程陽銳, 馬佳樂, 王振, 戴瑜

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 湖南 長沙 410083; 2.長沙礦冶研究院有限責(zé)任公司, 湖南 長沙 410012; 3.深海礦產(chǎn)資源開發(fā)利用技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長沙 410012; 4.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024; 5.北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100191)

當(dāng)前,開發(fā)利用海洋礦產(chǎn)資源逐漸成為國際社會(huì)海洋競爭的焦點(diǎn),各國參與深海礦產(chǎn)資源勘探開發(fā)進(jìn)度提速,深海礦產(chǎn)資源開發(fā)已進(jìn)入快速發(fā)展階段[1]。2020年,ABS發(fā)布了《海底采礦指南(ABS Guide for Subsea Mining)》[2],2021年比利時(shí)GSR公司完成礦區(qū)采礦試驗(yàn)及環(huán)境影響研究,海洋采礦已經(jīng)近在咫尺。我國自20世紀(jì)80年代以來,逐漸完成深海采礦技術(shù)裝備從陸地到海洋,從單體到系統(tǒng)聯(lián)動(dòng)的跨越,當(dāng)前正準(zhǔn)備開展實(shí)際礦區(qū)的采礦技術(shù)研究。深海多金屬結(jié)核是當(dāng)前公認(rèn)最有可能首先實(shí)現(xiàn)商業(yè)開采的礦種,研究表明,多金屬結(jié)核主要含有的錳、鎳、銅、鈷等金屬的總儲(chǔ)量高出陸地儲(chǔ)量幾十倍到幾千倍,具有很高的經(jīng)濟(jì)價(jià)值[3]。多金屬結(jié)核主要分布在水深2 000～6 000 m的深海底部,將其從數(shù)千米深海底開采出來需要依靠獨(dú)特和高效可靠的開采技術(shù)和裝備[4-5]。開展采礦的前提是進(jìn)行詳細(xì)的多金屬結(jié)核礦勘探,當(dāng)前眾多勘探裝備均是采用臍帶纜與水下作業(yè)設(shè)備進(jìn)行連接,例如集礦車、水下機(jī)器人等。在受到復(fù)雜海況、海流等影響,連接線纜出現(xiàn)無規(guī)則運(yùn)動(dòng),直接影響海底作業(yè)設(shè)備的穩(wěn)定性,導(dǎo)致無法正常作業(yè)。所以開展船-纜-機(jī)器人的作用機(jī)理研究,找出纜索端部運(yùn)動(dòng)對(duì)非均勻張力纜的振動(dòng)響應(yīng),對(duì)海上作業(yè)具有重要的指導(dǎo)意義。

目前纜索的動(dòng)力分析方法主要可分為有限元法、有限差分法和集中質(zhì)量法等。Ablow等[6]利用有限差分法提出了水下纜索在時(shí)間和空間上的離散數(shù)值模型并求解;Milinazzo等[7]在Ablow建立的三維模型基礎(chǔ)上作出改進(jìn),提出了一種模擬拖纜系統(tǒng)三維運(yùn)動(dòng)的有效算法;李力波[8]基于上述方法采用三維動(dòng)力學(xué)模型模擬分析了纜索系統(tǒng)的多種運(yùn)動(dòng)情況,并對(duì)纜的受力分析和運(yùn)動(dòng)方程較原有模型有所改進(jìn)。Gobat等[9]利用有限差分法對(duì)水下纜索進(jìn)行了時(shí)間域模擬,并通過α?xí)r間積分算法、自適應(yīng)時(shí)間步長和自適應(yīng)空間網(wǎng)格化分析了電纜的二維靜態(tài)和動(dòng)態(tài)效應(yīng)。Eidsvik等[10]利用有限元方法,基于歐拉-伯努利梁方程建立了ROV臍帶纜模型,并通過臍帶纜和ROV系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出的模型。劉銘等[11]基于集中質(zhì)量法,推導(dǎo)了拖曳纜索動(dòng)力學(xué)方程,考慮了纜索的外載荷、拉伸和彎曲剛度,模擬了拖船在各種運(yùn)動(dòng)情況下纜索系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。Quan等[12]提出了一種具有幾何非線性運(yùn)動(dòng)的變長度水下纜索有限元模型,考慮了軸向載荷、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)的影響,并通過實(shí)例對(duì)所提出的模型及其求解方案進(jìn)行了驗(yàn)證。Chen等[13]基于Kirchhoff桿理論建立了復(fù)雜海況下臍帶纜的動(dòng)力學(xué)模型,分析了不同條件下臍帶纜的運(yùn)動(dòng)和受力特性。鄭鵬等[14]基于Ablow提出的纜索偏微分控制方程,采用有限差分法建立了潛水器-纜索-載荷三者間相互耦合的動(dòng)力學(xué)模型,通過數(shù)值仿真方法分析了纜索收放過程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征。

