王允宏 胡傳鵬

摘 要 貝葉斯統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于假設(shè)檢驗(yàn)的方法——貝葉斯因子——在心理學(xué)研究中的應(yīng)用日漸增加。貝葉斯因子能分別量化所支持的相應(yīng)假設(shè)或模型的證據(jù)，進(jìn)而根據(jù)其數(shù)值大小做出當(dāng)前數(shù)據(jù)更支持哪種假設(shè)或模型的判斷。然而，國內(nèi)尚缺乏對方差分析的貝葉斯因子的原理與應(yīng)用的介紹。基于此，本文首先介紹貝葉斯方差分析的基本思路及計(jì)算原理，并結(jié)合實(shí)例數(shù)據(jù)，展示如何在JASP中對五種常用的心理學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素組間設(shè)計(jì)、單因素組內(nèi)設(shè)計(jì)、二因素組間設(shè)計(jì)、二因素組內(nèi)設(shè)計(jì)和二因素混合設(shè)計(jì)）進(jìn)行貝葉斯方差分析及如何匯報(bào)和解讀結(jié)果。貝葉斯方差分析提供了一個(gè)能有效替代傳統(tǒng)方差分析的方案，是研究者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的有力工具。

關(guān)鍵詞 貝葉斯統(tǒng)計(jì)；貝葉斯因子；方差分析；JASP

分類號 B841

DOI：10.16842/j.cnki.issn2095-5588.2023.09.002

1 引言

方差分析適用于評估分類型預(yù)測變量（自變量）對連續(xù)型結(jié)果變量（因變量）的影響，是實(shí)驗(yàn)心理學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)方法（Fritz et al.， 2012）。在零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)框架下，方差分析得到的結(jié)果會(huì)根據(jù)p值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)顯著性推斷：當(dāng)設(shè)定了p值閾限后，研究者往往會(huì)根據(jù)p值，以全或無的方式推斷結(jié)果的統(tǒng)計(jì)顯著性。例如，如果p<0.05，就說明結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)顯著性，應(yīng)當(dāng)拒絕零假設(shè)（H0）；如果p>0.05，就說明結(jié)果不具有統(tǒng)計(jì)顯著性。這種二分的觀點(diǎn)受到了廣泛質(zhì)疑，并且這也是心理學(xué)可重復(fù)性危機(jī)的來源之一（Open Science Collaboration， 2015; Schmalz et al.， 2021）。因此，貝葉斯統(tǒng)計(jì)作為一種替代零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)的方法，逐漸受到了研究者的關(guān)注（Wagenmakers et al.， 2011）。

貝葉斯統(tǒng)計(jì)的基本思想是隨著觀測數(shù)據(jù)的積累，信念（知識經(jīng)驗(yàn)）不斷更新的過程（Faulkenberry et al.， 2020; van den Bergh et al.， 2020; Wagenmakers， Marsman， et al.， 2018）。研究者在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)前可能會(huì)有多個(gè)相互競爭的假設(shè)，信念即對各個(gè)假設(shè)為真的可能性的估計(jì)。當(dāng)某個(gè)假設(shè)能很好地預(yù)測數(shù)據(jù)時(shí)，與該假設(shè)一致的信念會(huì)得到增強(qiáng)；反之，當(dāng)某假設(shè)對觀測數(shù)據(jù)的預(yù)測性很差時(shí)，信念就會(huì)減弱。因此通過貝葉斯統(tǒng)計(jì)，研究者可以分別得到支持H1和H0的證據(jù)，進(jìn)而量化兩種假設(shè)相對出現(xiàn)的可能性，即通過模型比較的方式得到貝葉斯因子（Bayes factors， BF; 胡傳鵬等， 2018; 李貴玉， 顧昕， 2021; 許岳培等， 2022）。雖然貝葉斯統(tǒng)計(jì)具有量化對H1和H0的支持程度、不依賴抽樣計(jì)劃等優(yōu)勢（Grünwald et al.， 2020; Hendriksen et al.， 2021; Schmalz et al.， 2021; Wagenmakers， Marsman， et al.， 2018），但相比頻率主義方差分析，貝葉斯方差分析的應(yīng)用有限。隨著具有圖形界面的軟件（如JASP）的開發(fā)，BF的使用變得更加簡便，因此也開始被廣泛應(yīng)用于心理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域（孟迎芳等， 2021; Brydges & Gaeta， 2019; Derks et al.， 2021; Rouder et al.， 2017; Wagenmakers， Love， et al.， 2018）。先前亦有中文文獻(xiàn)介紹了JASP，例如胡傳鵬等（2018）文章中的3.1部分。如果需要了解更多關(guān)于零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)與貝葉斯因子的內(nèi)容，可參考前人研究（Kruschke & Liddell， 2018; Schmalz et al.， 2021; Tendeiro & Kiers， 2019）。

