? 甘肅省慶陽(yáng)市正寧縣第四中學(xué) 李志明

無(wú)刻度直尺作圖是尺規(guī)作圖中的一種,有些省市的中考命題者對(duì)此十分青睞.然而,這一內(nèi)容恰巧是學(xué)生的薄弱項(xiàng),表現(xiàn)出了諸多不足,導(dǎo)致利用無(wú)刻度直尺作圖題的得分率整體偏低.為此,本文中首先呈現(xiàn)例題及其錯(cuò)誤畫法,并在分析之后簡(jiǎn)要說(shuō)明無(wú)刻度直尺的工具屬性,最后通過(guò)呈現(xiàn)課堂教學(xué)片段的方式,和學(xué)生探究無(wú)刻度直尺作圖的方法.

1 例題及其錯(cuò)誤畫法呈現(xiàn)

例題呈現(xiàn)如下:

如圖1所示,四邊形AOCB是⊙O內(nèi)一菱形,且A,B,C都在圓上,請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作出線段OA的中點(diǎn).

圖1

本題圖形簡(jiǎn)單,條件不多,要求也比較明確,難度較小,筆者預(yù)估學(xué)生完成的質(zhì)量較高.但從學(xué)生的作圖來(lái)看,存在很多錯(cuò)誤之處,下面展示幾種錯(cuò)誤畫法(如圖2):

圖2

2 錯(cuò)解分析

圖2中的四種錯(cuò)解具有代表性.下面對(duì)這四種錯(cuò)解進(jìn)行分析.

圖2(1)雖關(guān)注到了可用無(wú)刻度直尺連接菱形AOCB的對(duì)角線構(gòu)造出點(diǎn)D,但之后直接取OA的中點(diǎn)并連接DE,這正是錯(cuò)誤之處.因?yàn)閮H用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),無(wú)法直接且準(zhǔn)確地取一條線段的中點(diǎn),所以違背了無(wú)刻度直尺的工具屬性.

圖2(2)的畫法雖然簡(jiǎn)單,但同樣違背了無(wú)刻度直尺的工具屬性.體現(xiàn)在兩個(gè)方面:首先,直接取BC的中點(diǎn);其次,直接取OA的中點(diǎn).

圖2(3)連接BO并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DA,作∠BDA的角平分線DE,與OA交于點(diǎn)F,與⊙O相交于點(diǎn)E.這種作法雖部分尊重了無(wú)刻度直尺的工具屬性,如“連接OB并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D”“連接DA”,但僅用無(wú)刻度直尺難以直接、準(zhǔn)確地畫出一個(gè)角的角平分線.

圖2(4)延長(zhǎng)CO與⊙O相交于點(diǎn)D,連接DA,連接BD,與OA相交于點(diǎn)E.這種作法雖然準(zhǔn)確找到了OA的中點(diǎn)E,每一步操作也符合無(wú)刻度直尺的工具屬性,但存在多余的線段,應(yīng)將DA刪除.

3 僅用無(wú)刻度直尺作圖的工具屬性說(shuō)明

從上述四種錯(cuò)解分析中可以看出,違反無(wú)刻度直尺的工具屬性最常見.那么,無(wú)刻度直尺的工具屬性有哪些呢?

首先,用無(wú)刻度直尺可連接點(diǎn),如圖2(1)中連接CA,OB和圖2(4)中連接BD的操作步驟都利用了這一點(diǎn).

其次,用無(wú)刻度直尺可將線段延長(zhǎng),如圖2(3)中“連接BO并延長(zhǎng)與⊙O相交于點(diǎn)D”和圖2(4)中“延長(zhǎng)CO與⊙O相交于點(diǎn)D”的操作步驟都利用了這一點(diǎn).

也就是說(shuō),在僅用無(wú)刻度直尺作圖的情況下,只能進(jìn)行連接點(diǎn)、延長(zhǎng)等操作,不能直接利用無(wú)刻度直尺取線段中點(diǎn)、作角平分線、作平行線、作垂線等[1].