當(dāng)前對(duì)于非均勻纜索的動(dòng)力學(xué)分析主要采用數(shù)值模擬方法,而對(duì)非均勻纜索的理論分析較少,通過對(duì)非均勻張力纜振動(dòng)的自然頻率分析,對(duì)直接影響纜索的共振響應(yīng)分析,進(jìn)而對(duì)海上作業(yè)提出建議。本文針對(duì)船-纜-機(jī)器人采礦系統(tǒng)的共振等危險(xiǎn)工況,研究纜索振動(dòng)的自然頻率及其對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)。首先基于纜索的非均勻張力特征給出變系數(shù)微分方程;然后基于變量分離法,結(jié)合邊界條件和初始條件求解模型并得到控制方程關(guān)于解的Bessel函數(shù)表達(dá)式;最后分析采礦船和水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)改變相應(yīng)的邊界條件,所引起的纜索振動(dòng)響應(yīng)特征。

1 數(shù)學(xué)模型

當(dāng)纜索受到的外部激勵(lì)頻率和纜索的自然頻率接近或相等時(shí),會(huì)產(chǎn)生纜索的共振,外部激勵(lì)主要為海流、波浪等外部時(shí)變載荷,在控制方程中主要表現(xiàn)為外力項(xiàng)。纜索的自然頻率是纜索的固有性質(zhì),它和纜索的長度、張緊程度、邊界條件、材料等物理屬性相關(guān),和外載荷無關(guān)。接下來在不考慮海流作用和海水的附加質(zhì)量的假設(shè)下,對(duì)船-纜-機(jī)器人系統(tǒng)做如下假設(shè),不帶浮力塊的均勻纜索處于垂向狀態(tài),其內(nèi)部張力沿垂向可變,建立線性數(shù)學(xué)模型并分析其自然頻率和模態(tài)函數(shù)及其影響因素。

1.1 控制方程

如圖1,考慮纜索上端為采礦船,纜索末端為可移動(dòng)的水下機(jī)器人裝備。記機(jī)器人在水下的總質(zhì)量為m1(kg),纜索總長度為L(m),單位長度纜索在海水中的質(zhì)量為m2(kg)。以x軸方向?yàn)槔|索垂直向上的方向,u軸方向?yàn)殪o止水面所在的水平方向建立坐標(biāo)系,用u(x,t)表示纜索上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x方向的位移。纜索的截面直徑與纜索的長度相比可以忽略,纜索上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與纜索的切線方向一致,忽略彎曲、扭轉(zhuǎn)和剪切力的影響,且纜索處于張緊狀態(tài)。

圖1 船-纜-機(jī)器人采礦系統(tǒng)

纜索的張力由上到下由于自重影響逐漸減小,則x點(diǎn)處的張力為:

T(x)=m1g+(x+L)m2g

且T(x)的方向總是沿著纜在x點(diǎn)處的切線方向。如圖2所示,在纜上任取一段小微元(x,x+Δx),則在x點(diǎn)處作用于纜段(x,x+Δx)的張力在水平方向上的投影為:

圖2 纜索局部受力示意

Tu(x)=[m1g+(x+L)m2g]sinθ(x)

式中θ(x)表示張力T(x)的方向與x軸的夾角。在纜段的另一端x+Δx點(diǎn)處作用于纜段(x,x+Δx)的張力在水平方向上的投影為:

Tu(x+Δx)=[m1g+(x+Δx+L)m2g]sinθ(x+Δx)

式中θ(x+Δx)表示張力T(x+Δx)的方向與x軸的夾角。假定纜索在某一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng),即當(dāng)θ足夠小時(shí),有:

sinθ≈tanθ=?u/?x

沿垂向受力分析可知:

T(x)cosθ=T(x+Δx)cosθ(x+Δx)

當(dāng)Δx足夠小時(shí),可以得到T(x)在微元處相等?；谂ｎD第二定律,考慮纜索在橫向運(yùn)動(dòng)的受力平衡有:

