曹德剛,陳雪麗,楊 晗

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 611756)

本文考慮一類(lèi)帶有記憶項(xiàng)的時(shí)間變系數(shù)耗散項(xiàng)與質(zhì)量項(xiàng)的半線(xiàn)性波動(dòng)方程的爆破問(wèn)題

(1)

其中,常數(shù)μ1,μ2≥0,ε>0是小參數(shù),Cγ=1/Γ(1-γ),γ∈(0,1),Γ(s)是Gamma函數(shù)。

近年來(lái),在時(shí)間變系數(shù)的耗散項(xiàng)與質(zhì)量項(xiàng)的半線(xiàn)性波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題

(2)

的研究中,關(guān)于整體解的存在性、衰減估計(jì)、解在有限時(shí)刻爆破和生命跨度估計(jì)的研究已有豐富的研究成果[1-5]。 對(duì)于帶有記憶項(xiàng)的半線(xiàn)性波動(dòng)方程

(3)

也有不少研究,如文獻(xiàn)[6]研究了在問(wèn)題(3)中取μ1=0時(shí),利用迭代技巧與Slicing方法證明當(dāng)1

時(shí),解的整體性存在以及衰減估計(jì),并利用試驗(yàn)函數(shù)法證明當(dāng)

和n≥3,p∈(1,n/(n-2)],γ∈(0,(n-2)/n]時(shí),解在有限時(shí)間爆破,但并未給出解的生命跨度估計(jì)。文獻(xiàn)[8]研究了在問(wèn)題(3)中取μ1>0,β=1時(shí),對(duì)μ的取值作出以下分類(lèi)考慮:

當(dāng)μ=2,1

利用試驗(yàn)函數(shù)法證明問(wèn)題(3)的解在有限時(shí)刻爆破,但未給出生命跨度估計(jì)。利用Kato引理證明當(dāng)p≤n/(n-2)+,且1

其他相關(guān)研究見(jiàn)文獻(xiàn)[9-10]。

1 預(yù)備知識(shí)

下面根據(jù)文獻(xiàn)[11],給出問(wèn)題(1)的能量解的概念。

(4)

成立,則稱(chēng)u為問(wèn)題(1)在[0,T)上的能量解。

引理1[4]假設(shè)u0,u1滿(mǎn)足

(5)

(6)

成立,其中C1=C1(p,u1,u0,R,φ)>0。

2 主要結(jié)論

定理1當(dāng)n≥1,δ≥0,p滿(mǎn)足1

注1 當(dāng)μ1=μ2=0時(shí),定理1的結(jié)論可以與文獻(xiàn)[6]定理1中解在有限時(shí)刻爆破與生命跨度估計(jì)上界的結(jié)論保持一致。 當(dāng)μ1>0,μ2=0時(shí),定理1的結(jié)論可以與文獻(xiàn)[8]定理2.2中解在有限時(shí)刻爆破的結(jié)論保持一致。因此本文的結(jié)論是對(duì)文獻(xiàn)[6,8]的推廣。

3 解的爆破與生命跨度估計(jì)

由F(t)的定義可得

(7)

對(duì)(7)式關(guān)于t求微分,可得

(8)

考慮如下的代數(shù)方程

現(xiàn)將(8)式重新改為

(9)

在(9)式左右兩側(cè)同時(shí)乘以(1+t)y2+1,并在[0,t]上積分可得

對(duì)上式第一項(xiàng)用分部積分可得

(10)

在(10)式左右兩側(cè)再同時(shí)乘以(1+t)y1,并在[0,t]上分部積分可得

(11)

再由H?lder不等式,解的緊支集條件和有限傳播速度可得

(12)

其中C0=meas(Bt+R)1-pR-n(p-1)>0。對(duì)?t≥0,將(12)式帶入(11)式,則有

(13)

接下來(lái)將獲得F(t)的一個(gè)下界估計(jì)。 將引理1中(5)式帶入(11)式中,則對(duì)于?t>T0有

(14)

下面開(kāi)始迭代討論。 首先假設(shè)?t>T0,j=1,2,3,…時(shí),有

F(t)≥Dj(1+t)-aj(t-T0)bj,

(15)

其中{Dj}j≥1,{aj}j≥1,{bj}j≥1>0。當(dāng)j=1時(shí),由(14)式知(15)式已經(jīng)成立,其中

(16)

假設(shè)當(dāng)j=k時(shí),(15)式已經(jīng)成立,下面將證明當(dāng)j=k+1時(shí),(15)式也成立。 結(jié)合(13)式和(15)式,對(duì)?t>T0可得

(17)

在(17)式中令

(18)

因此(15)式對(duì)于j=k+1成立。結(jié)合(16)式和(18)式可得

(19)

(20)

lnDj≥plnDj-1+lnC3-3(j-1)lnp

≥p2lnDj-2+(1+p)lnC3-3(p(j-2)+(j-1))lnp

≥…

(21)

Dj≥e(pj-1(lnD1-Sp(∞))),

(22)

將(19)(22)式帶入(15)式中可得

(23)

J(t)=lnD1-Sp(∞)-αln(1+t)+βln(t-T0)

≥lnD1-Sp(∞)-αln(2t-2T0)+βln(t-T0)

≥lnD1-Sp(∞)+(β-α)ln(t-T0)-αln2

≥ln(D1(t-T0)β-α)-Sp(∞)-αln2,

而且有

因?yàn)閜S(n+μ1,γ)是方程(n+μ1-1)p2-(n+μ1+3-2γ)p-2=0的正根,且p0。

定理1證明完畢。