4 僅用無(wú)刻度直尺作圖課堂實(shí)踐

雖然當(dāng)前的尺規(guī)作圖題無(wú)需寫出作圖步驟及證明過(guò)程,但這類題處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科特有的邏輯思維[2].那么,該如何引導(dǎo)學(xué)生去解決這類問(wèn)題?下面,展示教學(xué)片段:

師:請(qǐng)同學(xué)們?nèi)〕鲆粡埌准?將之折疊再折疊使之成為一把“無(wú)刻度直尺”.

學(xué)生折紙.

設(shè)計(jì)意圖：長(zhǎng)期以來(lái),有刻度的直尺作圖給學(xué)生留下了極其深刻的印象.用白紙折出“無(wú)刻度直尺”,幫助學(xué)生脫離有刻度直尺的束縛,是正確利用無(wú)刻度直尺作圖的關(guān)鍵.

師:請(qǐng)問(wèn)這樣的“直尺”有刻度嗎?

生:沒有.

師:利用它能否畫出一條直線或線段呢?請(qǐng)和同桌交流.

學(xué)生交流并分享.

生1:可以畫出直線,也可以畫出線段,還可以畫出射線.

師:請(qǐng)用你的“無(wú)刻度直尺”給所畫線段找出中點(diǎn),可以嗎?

學(xué)生尋找并討論.

教師巡視并收集錯(cuò)解,在白板上展示.

師:請(qǐng)看白板上展示的兩種作法,你認(rèn)為它們正確嗎?

學(xué)生觀察并思考.

生2:我認(rèn)為圖3的作法不正確.因?yàn)閮H用無(wú)刻度直尺“找”不到它的中點(diǎn).線段是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的,你怎么知道點(diǎn)O正好就是線段AB的中點(diǎn)呢?所以,我認(rèn)為這種畫法不正確.

圖3

生3:我覺得圖4的作法也有問(wèn)題.因?yàn)橛脽o(wú)刻度直尺畫中間直線時(shí),如何知道該直線恰好與線段AB互相垂直呢?

圖4

設(shè)計(jì)意圖：收集錯(cuò)解并向?qū)W生展示,有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題.借助錯(cuò)解讓學(xué)生反思,更有利于學(xué)生形成批判性思維,甚至創(chuàng)造性思維.

師:分析得非常有道理.那么僅用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),到底能做什么呢?

生4:我認(rèn)為可以連接點(diǎn).

生5:我認(rèn)為可以把線段向兩端延長(zhǎng).

…………

師:非常好.那么對(duì)于圖1,應(yīng)如何利用無(wú)刻度直尺作圖呢?請(qǐng)思考.

生:(思考)

生6:首先可以把能連接的點(diǎn)用無(wú)刻度直尺連接起來(lái),還可以延長(zhǎng)線段.如圖2(1)中連接OB,CA,如圖2(3)中連接OB后延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D.

生7:線段延長(zhǎng)后會(huì)產(chǎn)生新的點(diǎn),這些新的點(diǎn)又可以連接.如圖2(4),延長(zhǎng)CO,與⊙O交于點(diǎn)D,這個(gè)點(diǎn)D就是新產(chǎn)生的點(diǎn),可以將這個(gè)點(diǎn)與其他點(diǎn)連接起來(lái).

生8:我認(rèn)為還有非常重要的一點(diǎn),就是把多余的線段去掉,如圖2(4)中應(yīng)該去掉線段AD.

師:大家說(shuō)得非常好,生8補(bǔ)充得更好.所以,圖1中OA的中點(diǎn)可如圖5所示作圖.

圖5

綜上所述,在僅用無(wú)刻度直尺作圖時(shí),一定要摒棄習(xí)慣思維對(duì)學(xué)生的影響,在明確無(wú)刻度直尺的工具屬性后,才能正確作圖.否則,極易出現(xiàn)文中展示的幾種錯(cuò)誤.