然而，在先前關(guān)于貝葉斯因子的中文介紹中，多以相關(guān)分析和t檢驗(yàn)作為例子（胡傳鵬等， 2018; 吳凡等， 2018）。雖然容易理解，但無法適用于方差分析的情況。 一個(gè)主要原因在于，貝葉斯方差分析以貝葉斯的線性模型為基礎(chǔ)（Liang et al.， 2008; Rouder et al.， 2012）。雖然也可以使用貝葉斯廣義線性模型，但當(dāng)前版本的JASP并不能進(jìn)行貝葉斯廣義線性模型的相關(guān)計(jì)算。貝葉斯方差分析通過多個(gè)不同的線性模型相互之間的比較獲得貝葉斯因子值。不同模型可能涉及不同的模型構(gòu)建方式，這就導(dǎo)致相比于貝葉斯t檢驗(yàn)，模型比較的過程更為復(fù)雜。此外，隨著自變量的增加，模型比較及之后產(chǎn)生的模型選擇不確定性的問題會(huì)對研究者匯報(bào)和解釋結(jié)果造成困擾。因此，如何解決這種情況下的貝葉斯因子計(jì)算與解讀，也需要額外的知識。為解決研究者在使用貝葉斯方差分析時(shí)可能出現(xiàn)的上述問題，本文將介紹貝葉斯線性模型及模型比較的基礎(chǔ)知識，并介紹貝葉斯模型平均法，該方法可以解決自變量較多時(shí)如何計(jì)算貝葉斯因子這一問題。為方便沒有代碼基礎(chǔ)的研究者執(zhí)行數(shù)據(jù)分析，本文使用了JASP這款開源、免費(fèi)和具有圖形界面的統(tǒng)計(jì)軟件（JASP team， 2022）。如果讀者僅關(guān)注如何使用JASP來進(jìn)行貝葉斯方差分析，以及如何解釋和匯報(bào)輸出的結(jié)果，可跳過2.2小節(jié)。

2 基本概念

2.1 貝葉斯因子

貝葉斯因子是一種模型比較和選擇的方法，反映了對某一模型支持程度的量化（Schmalz et al.， 2021）。它等價(jià)于觀測數(shù)據(jù)中兩個(gè)模型的邊際似然之比（Heck et al.， 2022）。在應(yīng)用于假設(shè)檢驗(yàn)中時(shí)，假設(shè)之間的比較可視作模型之間的比較。因此，貝葉斯因子可用來衡量對H1和H0的支持程度。具體而言，將H0指定為零模型M0并將H1指定為備擇模型M1。BF10表示相對于M0，觀測數(shù)據(jù)對M1的支持程度。例如，BF10=12表示觀測數(shù)據(jù)支持H1為真的程度是支持H0為真的程度的12倍。如表1所示，參考先前研究者對貝葉斯因子數(shù)值大小所代表意義的劃分（胡傳鵬等， 2018; Jarosz & Wiley， 2014; Jeffreys， 1961; Wetzels et al.， 2011），BF10=12可解釋為觀測數(shù)據(jù)提供了較強(qiáng)的證據(jù)支持H1為真。反之，BF01=12可解釋為觀測數(shù)據(jù)提供了較強(qiáng)的證據(jù)支持H0為真。

貝葉斯因子計(jì)算的一般公式為：

其中p（data|M1），表示邊際似然，即當(dāng)前數(shù)據(jù)在模型M1中出現(xiàn)的可能性，p（data|M0）同理。因此，BF10反映了兩個(gè)模型的邊際似然之比。關(guān)于上式的進(jìn)一步展開形式，見在線補(bǔ)充材料（詳見https：//osf.io/7caju/）A。

2.2 貝葉斯方差分析中線性模型的比較

要理解貝葉斯因子在方差分析中的應(yīng)用，首先需要理解方差分析與線性模型的關(guān)系，原因在于貝葉斯方差分析中貝葉斯因子值的計(jì)算是基于不同線性模型之間的比較。作為線性模型的一種特殊形式，方差分析涉及的自變量是分類變量，因變量是連續(xù)變量，且誤差項(xiàng)需要滿足正態(tài)分布。它的特殊之處在于：由于自變量為分類變量（例如，性別、不同實(shí)驗(yàn)條件等），其設(shè)計(jì)矩陣中包含的元素均為0或1。線性模型的一般形式為：