兩端同時(shí)除以Δx,再令Δx→0取極限得:

于是得到纜索在x∈[-L,0]上的控制方程u(x,t)滿足:

(1)

1.2 初邊值條件

假設(shè)采礦船和水下機(jī)器人在海平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),忽略垂向運(yùn)動(dòng),并考慮纜索在給定海流方向下的二維橫向振動(dòng)問題。其三維橫向振動(dòng)問題在線性假設(shè)下可分解為2個(gè)二維問題并進(jìn)行疊加。設(shè)采礦船的運(yùn)動(dòng)位移隨時(shí)間函數(shù)為h(t),水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)位移隨時(shí)間函數(shù)為g(t),即纜索在x=0處和x=-L處的邊界條件為:

u(0,t)=h(t),u(-L,t)=g(t)

(2)

此外,纜索在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位移和速度給出系統(tǒng)的初值條件,本文為簡便,考慮初始狀態(tài)為靜止的情形,即:

u(x,0)=0,ut(x,0)=0

(3)

綜合纜索的運(yùn)動(dòng)控制方程(1)和邊界條件(2),以及初始條件(3)組成的初邊值問題:

該系統(tǒng)描述了纜索在可移動(dòng)邊界條件下的運(yùn)動(dòng),可用于分析端部運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振動(dòng)特征的影響。

2 解析求解

系統(tǒng)(Ⅰ)為非齊次邊界條件的纜索運(yùn)動(dòng)控制問題,欲對(duì)其解析求解,需首先將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件,可通過如下變換進(jìn)行。令:

U(x,t)=h(t)-x(g(t)-h(t))/L

(4)

作v(x,t)=u(x,t)-U(x,t),并記:

F(x,t)=x(g″(t)-h″(t))/L-h″(t)-

H(x)=-h(0)+x(g(0)-h(0))/L

G(x)=-h′(0)+x(g′(0)-h′(0))/L

可得v(x,t)滿足下面的非齊次方程、齊次邊界條件和非齊次初始條件的系統(tǒng):

該系統(tǒng)將邊界條件的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為初始狀態(tài)下纜索在外力F(x,t)的作用下的振動(dòng)特征,同時(shí)將運(yùn)動(dòng)邊界轉(zhuǎn)化為固定邊界問題,且系統(tǒng)的初始狀態(tài)與采礦船和水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)初始值有關(guān)。

基于疊加原理,將上面的系統(tǒng) (Ⅱ) 可以通過v(x,t)=v1(x,t)+v2(x,t)分解為下面2個(gè)系統(tǒng)(Ⅲ) 和(Ⅳ)的和。

系統(tǒng)(Ⅲ)描述了齊次邊界的纜索在不受外力作用下的初邊值問題,可通過變量分離法得到非均勻張力纜的自然振動(dòng)頻率和模態(tài)函數(shù),對(duì)避免共振現(xiàn)象的發(fā)生有重要意義;系統(tǒng)(Ⅳ)為齊次邊界下靜止纜索在外力F(x,t)下的受迫振動(dòng)問題,該系統(tǒng)和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間變化直接相關(guān)。

先求解系統(tǒng)(Ⅲ),利用分離變量法,令:

v1(x,t)=X(x)Z(t)

(5)

將式(5)代入系統(tǒng)(Ⅲ)中方程,得到空間變量滿足:

x∈[-L,0]

(6)

及時(shí)間變量滿足:

Z″(t)+ω2Z(t)=0

(7)

(8)

(9)

可知方程(9)為零階Bessel方程,通解可以寫為:

(10)

(11)

由系統(tǒng)(Ⅲ)中的邊界條件:

X(0)=0,X(-L)=0

(12)

將方程的通解式(11)代入式(12)中可得:

(13)

為了使式(13)存在非零解,則需令系數(shù)行列式為0,即:

(14)

滿足式(14)的ω為模型的特征值,即自然頻率,將其從小到大依次排列為ω1<ω2<ω3<…,于是ωk對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù):

(15)

對(duì)vk(x)作歸一化處理:

(16)

將特征值ωk代入方程(7)中,可得其通解為:

Zk(t)=Akcos(ωkt)+Bksin(ωkt)

(17)

式中Ak、Bk為任意常數(shù)。因此得到:

(18)

