瞿 婧, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

考慮四階邊值問題(BVP)

(1)

的可解性, 其中f: [0,1]×2→連續(xù).問題(1)是描述兩端固定支撐靜態(tài)彈性梁形變的數(shù)學(xué)模型, 其中u(x)表示梁形變的位移,u′(x)表示隅角.彈性梁是現(xiàn)代建筑、 飛機(jī)和船舶的基本結(jié)構(gòu)之一, 由于彈性梁的支撐條件不同, 已推導(dǎo)出了各種邊值問題[1].近年來, 對四階邊值問題的研究多集中于兩端簡單支撐的彈性梁方程

及一端固定、 另一端自由的彈性梁方程

關(guān)于這兩類問題的研究已有很多結(jié)果[2-3].而對兩端固定的彈性梁方程BVP(1)的研究相對較少, 已有研究只考慮了該問題非線性項(xiàng)不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情形[4-10].Agarwal等[4]首次考慮了四階邊值問題

(2)

利用壓縮映射和數(shù)值迭代方法研究了該問題正解的存在性; 文獻(xiàn)[5-7]分別用錐拉伸與錐壓縮不動點(diǎn)定理、 Krasnoselskii不動點(diǎn)定理和錐上的混合單調(diào)算子不動點(diǎn)定理, 在非線性項(xiàng)f滿足一些不等式的條件下, 討論了BVP(2)正解的存在性; 文獻(xiàn)[8]在部分有序度量空間中用不動點(diǎn)定理得到了BVP(2)的唯一對稱正解; 文獻(xiàn)[9]用不動點(diǎn)指數(shù)理論和上下解方法研究了BVP(2), 得到了該方程多個正解的存在性結(jié)果, 并且建立了正解與對應(yīng)線性問題第一特征值之間的關(guān)系; 文獻(xiàn)[10]通過對非線性項(xiàng)f的約束條件進(jìn)行弱化, 利用Laplace變換的方法求出了BVP(2)的Green函數(shù), 從而用不動點(diǎn)指數(shù)定理給出了該問題正解的存在性.

上述研究方法大多數(shù)都是通過粗略估計(jì)對應(yīng)Green函數(shù)的性質(zhì), 在非線性項(xiàng)f非負(fù)且不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況下, 得到了相應(yīng)問題非負(fù)解或正解的存在性, 但對BVP(1)含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情形研究目前未見文獻(xiàn)報(bào)道. 本文在不假設(shè)f非負(fù), 允許f(x,u,v)關(guān)于u,v超線性增長的條件下, 用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理給出BVP(1)解的存在性和唯一性結(jié)果.

1 預(yù)備知識

為討論BVP(1), 先考慮相應(yīng)的四階線性邊值問題(LBVP):

(3)

引理1對任意的h∈L2(I), LBVP(3)有唯一解u∶=Sh∈H4(I), 且解算子S:L2(I)→H4(I)是線性有界算子.

證明: 設(shè)h∈L2(I), 易驗(yàn)證

(4)

是LBVP(3)的唯一解, 其中G(x,y)為LBVP(3)的Green函數(shù), 其表達(dá)式參見文獻(xiàn)[6].由式(4)知, 解算子S:L2(I)→H4(I)是線性有界算子.證畢.

引理2對任意的h∈L2(I), LBVP(3)的解u=Sh∈H4(I)滿足

(5)

(6)

則由Fourier系數(shù)的積分公式, 可得u″的正弦展式

(7)

(8)

由式(6)～(8)及Parseval等式, 有

因此式(5)成立.證畢.

設(shè)f:I×2→連續(xù), 定義映射F:C1(I)→C(I)為

F(u)(x)=f(x,u(x),u′(x)),x∈I,u∈C1(I).

由f的連續(xù)性,F:C1(I)→C(I)連續(xù)且它將C1(I)中的每個有界集映為C(I)中的有界集.考慮復(fù)合映射

A=S°F.

(9)

由S:C(I)→C1(I)的全連續(xù)性及F:C1(I)→C(I)的連續(xù)性可知,A:C1(I)→C1(I)是全連續(xù)算子.由LBVP(3)解算子的定義知, BVP(1)的解等價于算子A的不動點(diǎn). 下面用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理[11-12]討論BVP(1)解的存在性.

2 主要結(jié)果

假設(shè)條件:

(H1) 存在常數(shù)a,b≥0, 滿足a/π4+b/π2<1且c>0, 使得

-f(x,u,v)u≤au2+bv2+c,x∈I,u,v∈;

(H2) 存在常數(shù)a,b≥0, 滿足a/π4+b/π2<1, 使得

-(f(x,u2,v2)-f(x,u1,v1))(u2-u1)≤a(u2-u1)2+b(v2-v1)2,x∈I, (u1,v1),(u2,v2)∈2.

定理1假設(shè)f:I×2→連續(xù), 若f滿足條件(H1), 則BVP(1)至少有一個解.

證明: 設(shè)A:C1(I)→C1(I)是如式(9)所定義的全連續(xù)映射, 則BVP(1)的解等價于算子A的不動點(diǎn).本文用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理證明A有不動點(diǎn).先考慮同倫方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(10)

下證方程(10)的解集在C1(I)上有界.設(shè)u∈C1(I)是某個λ∈(0,1)對應(yīng)的方程(10)中的解.由算子A的定義,u=S(λF(u)).令h=λF(u), 由于h∈C(I), 由S的定義,u=Sh∈C4(I)是LBVP(3)的唯一解.因此u滿足微分方程

(11)

將方程(11)中第一式兩端乘以-u(x), 由條件(H1), 有

將式(12)在I上積分, 左側(cè)利用分部積分, 右側(cè)由引理2, 有

從而得

(13)

因此, 對任意的x∈I, 由引理2及式(13), 有

定理2假設(shè)f:I×2→連續(xù), 若f滿足條件(H2), 則BVP(1)有唯一解.

證明: 取u1=v1=0,u2=u,v2=v, 易證(H2)?(H1).因此由定理1知, BVP(1)至少有一個解.設(shè)u1,u2∈C4(I)是BVP(1)的兩個解.令u=u2-u1且h=F(u2)-F(u1), 則u=u2-u1=Au2-Au1=S(F(u2))-S(F(u1))=Sh是LBVP(3)的解, 且滿足方程

(14)

將方程(14)兩端乘以-u(x)=-(u2(x)-u1(x)), 由條件(H2), 有

在I上積分不等式(15), 左側(cè)利用分部積分, 右側(cè)由引理2, 有

(16)

3 應(yīng)用實(shí)例

例1考慮如下四階邊值問題:

(17)

對應(yīng)BVP(1), 非線性項(xiàng)

f(x,u,v)=4v+uv2+u3+sin(πx)

(18)

關(guān)于u,v超線性增長, 文獻(xiàn)[4-10]的結(jié)果不適用于BVP(17).

因此條件(H1)成立.由定理1知, BVP(17)至少有一個解.

例2考慮如下四階邊值問題:

(19)

對應(yīng)BVP(1), 非線性項(xiàng)f(x,u,v)=-3u+5u3+4v+x關(guān)于u超線性增長, 文獻(xiàn)[4-10]的結(jié)果不適用于BVP(19).

下面驗(yàn)證條件(H2)成立.取a=4,b=4, 則a/π4+b/π2<1.對任意的x∈I, (u1,v1),(u2,v2)∈2, 由微分中值定理知, 存在ξ=u1+θ(u2-u1),η=v1+θ(v2-v1), 其中θ∈(0,1), 使得

因此條件(H2)成立.由定理2, BVP(19)存在唯一解.