Yij=μ+β1Xil+...+βj Xij+∈ij（i=1，2，...n） （2）

其中Yij，表示因變量，即j組個(gè)體i的數(shù)據(jù)；Xij表示自變量，取值為0或1，代表個(gè)體i屬于組j；βj表示自變量的效應(yīng)，即某個(gè)實(shí)驗(yàn)處理的效應(yīng)；μ表示截距項(xiàng)；∈ij表示隨機(jī)誤差，即因變量無法被自變量解釋的部分。

假設(shè)存在一個(gè)兩水平的自變量A，為了使參數(shù)不受計(jì)量單位的影響，需要將參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（σ代表標(biāo)準(zhǔn)誤），即轉(zhuǎn)化為效應(yīng)量。

那么計(jì)算A存在效應(yīng)的線性模型可寫成：

? ? ? ? ? ? ? ? H1∶Y=μ+σθX+∈? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

不包括A效應(yīng)的零模型寫作：

? ? ? ? ? ? ? ? ? H0∶Y=μ+∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

如果研究者關(guān)注A的主效應(yīng)，在傳統(tǒng)的方差分析中，可以通過方差分解的方式計(jì)算F值和p值，再在零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)框架下進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。在貝葉斯因子分析中，研究者是計(jì)算當(dāng)前數(shù)據(jù)出現(xiàn)在H0和H1這兩個(gè)模型下可能性的比例。也就是說，研究者將認(rèn)為A主效應(yīng)存在的H1指定為M1，認(rèn)為A主效應(yīng)不存在的H0指定為M0，通過模型比較的方式計(jì)算出數(shù)據(jù)支持兩個(gè)模型可能性的比值，得到BF10或BF01。

以上描述的是僅有一個(gè)自變量的情況。當(dāng)存在兩個(gè)自變量Xa和Xb時(shí)，潛在線性模型的數(shù)量增加。從完全不包括任何自變量效應(yīng)的模型（零模型）到包括全部自變量效應(yīng)的模型（兩個(gè)自變量的主效應(yīng)及其交互作用，即全模型），共包括五個(gè)模型（模型的構(gòu)建見在線補(bǔ)充材料B）。如果以零模型作為H0的模型，則與傳統(tǒng)的方差分析僅有兩個(gè)主效應(yīng)與一個(gè)交互作用的F值（及p值）不同，貝葉斯因子分析中會(huì)報(bào)告四個(gè)貝葉斯因子值。這是因?yàn)閮H包括兩個(gè)主效應(yīng)但無交互作用的模型（見線上補(bǔ)充材料B中的公式12）也會(huì)與零模型進(jìn)行比較從而得到貝葉斯因子值。并且，包括交互作用的模型也同時(shí)包括兩個(gè)主效應(yīng)，而非只包括交互作用。此外，如果研究者想計(jì)算交互作用所對應(yīng)的貝葉斯因子值，可以應(yīng)用貝葉斯因子的傳遞性（Srinivasan & Vijayaragunathan， 2021; Wagenmakers et al.， 2010）。具體計(jì)算原理見線上補(bǔ)充材料C。

由此可見，隨著自變量個(gè)數(shù)的增加，模型的數(shù)量也會(huì)迅速增加。這就導(dǎo)致研究者很難單獨(dú)考慮每個(gè)模型的效應(yīng)。同時(shí)，模型兩兩比較產(chǎn)生的貝葉斯因子數(shù)量也隨之增加，這會(huì)對研究者解釋結(jié)果造成困擾。當(dāng)H1選擇不同的模型時(shí)，與H0對應(yīng)的原模型比較產(chǎn)生可能會(huì)產(chǎn)生幾個(gè)數(shù)值相似的BF10時(shí)（即有相同程度的證據(jù)支持幾個(gè)模型作為H1），研究者該如何選擇合適的模型作為H1進(jìn)而得出結(jié)論？當(dāng)實(shí)驗(yàn)中存在2個(gè)自變量時(shí)，可供H1選擇的備擇模型有4個(gè)；當(dāng)存在3個(gè)自變量時(shí)，可供選擇的備擇模型就增加到了18個(gè)。由此可見，傳統(tǒng)方差分析得出的F值和p值的數(shù)量少于貝葉斯因子的數(shù)量。這使得研究者在模型選擇上出現(xiàn)困難。研究者甚至可能會(huì)為了追求貝葉斯因子值最大化而選取特定的模型，從而忽略模型選擇的不確定性。據(jù)此，研究者提出使用貝葉斯模型平均的方法來解決這一問題（Heck & Bockting， 2021; Heck et al.， 2022; Hinne et al.， 2020; van den Bergh et al.， 2020; Wagenmakers， Love， et al.， 2018）。關(guān)于BMA的詳細(xì)信息見在線補(bǔ)充材料D。

