?淄博市周村區(qū)第一中學(xué) 崔 濤

?淄博市周村區(qū)教育教學(xué)研究室 朱向東

1 原題呈現(xiàn)

如圖,P為正方形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn),連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作MN⊥DE分別交BC,AD于M,N.

(1)如圖1,求證:MN=DE.

圖1

(2)如圖2,點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng),連接FA并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)G,連接BG.

圖2

①設(shè)∠ADE的度數(shù)為x,求∠DGF的度數(shù);

②猜想AF與BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

2 解題思路分析

核心概念,居于學(xué)科知識(shí)的中心地位,具有廣泛的適用性和解釋力.在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,核心概念表現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)狀、持久性和可遷移等特點(diǎn).對(duì)核心概念的深度理解,能夠幫助學(xué)生把握知識(shí)本質(zhì),形成學(xué)科觀念;推動(dòng)知識(shí)關(guān)聯(lián)的高效形成,發(fā)展應(yīng)用能力;生長(zhǎng)和優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)核心素養(yǎng).

對(duì)于第(2)大問(wèn)的第②小問(wèn),筆者立足核心概念,深挖概念背后的本質(zhì)屬性,明晰思維路徑,聯(lián)通知識(shí)網(wǎng)絡(luò).利用幾何直觀,圖形化核心概念的內(nèi)涵,給出如下解題方案:

第一種方案是以“軸對(duì)稱(chēng)”為問(wèn)題分析的起點(diǎn),構(gòu)造基本圖.利用圖形關(guān)系,與正方形的相關(guān)性質(zhì)形成關(guān)聯(lián).通過(guò)三角形相似或三角函數(shù),落腳于線段的比,實(shí)現(xiàn)目標(biāo)線段數(shù)量關(guān)系的求解.第二種方案是立足“等腰三角形”,結(jié)合先驗(yàn)知識(shí),添加常用輔助線.聚焦圖形變化,與正方形的相關(guān)性質(zhì)形成關(guān)聯(lián).通過(guò)幾何直觀,進(jìn)一步擬定解題策略.通過(guò)三角形相似或三角函數(shù),求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

3 解題方案實(shí)施

結(jié)合上面的兩種方案,有如下6種具體思路和解法.

思路1：聚焦軸對(duì)稱(chēng),構(gòu)造基本圖.通過(guò)幾何直觀,猜想并證明△CAF與△CBG相似.借助相似比,求得目標(biāo)線段之間的數(shù)量關(guān)系.

圖3

思路2：以軸對(duì)稱(chēng)為起點(diǎn),基本圖為根本.通過(guò)構(gòu)造和證明△CBH與△ABG全等,得到與線段AG等長(zhǎng)的線段CH.最后,通過(guò)線段和差與等腰直角三角形BGH的相關(guān)性質(zhì),求得目標(biāo)線段之間的數(shù)量關(guān)系.

圖4

思路3：立足軸對(duì)稱(chēng),活用基本圖.深入挖掘其性質(zhì)與正方形之間的關(guān)聯(lián).通過(guò)幾何直觀,構(gòu)造、猜想和證明△DBG與△CAP全等,實(shí)現(xiàn)線段BG位置的轉(zhuǎn)移,進(jìn)而求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

圖5

思路4：以等腰三角形DAF為思維起點(diǎn),通過(guò)合理聯(lián)想,構(gòu)造等腰三角形OBG.假借幾何直觀,猜想并證明兩個(gè)等腰三角形相似.運(yùn)用相似比,求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

圖6

思路5：聚焦等腰三角形DAF,過(guò)頂點(diǎn)作垂線,與等腰直角三角形和正方形的相關(guān)性質(zhì)相關(guān)聯(lián).通過(guò)幾何直觀,猜想并證明△BDG與△ADH相似.通過(guò)相似比,求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

圖7

思路6：在解法5的基礎(chǔ)上,對(duì)相似基本圖進(jìn)行再探究、再發(fā)現(xiàn),構(gòu)造“一線三等角”.利用三角形全等,建立線段等量關(guān)系.利用特殊角的三角函數(shù),求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

圖8

4 反思

通過(guò)思維路徑的明晰和解題方案的實(shí)施,不難發(fā)現(xiàn),核心概念作為問(wèn)題分析的起點(diǎn)、知識(shí)融合的關(guān)聯(lián)點(diǎn)、素養(yǎng)提升的落腳點(diǎn),貫穿解題活動(dòng)的始終.核心概念背后潛藏的知識(shí)、方法和思想,反映出學(xué)科的主要觀點(diǎn)和思維方式,搭建成學(xué)科骨架,內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主干.為了加深數(shù)學(xué)理解、追求數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展關(guān)鍵能力、養(yǎng)成必備品格,筆者立足“三會(huì)”,從核心概念的視角,對(duì)積淀核心素養(yǎng)的方法進(jìn)行了如下幾點(diǎn)思考:

4.1 豐富核心概念的圖形化內(nèi)涵,發(fā)展幾何直觀

在我國(guó)現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中,對(duì)“直觀”的解釋是:用感官直接接受,直接觀察.國(guó)內(nèi)學(xué)者和教育家則認(rèn)為:直觀是直接從感覺(jué)和具體背后,發(fā)現(xiàn)抽象的實(shí)質(zhì).新課標(biāo)對(duì)幾何直觀的定義為:運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣.在教學(xué)和解題活動(dòng)中,將核心概念的內(nèi)涵圖形化,有利于發(fā)現(xiàn)思維起點(diǎn),洞察知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn),把握問(wèn)題本質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光.

4.2 厘清核心概念潛藏的內(nèi)在關(guān)聯(lián),提升推理能力

對(duì)核心概念的學(xué)習(xí),應(yīng)該更側(cè)重于概念背后的知識(shí)、方法和思想,側(cè)重于思維方式的建立和意識(shí)、觀念的形成.在教學(xué)和解題活動(dòng)中,應(yīng)注重對(duì)學(xué)生循循善誘,啟發(fā)引導(dǎo).在探求概念實(shí)質(zhì)的過(guò)程中,積累推理經(jīng)驗(yàn),體悟數(shù)學(xué)思想.在對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、猜想與證明的過(guò)程中,深化邏輯思維,提升推理能力.養(yǎng)成講道理、有條理的學(xué)科思維品質(zhì).

4.3 感悟核心概念的統(tǒng)攝性和解釋力,凝練數(shù)學(xué)表達(dá)

思維的統(tǒng)攝性,是指在思考和處理復(fù)雜的系統(tǒng)性事物時(shí),能夠統(tǒng)籌兼顧各個(gè)部分,進(jìn)行優(yōu)化操作,使繁雜而浩大的思維工程有條不紊地進(jìn)行.

核心概念在學(xué)科知識(shí)中的統(tǒng)攝性,體現(xiàn)在其對(duì)學(xué)科知識(shí)的包容性、關(guān)聯(lián)性,以及普遍存在性和廣泛遷移性.核心概念統(tǒng)攝學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)科思維的發(fā)展,學(xué)科觀念的形成.在教學(xué)和解題活動(dòng)中,應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)揮好核心概念的普遍解釋力,凝練好數(shù)學(xué)語(yǔ)言,多途徑、分層次地對(duì)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)表達(dá).滲透用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí),發(fā)展用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.