又由(Ⅲ)中初始條件,利用Bessel函數(shù)正交性可得:

(19)

下面利用齊次化原理[15]求解(Ⅳ),若W(x,t;τ)是方程組:

(20)

(21)

式(21)形式上與(Ⅲ)相同,所以可得:

(22)

由式(21)中的初始條件Wt′|t′=0=F(x,τ)得:

(23)

所以得到(Ⅳ)的解

(24)

3 非均勻張力纜的振動(dòng)分析

假定纜索上端為采礦船,纜索末端為水下機(jī)器人,考慮纜索端部船、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振動(dòng)情況造成的影響。下面通過具體的數(shù)值算例分析采礦船和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的幅度及頻率對(duì)纜索振動(dòng)的影響。已知水下機(jī)器人總質(zhì)量m1=2 000 kg,纜索總長度L=5 000 m,考慮單位長度纜索在海水中質(zhì)量為m2=0.972 kg,重力常數(shù)取g=9.8 N/kg。

通過求解式(14)可得到該系統(tǒng)的自然頻率,對(duì)應(yīng)的式(15)可給出相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)。具體的前5階自然頻率見表1,前5階歸一化模態(tài)函數(shù)見圖3。

表1 前5階自然頻率

圖3 前5階歸一化模態(tài)函數(shù)

3.1 采礦船運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振動(dòng)的影響

首先,考慮采礦船運(yùn)動(dòng)幅度和頻率對(duì)纜索振動(dòng)幅度的影響。設(shè)h(t)=Ausin(ωut),其中Au為采礦船運(yùn)動(dòng)的幅度,ωu為采礦船運(yùn)動(dòng)的頻率;水下機(jī)器人靜止不動(dòng),即g(t)=0,通過改變Au和ωu的值來分析采礦船運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振幅的影響情況。

由方程(Ⅰ),將h(t)=Ausin(ωut),g(t)=0代入模型的解可得:

(25)

其中:

(26)

(27)

由式(25)～(27)可以得到纜索振幅隨Au線性變化。

圖4 采礦船運(yùn)動(dòng)時(shí)前5階模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)分量隨ωu的變化

3.2 水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振動(dòng)的影響

接下來,考慮水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)幅度和頻率對(duì)纜索振動(dòng)幅度的影響。設(shè)g(t)=Adcos(ωdt),其中Ad為水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的幅度,ωd為水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的頻率;纜索上端采礦船靜止不動(dòng),即h(t)=0,通過改變Ad和ωd的值來分析水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)對(duì)纜索振幅的影響情況。

由方程(Ⅰ),將h(t)=0,g(t)=Adcos(ωdt)代入模型的解可得:

(28)

其中:

(29)

(30)

由式(28)～(30)可得出纜索振幅隨著Ad線性變化。

圖5 水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)前5階模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)分量隨ωd的變化

4 結(jié)論

1) 利用分離變量法求解得到非均勻張力纜自然頻率和模態(tài)函數(shù)的解析表達(dá)式,進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)控制方程解的Bessel函數(shù)精確表達(dá)式。

2) 采礦船的運(yùn)動(dòng)幅度逐漸增大時(shí),纜索橫向最大振幅呈線性增長;運(yùn)動(dòng)的頻率與各階自然頻率相等時(shí),采礦船和纜索會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象,纜索的振幅會(huì)趨于無窮大,此時(shí)應(yīng)該考慮纜索大變形振動(dòng)并通過非線性方法進(jìn)行分析。

3) 水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)幅度逐漸增大時(shí),纜索橫向最大振幅呈線性增長;運(yùn)動(dòng)頻率與各階自然頻率相等時(shí),水下機(jī)器人和纜索出現(xiàn)共振,纜索的振幅趨于無窮大,此時(shí)應(yīng)考慮纜索大變形振動(dòng)并通過非線性方法進(jìn)行分析;水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)頻率變化時(shí),纜索各階分量振幅的變化相比采礦船運(yùn)動(dòng)頻率變化時(shí)更平緩。

考慮到海上作業(yè)的安全性,在實(shí)際應(yīng)用中首先考慮采礦船在風(fēng)浪作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,進(jìn)一步設(shè)計(jì)纜索從而避免其和采礦船的共振;其次在水下機(jī)器人操作過程中通過規(guī)劃合理的路徑和運(yùn)動(dòng)方式,避免纜索和機(jī)器人產(chǎn)生共振。