2.3 JASP中進(jìn)行貝葉斯方差分析

本文使用的JASP版本為0.16.3（JASP Team， 2022），示例數(shù)據(jù)及分析結(jié)果可在OSF上獲取（https：//osf.io/7caju/）。JASP是一個(gè)開發(fā)中的軟件，開發(fā)者不斷地改進(jìn)該軟件并且修復(fù)現(xiàn)有版本中的問題。因此，我們推薦讀者使用最新版的JASP而非一定要使用此版本。JASP使用R中的BayesFactor包（Morey & Rouder， 2022）計(jì)算貝葉斯因子。在進(jìn)行貝葉斯方差分析前，研究者需要進(jìn)行的基本步驟是：指定自變量和因變量、選擇輸出的貝葉斯因子形式。如果是多自變量的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，還需設(shè)置BFincl的輸出形式。

不同于傳統(tǒng)方差分析的輸出指標(biāo)（F，p，η2等），在JASP中進(jìn)行貝葉斯方差分析后，會(huì)輸出如下指標(biāo)（見圖 2）：Model Comparison為模型比較的結(jié)果匯總表；P（M）表示獲得觀測數(shù)據(jù)前模型的先驗(yàn)概率，在默認(rèn)的Uniform分布中每個(gè)模型的先驗(yàn)概率相同，即如果有m個(gè)模型，每個(gè)模型的先驗(yàn)概率就為1/m；P（M|data）表示獲得數(shù)據(jù)后模型的后驗(yàn)概率；BFM表示當(dāng)前模型從先驗(yàn)到后驗(yàn)的變化：

誤差百分?jǐn)?shù)表示結(jié)果的變異系數(shù)。由于在計(jì)算過程中使用了馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）采樣，因此每重新運(yùn)行一次分析，結(jié)果都可能出現(xiàn)細(xì)微的差異。因此，按照本文步驟，讀者所做的貝葉斯方差分析結(jié)果可能會(huì)與本文得到的結(jié)果有細(xì)微不同。結(jié)果的波動(dòng)可用誤差百分?jǐn)?shù)來量化，誤差百分?jǐn)?shù)越高說明結(jié)果的波動(dòng)性越高。van Doorn等（2021）推薦誤差百分?jǐn)?shù)小于20%時(shí)通常是可以接受的。

3 使用JASP進(jìn)行貝葉斯方差分析實(shí)例展示

3.1 單因素方差分析

示例數(shù)據(jù)。使用疼痛閾限（Pain Thresholds）數(shù)據(jù)作為示例，該數(shù)據(jù)來自單因素組間設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)。自變量為發(fā)色（Hair Color），包括四個(gè)水平（見圖1）：深色黑發(fā)（Dark Brunette）、深色金發(fā)（Dark Blond）、淺色金發(fā)（Light Blond）、淺色黑發(fā)（Light Brunette）。因變量為疼痛容忍度（Pain Tolerance）。因此在本例中，H0為發(fā)色對疼痛閾限無影響，H1為發(fā)色對疼痛閾限有影響。例如，淺色金發(fā)個(gè)體對疼痛的容忍度高于淺色黑發(fā)個(gè)體。

操作步驟。首先在JASP中打開數(shù)據(jù)（Open - Data Library - ANOVA - Pain Thresholds），然后在ANOVA面板中選擇“Bayesian AVOVA”。 之后需要進(jìn)行以下步驟（見圖 2）：第一，將疼痛容忍度作為因變量放入“Dependent Variable”中，將發(fā)色作為自變量放入“Fixed Factors”中；第二，在“Bayes Factor”選項(xiàng)框中選擇要輸出的貝葉斯因子形式；第三，在“order”選項(xiàng)框中選擇模型比較的順序，即確定模型是與“null model”（零模型）還是與“best model”（最優(yōu)模型）進(jìn)行比較。如果選擇“compare to best model”（與最優(yōu)模型比較），那么“Model Comparison”中呈現(xiàn)結(jié)果的第一行就代表最優(yōu)模型與其自身比較的結(jié)果。反之，如果選擇“compare to null model”（與零模型比較），就代表零模型與其自身比較的結(jié)果。因此“order”的選擇對結(jié)果沒有實(shí)際影響；第四，由于該示例數(shù)據(jù)中的自變量發(fā)色是一個(gè)四水平組間變量，因此需要通過事后檢驗(yàn)來觀測差異究竟出現(xiàn)在哪兩個(gè)水平之間。然而，事后檢驗(yàn)本身是一個(gè)探索性的分析過程。因此，本文建議研究者在數(shù)據(jù)分析前做出明確假設(shè)。

