能量耗散

        圖1 能量隨時間的演化曲線Fig.1 Evolution curves of energy with time

        4.4 相分離

        (A) T=0.001 s; (B) T=0.1 s; (C) T=0.5 s; (D) T=1.5 s; (E) T=3 s; (F) T=5 s.圖3 當β=0.1時的相分離過程Fig.3 Phase separation process when β=0.1

        猜你喜歡
        黏性方程組二階
        深入學(xué)習(xí)“二元一次方程組”
        《二元一次方程組》鞏固練習(xí)
        一類二階迭代泛函微分方程的周期解
        富硒產(chǎn)業(yè)需要強化“黏性”——安康能否玩轉(zhuǎn)“硒+”
        當代陜西(2019年14期)2019-08-26 09:41:56
        一類次臨界Bose-Einstein凝聚型方程組的漸近收斂行為和相位分離
        如何運用播音主持技巧增強受眾黏性
        傳媒評論(2019年4期)2019-07-13 05:49:28
        一類二階中立隨機偏微分方程的吸引集和擬不變集
        二階線性微分方程的解法
        一類二階中立隨機偏微分方程的吸引集和擬不變集
        玩油灰黏性物成網(wǎng)紅
        華人時刊(2017年17期)2017-11-09 03:12:03
        变态另类人妖一区二区三区| 国产精品白浆视频一区| 久久成人黄色免费网站| 美女露出奶头扒开内裤的视频| 五月四房播播| 装睡被陌生人摸出水好爽| 最新亚洲无码网站| 色噜噜亚洲精品中文字幕| 妺妺窝人体色www婷婷| 日本丰满人妻xxxxxhd| 青青青伊人色综合久久亚洲综合| 亚洲天堂av在线免费播放| 色综合久久蜜芽国产精品| 国产人与禽zoz0性伦| 亚洲欧洲综合有码无码| 亚洲白嫩少妇在线喷水| 中文字幕人妻无码视频| 亚洲av无码一区二区乱子伦| 久久精品韩国日本国产| 亚洲视频在线观看一区二区三区| 亚洲精品久久一区二区三区777| 青青操国产在线| 日本在线视频二区一区| 女优av一区二区三区| 国产精品免费大片| 国产精品亚洲ΑV天堂无码| 亚洲国产一区二区中文字幕| 国产偷久久久精品专区| 思思久久99er热只有频精品66| 最新国产主播一区二区| 国产成人综合久久久久久| 美丽的熟妇中文字幕| 亚洲精品国产不卡在线观看| 三上悠亚亚洲精品一区| 粉嫩被粗大进进出出视频| 亚州精品无码人妻久久| 少妇特殊按摩高潮对白| 国产成人av一区二区三区在线观看| 厨房玩丰满人妻hd完整版视频 | 国产成人夜色在线视频观看| 亚洲av综合国产av日韩|