?山東省淄博市張店區(qū)第八中學(xué) 孫程程

羅增儒老師說過,誰也無法教會(huì)所有的題,重要的是通過有限道題的學(xué)習(xí),領(lǐng)悟那種可以解決無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).高昂的時(shí)間成本是教學(xué)活動(dòng)難以逾越的障礙,一節(jié)課如果內(nèi)容太多,任務(wù)太重,學(xué)生很忙,思考力就難以提升.因此,作為教學(xué)設(shè)計(jì)者和執(zhí)行人的教師,要反復(fù)研讀教材,在尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的前提下設(shè)計(jì)合理可行的習(xí)題,體現(xiàn)教學(xué)重難點(diǎn),不讓學(xué)生做廉價(jià)的發(fā)現(xiàn)、無畏的探索.教師在習(xí)題設(shè)計(jì)中要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置障礙,讓學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài).鑒于此,筆者結(jié)合多年初中數(shù)學(xué)一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn),具體談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中“習(xí)題設(shè)計(jì)”的理念.

1 精心設(shè)計(jì)習(xí)題的變式

變式教學(xué)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢,它不是一味地灌輸知識(shí),而是點(diǎn)燃思維的火焰.變式可以引領(lǐng)學(xué)生不斷面對新的問題,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決問題,逐步讓知識(shí)向深處漫溯,形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu),從而促進(jìn)思維能力的提高.善于變式體現(xiàn)了一個(gè)教師的專業(yè)功底.好的變式是一節(jié)好課的心臟,能讓一節(jié)課“活”起來,觸發(fā)學(xué)生的思考.各變式之間,要具備并列或遞進(jìn)的關(guān)系,要具有層次性,由易到難,層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,前一個(gè)問題是后一個(gè)問題的基礎(chǔ)與鋪墊,即思維逐層深入,逐步拓展,達(dá)到“會(huì)一題通一類”的效果.

下面以“勾股定理”中的習(xí)題為例進(jìn)行變式設(shè)計(jì).

例在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,求c的長.

變式1如圖1,一棵垂直于地面的樹被臺(tái)風(fēng)吹倒,在離樹頂部5 m處折斷,樹頂距樹底部4 m,則樹高為m.

圖1

分析：已知直角三角形斜邊為5,一直角邊為4,則另一直角邊為3.學(xué)生在實(shí)際解決中,容易錯(cuò)把3 m作為答案,忘記樹高還要再加折斷的5 m,正確答案應(yīng)是8 m.

設(shè)計(jì)意圖：變式1在勾股定理的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)的思維來解決實(shí)際問題.變式1用勾股定理搭建思維的扶梯,用數(shù)學(xué)的眼光來看待現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題,體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義.

變式2一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則此直角三角形的第三邊長為.

設(shè)計(jì)意圖：變式2從實(shí)際問題再回歸到數(shù)學(xué)問題,例題及變式1的解決,為變式2做了足夠的鋪墊,凸顯了分類討論思想,屬于暴露易錯(cuò)點(diǎn)的變式.變式1到變式2的過渡,從形象到抽象,關(guān)注了知識(shí)的內(nèi)涵和外延,增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟以及對數(shù)學(xué)技能的掌握,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

變式3如圖2,三個(gè)正方形的邊圍成一個(gè)直角三角形,兩個(gè)正方形的面積分別為225和144,則正方形A的面積是.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：把勾股定理融入變式中,從數(shù)到形,數(shù)形結(jié)合,讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)引發(fā)思考,促進(jìn)思維的進(jìn)階,深度參與解決問題.

變式4如圖3,在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形,已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個(gè)的正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2 +S3+S4=.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：變式4屬于拓展型變式,熟練方能收獲巧思,通過變式,增加重復(fù)的價(jià)值,比投身題海戰(zhàn)術(shù)收效更大.認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的同化與順應(yīng),促進(jìn)新圖式構(gòu)建與元認(rèn)知能力的發(fā)展,充分挖掘思維潛能,發(fā)展思維的靈活性與深刻性.

變式5如圖4是一個(gè)三級臺(tái)階,它的每一級的長、寬和高分別為20 dm,3 dm,2 dm,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對的端點(diǎn),A點(diǎn)有一只螞蟻,想到B點(diǎn)去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少?

圖4

設(shè)計(jì)意圖：臺(tái)階中的最值問題,讓學(xué)生感悟解決現(xiàn)實(shí)問題要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)背景,在建立模型的過程中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,有效拓展,深刻理解模型的關(guān)鍵條件,強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí),把復(fù)雜問題化歸為簡單熟悉的問題,將知識(shí)縱向遷移,提高解題能力.