貝葉斯方差分析中的事后檢驗(yàn)無需進(jìn)行校正（Gelman et al.， 2012）。不同于依賴預(yù)設(shè)顯著性水平以及p值的零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)，貝葉斯方差分析關(guān)注參數(shù)或模型的后驗(yàn)分布及觀測數(shù)據(jù)對不同假設(shè)的支持程度。貝葉斯方差分析提供了完整的后驗(yàn)分布，使得研究者可以直接比較不同模型的后驗(yàn)分布。并且，貝葉斯方差分析允許研究者設(shè)定不同的先驗(yàn)分布形式來反映對不同假設(shè)的先驗(yàn)信念。貝葉斯因子的本質(zhì)是兩個(gè)模型邊際似然的比值，量化了對模型的相對支持程度，直觀地對模型進(jìn)行了比較。綜上，在貝葉斯方差分析中無需使用多重比較校正。

結(jié)果匯報(bào)。貝葉斯方差分析的結(jié)果顯示：參考先前研究者對貝葉斯因子數(shù)值大小所代表意義的劃分（Jarosz & Wiley， 2014; Jeffreys， 1961; Wetzels et al.， 2011），貝葉斯因子BFincl=11.97，說明在當(dāng)前數(shù)據(jù)中H1出現(xiàn)的可能性是H0的11.97倍。這是較強(qiáng)的證據(jù)支持了H1，即不同發(fā)色的個(gè)體有著不同的疼痛容忍度。通過事后檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前數(shù)據(jù)中出現(xiàn)淺色金發(fā)個(gè)體對疼痛的容忍度高于深色黑發(fā)個(gè)體的可能性是二者無差異的10.88倍（BF10=10.88，較強(qiáng)證據(jù)支持H1）；淺色金發(fā)個(gè)體對疼痛的容忍度高于淺色黑發(fā)個(gè)體（BF10=4.66，中等程度證據(jù)支持H1）；深色金發(fā)個(gè)體對疼痛的容忍度高于深色黑發(fā)個(gè)體（BF10=2.18，較弱證據(jù)支持H1）；其余條件兩兩比較之間無證據(jù)支持存在差異或者不存在差異（BF10均小于1.05）。

3.2 二因素方差分析

示例數(shù)據(jù)。使用心率（Heart Rate）數(shù)據(jù)作為示例，該數(shù)據(jù)來自2×2組間設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)。自變量是性別（Gender）和組別（Group），因變量為運(yùn)動(dòng)六分鐘后的心率（見圖4）。因此在本例中，H0為不同的性別和組別對心率的影響無顯著差異，H1為性別和組別不僅存在主效應(yīng)，且二者的交互作用也存在。

操作步驟。首先在JASP中打開數(shù)據(jù)（Open - Data Library - ANOVA - Heart Rate），然后在ANOVA面板中選擇“Bayesian AVOVA”。之后需要進(jìn)行以下步驟：第一，將心率作為因變量放入“Dependent Variable”中，將性別和組別作為自變量放入“Fixed Factors”中；第二，在“Bayes Factor”選項(xiàng)框中選擇BF10作為要輸出的貝葉斯因子的形式；第三，在“order”選項(xiàng)框中選擇 與零模型比較；第四，在多因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，如果需要計(jì)算BFincl，就需要勾選“Effects”。并且選擇“Across all models”（包括所有模型的取向）和“Across matched models”（包括匹配模型的取向）方法所計(jì)算出的BFincl是不同的。本文建議采取Sebastiaan Math?t 提倡的“包括匹配模型的取向”方法計(jì)算的結(jié)果（見圖5A）；第五，由于貝葉斯方差分析沒有簡單效應(yīng)分析的模塊，如果研究中需要進(jìn)行進(jìn)一步簡單效應(yīng)分析，可通過貝葉斯t檢驗(yàn)進(jìn)行簡單效應(yīng)分析。

具體而言，“Effects”的選擇會(huì)影響B(tài)Fincl的計(jì)算。在進(jìn)行BFincl的計(jì)算前，首先要了解如何計(jì)算P（incl）、P（excl）、P（incl|data）和P（excl|data）。在JASP中，這四個(gè)值的計(jì)算有兩種：包括所有模型的取向和包括匹配模型的取向。兩種取向的選擇在JASP中的操作見圖5A。這兩種取向之下的計(jì)算公式有所區(qū)別，具體計(jì)算過程見在線補(bǔ)充材料E。

結(jié)果匯報(bào)。貝葉斯方差分析的結(jié)果顯示：參考先前研究者對貝葉斯因子數(shù)值大小所代表意義的劃分（Jarosz & Wiley， 2014; Jeffreys， 1961; Wetzels et al.， 2011），當(dāng)前數(shù)據(jù)存在極強(qiáng)的證據(jù)支持性別主效應(yīng)（BFincl=2.99×1034）和組別主效應(yīng)（BFincl=1.11×10106）的存在。女性運(yùn)動(dòng)六分鐘后的心率（M=131.99，SD=22.72）高于男性（M=116.99，SD=19.84），控制組運(yùn)動(dòng)六分鐘后的心率（M=139.00，SD=18.95）高于跑步組（M=109.98，SD=15.53）。當(dāng)前數(shù)據(jù)存在中等程度的證據(jù)支持性別和組別間交互作用的存在（BFincl=4.38）。

分別對控制組和跑步組進(jìn)行貝葉斯獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示：在控制組中，女性運(yùn)動(dòng)六分鐘后的心率高于男性（BF10=5.56×1020）；在跑步組中，女性運(yùn)動(dòng)六分鐘的心率高于男性（BF10=5.48×1012）。

3.3 單因素重復(fù)測量方差分析

示例數(shù)據(jù)。使用來自單因素組內(nèi)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的Bush Tucker Food數(shù)據(jù)作為示例。自變量是食物種類，因變量為吃下食物后感到反胃需要的時(shí)間（秒）。數(shù)據(jù)的組織形式采用寬數(shù)據(jù)，與SPSS中進(jìn)行分析時(shí)相同。

操作步驟。首先在JASP中打開數(shù)據(jù)（Open - Data Library - ANOVA -Bush Tucker Food），然后在ANOVA面板中選擇“Bayesian Repeated Measures AVOVA”。之后需要進(jìn)行以下步驟（見圖 6）：第一，設(shè)置新的重復(fù)測量因子，為每個(gè)水平命名；第二，在“Bayes Factor”選項(xiàng)框中選擇BF10作為要輸出的貝葉斯因子的形式；第三，在“order”選項(xiàng)框中選擇與零模型比較；第四，由于該示例數(shù)據(jù)中的自變量食物種類是一個(gè)四水平組內(nèi)變量，因此需要事后檢驗(yàn)來觀測差異究竟出現(xiàn)在哪兩個(gè)水平之間。

結(jié)果匯報(bào)。對結(jié)果的匯報(bào)可以參考先前對單因素方差分析的匯報(bào)形式。

3.4 二因素重復(fù)測量方差分析

3.4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為組內(nèi)設(shè)計(jì)

示例數(shù)據(jù)。酒精態(tài)度（Alcohol Attitudes）采用的是3×3組內(nèi)設(shè)計(jì)。自變量是圖片效價(jià)（Imagery）和飲品種類（Drink），各有三個(gè)水平，因變量為被試在觀看圖片后對飲品的態(tài)度評分（見圖7）。

操作步驟。首先在JASP中打開數(shù)據(jù)（Open - Data Library - ANOVA - Alcohol Attitudes），然后在ANOVA面板中選擇“Bayesian Repeated Measures AVOVA”。之后需要進(jìn)行以下步驟（見圖 8）：第一，設(shè)置兩個(gè)重復(fù)測量因子并對不同因子的不同水平命名；第二，在“Bayes Factor”選項(xiàng)框中選擇BF10作為要輸出的貝葉斯因子的形式；第三，在“order”選項(xiàng)框中選擇與零模型比較；第四，在“Tables”選項(xiàng)框中勾選包括匹配模型的取向計(jì)算BFincl；第五，由于貝葉斯方差分析沒有簡單效應(yīng)分析的模塊，因此需要通過貝葉斯t檢驗(yàn)進(jìn)行簡單效應(yīng)分析。