變式是鞏固新知識(shí)的好方法,運(yùn)用變式教學(xué),層層遞進(jìn),逐步深挖,突破思維定式,激起學(xué)生好奇心.通過一系列的變式教學(xué),始終圍繞“勾股定理”這個(gè)知識(shí)“點(diǎn)”,通過變式串成一條“線”,再拓展延伸成“面”.將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,在潤物無聲中培養(yǎng)學(xué)生的探知能力,實(shí)現(xiàn)從理解知識(shí)到掌握知識(shí)的飛躍,提升并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 善于設(shè)計(jì)一題多解的習(xí)題

培養(yǎng)思維不設(shè)限,一題多解,多方面多角度思考,可以拓寬思路,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提升思維的廣闊性、深刻性、靈活性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性;知道為什么這樣做,還可以怎么做.學(xué)生思維一旦激活,奇思妙想就會(huì)宛如“千樹萬樹梨花開”,既鞏固了技能,又培養(yǎng)了能力,比再練一道同類題目收益更大.

如:若x=2是一元二次方程x2+4x-p=0的一個(gè)根,求該方程的另一個(gè)根.

本題以一元二次方程為載體,通過一題多解,讓學(xué)生感受到應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題的優(yōu)越性,體現(xiàn)發(fā)展為本的理念,讓學(xué)生從“惑”中走出來,知識(shí)、素養(yǎng)、經(jīng)驗(yàn)、智慧都拾級而上.

3 設(shè)計(jì)體現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)、串聯(lián)新舊知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》課程實(shí)施中提出的教學(xué)建議為整體把握教學(xué)內(nèi)容,注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.

如,人教版“23.2.3關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)”的教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生探索并掌握了“平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”這一規(guī)律時(shí),筆者設(shè)計(jì)如下習(xí)題.

如:已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+4a-1的圖象是C1,求C1關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對稱的圖象C2的函數(shù)解析式.

拓展二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的拋物線C2的解析式是什么?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

延伸二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)關(guān)于x軸對稱的拋物線C2的解析式是什么?你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

歸納:關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱即是把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,其特征為無論作何種變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此|a|永遠(yuǎn)不變.求變換后的拋物線的解析式時(shí),可以先確定原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定變換后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其變換后拋物線的一般表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖：把坐標(biāo)平面內(nèi)“點(diǎn)”的中心對稱遷移到“拋物線”的中心對稱或軸對稱,綜合應(yīng)用了中心對稱、軸對稱和二次函數(shù)的聯(lián)系,提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力.因此,習(xí)題設(shè)計(jì)的“結(jié)構(gòu)化”體現(xiàn)了課時(shí)內(nèi)容的疊加,把碎片化的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)整合起來,把不同章節(jié)的新舊知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來,由新知聯(lián)想舊知,通過對比、分析、推理,深入理解知識(shí)的內(nèi)涵和外延,豐富知識(shí)網(wǎng)絡(luò),完善知識(shí)體系,形成高效教學(xué),提升并發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 善于在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法

以“轉(zhuǎn)化思想”為例:如圖5,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(且點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合),PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥AC于點(diǎn)F,則EF的最小值為( ).

圖5

A.4 B.4.8 C.5.2 D.6

本題立足于“垂線段最短”這一知識(shí)“生長點(diǎn)”,由已知條件可得四邊形AEPF為矩形,鎖定已知,構(gòu)建聯(lián)系;利用矩形對角線相等的性質(zhì),把線段EF的長轉(zhuǎn)化為AP的長;再根據(jù)垂線段最短原理,利用等積法即可求解.此過程中讓學(xué)生積極參與探索,了解問題的實(shí)質(zhì),產(chǎn)生新舊知識(shí)沖突,感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的快樂,真正做到“懂”“通”“透”,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力,對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升起到“春風(fēng)化雨,潤物無聲”的效果.

數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)題設(shè)計(jì)能力是每一個(gè)教師需要終身修煉的教學(xué)基本功.它需要教師深入研讀教材,重視教材內(nèi)容的解讀,聚焦核心素養(yǎng),把要傳授的內(nèi)容濃縮體現(xiàn)在習(xí)題之中,并將其加工滲透于習(xí)題之中,而這又是專業(yè)基本功的體現(xiàn).因此,在教師生涯中,追求精益求精的習(xí)題設(shè)計(jì)能力是值得持之以恒探索的課題.