結(jié)果匯報(bào)。貝葉斯方差分析的結(jié)果顯示：參考先前研究者對貝葉斯因子數(shù)值大小所代表意義的劃分（Jarosz & Wiley， 2014; Jeffreys， 1961; Wetzels et al.， 2011），當(dāng)前數(shù)據(jù)存在中等程度的證據(jù)支持飲品種類主效應(yīng)（BFincl=5.01）和極強(qiáng)的證據(jù)支持圖片效價(jià)主效應(yīng)（BFincl=1.25×1014）的存在。事后檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，水的態(tài)度得分低于啤酒（BF10= 69.09）和紅酒（BF10= 66.65），啤酒和紅酒的態(tài)度得分無差異（BF10= 0.46）；積極圖片的態(tài)度得分高于消極圖片（BF10=2.75×1018）和中性圖片（BF10=7.00×1012），中性圖片的態(tài)度得分高于消極圖片（BF10=3.60×108）。當(dāng)前數(shù)據(jù)存在極強(qiáng)的證據(jù)支持圖片效價(jià)和飲品種類間交互作用的存在（BFincl=2.07×108）。

3.4.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為混合設(shè)計(jì)

示例數(shù)據(jù)。舉重速度采用的是2×3混合設(shè)計(jì)。自變量是抓握類型（Grip）和負(fù)重（RM），因變量為舉重速度。該數(shù)據(jù)需在https：//jasp-stats.org/teaching-with-jasp/中下載。

操作步驟。首先在JASP中打開數(shù)據(jù)，然后在ANOVA面板中選擇“Bayesian Repeated Measures AVOVA”。 之后需要進(jìn)行以下步驟（見圖 9）：第一，設(shè)置重復(fù)測量因子并對因子的不同水平進(jìn)行命名，并將抓握類型放入“Between Subject Factors”中；第二，在“Bayes Factor”選項(xiàng)框中選擇BF10作為要輸出的貝葉斯因子的形式；第三，在“order”選項(xiàng)框中選擇與零模型比較；第四，在“Tables”選項(xiàng)框中勾選包括匹配模型的取向來計(jì)算BFincl；第五，由于貝葉斯方差分析沒有簡單效應(yīng)分析的模塊，因此需要通過貝葉斯t檢驗(yàn)進(jìn)行簡單效應(yīng)分析。

結(jié)果匯報(bào)。貝葉斯方差分析的結(jié)果顯示：參考先前研究者對數(shù)值大小所代表意義的劃分（Jarosz & Wiley， 2014; Jeffreys， 1961; Wetzels et al.， 2011），當(dāng)前數(shù)據(jù)存在非常強(qiáng)的證據(jù)支持抓握類型主效應(yīng)的存在（BFincl=51.19），傳統(tǒng)抓握方式的舉重速度快于反握。當(dāng)前數(shù)據(jù)存在極強(qiáng)的證據(jù)支持負(fù)荷主效應(yīng)的存在（BFincl=4.79×1013）的存在。事后檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，30%負(fù)荷的舉重速度快于50%負(fù)荷（BF10= 34.66）和70%負(fù)荷（BF10=8.74×108），50%負(fù)荷的舉重速度快于70%負(fù)荷（BF10=11777.45）。當(dāng)前數(shù)據(jù)存在極強(qiáng)的證據(jù)支持抓握方式和負(fù)荷間交互作用的存在（BFincl=314.08）。

4 討論

本文先介紹了貝葉斯方差分析的基本原理，特別是使用線性模型并進(jìn)行模型比較的思維方式。隨后結(jié)合實(shí)驗(yàn)心理學(xué)常用的五種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)展示了如何在JASP中進(jìn)行貝葉斯方差分析及如何匯報(bào)并解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，為貝葉斯方差分析的使用提供示例。

本文主要關(guān)注如何理解貝葉斯方差分析以及如何在JASP中進(jìn)行操作，因此未深入討論以下內(nèi)容。第一，先驗(yàn)分布的參數(shù)設(shè)定。本文的所有示例均使用JASP的默認(rèn)設(shè)定（Prior： r scale fixed effects=0.5， r scale random effects=1， r scale covariates=0.354; Model Prior： Uniform），當(dāng)研究者覺得有必要修改時(shí)，可在Additional Options中修改。由于修改這些先驗(yàn)本身即對混合線性模型中先驗(yàn)的修改，研究者可使用R中的brms包來構(gòu)建貝葉斯混合效應(yīng)模型（潘晚坷等， 2022），該方式也更加靈活。第二，要區(qū)分參數(shù)先驗(yàn)和模型先驗(yàn)，雖然本文在原理部分進(jìn)行了介紹，但這仍然是容易混淆之處，需要研究者特別注意。第三，匯報(bào)貝葉斯因子時(shí)要匯報(bào)實(shí)際數(shù)值，而非簡單地與特定閾值進(jìn)行比較（Schmalz et al.， 2021）。例如，不推薦僅匯報(bào)BF>3，而是匯報(bào)具體數(shù)值。如果需要更全面地了解在JASP中進(jìn)行貝葉斯統(tǒng)計(jì)的細(xì)節(jié)，可以參考van Doorn等（2021）的文章。

van den Bergh等（2020）認(rèn)為貝葉斯方差分析還存以下兩個(gè)需要注意的問題：第一，貝葉斯方差分析與頻率學(xué)派零假設(shè)顯著性檢驗(yàn)存在同樣的問題，即當(dāng)模型被錯(cuò)誤指定并且殘差分布是非正態(tài)分布時(shí)，結(jié)果可能出現(xiàn)偏差。該問題可通過使用不指定殘差分布的方差分析（例如，Kruskal-Wallis檢驗(yàn)）或者指定殘差分布來解決（需在Stan或JAGS中進(jìn)行）；第二，貝葉斯因子的計(jì)算會(huì)受到模型內(nèi)參數(shù)先驗(yàn)分布的影響。貝葉斯因子實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)模型邊際似然的比值，先驗(yàn)分布的變化必然會(huì)導(dǎo)致貝葉斯因子的變化（Schad et al.， 2022; Tendeiro & Kiers， 2019）。在復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，了解并設(shè)置合適的參數(shù)先驗(yàn)分布是困難的。因此，本文推薦使用JASP默認(rèn)的先驗(yàn)分布參數(shù)設(shè)定。

貝葉斯統(tǒng)計(jì)的優(yōu)勢足以令心理學(xué)等相關(guān)學(xué)科的研究者將注意從頻率學(xué)派方差分析轉(zhuǎn)移到貝葉斯方差分析（胡傳鵬等， 2018; 李貴玉， 顧昕， 2021; 許岳培等， 2022; 鄭元瑞， 胡傳鵬， 2023）。貝葉斯方差分析可以起到補(bǔ)充和檢驗(yàn)頻率學(xué)派方差分析結(jié)果的作用，從而為研究結(jié)果提供更有力的支持（Hoijtink et al.， 2019）。貝葉斯因子通常會(huì)使研究者得出和p值一致的結(jié)果。當(dāng)結(jié)果不一致時(shí)，建議按以下流程報(bào)告結(jié)果：（1）詳細(xì)地報(bào)告貝葉斯因子和p值的結(jié)果及各自所代表的含義；（2）在做出結(jié)論時(shí)持有謹(jǐn)慎態(tài)度，避免對結(jié)果過度解讀。當(dāng)這兩種統(tǒng)計(jì)方法得出不一致的結(jié)論時(shí)，可能有多個(gè)原因，例如，當(dāng)前研究的效應(yīng)量不夠穩(wěn)定，或者數(shù)據(jù)不滿足方差分析的前提預(yù)設(shè)等。這提示研究者需要反思當(dāng)前研究，包括樣本量是否足夠、在實(shí)驗(yàn)中對無關(guān)變量的控制情況等。同時(shí)，這也啟發(fā)研究者在收集數(shù)據(jù)前要確定關(guān)鍵效應(yīng)的量值?；诖耍惾~斯因子序列分析提供了一個(gè)新的分析視角，它要求研究者在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集開始前，就要根據(jù)研究設(shè)計(jì)或假設(shè)確定關(guān)鍵效應(yīng)。在保證研究獲得足夠證據(jù)的前提下，設(shè)置停止收集數(shù)據(jù)的規(guī)則。在數(shù)據(jù)收集過程中，研究者可以持續(xù)分析數(shù)據(jù)，貝葉斯因子和樣本量達(dá)到閾值就可以停止收集（詳細(xì)步驟和實(shí)現(xiàn)教程可參考：鄭元瑞， 胡傳鵬， 2023）。

貝葉斯因子會(huì)比p值更加保守并提供更直觀的信息（Dong & Wedel， 2017）。更為重要的是，隨著貝葉斯統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用以及相關(guān)軟件和軟件包的開發(fā)（例如，JASP、Stan、JAGS、BayesFactor、brms、bain、BANOVA和PyMC等），研究者能更加快速和方便地開展貝葉斯分析。為了貝葉斯分析的穩(wěn)定性和可重復(fù)性，研究者也提出了一系列分析指南（Schad et al.， 2022; van Doorn et al.， 2021）?？傊惾~斯統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用能夠?yàn)榻鉀Q心理學(xué)的可重復(fù)危機(jī)作出重要貢獻(xiàn)。

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