夏菲

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，小學(xué)階段要著重培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型有初步的感悟。數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)符號(hào)，表示生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的事物的過程，其精確度、形象性、具體性都比較高，應(yīng)用簡單便捷，存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域之中。從廣義上講，數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身就是模型，數(shù)學(xué)中的各種公式和定理都可以看作是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)的概念、關(guān)系、運(yùn)算，圖形，數(shù)據(jù)等，都源于現(xiàn)實(shí)生活，是對(duì)現(xiàn)實(shí)模型數(shù)學(xué)化的結(jié)果，而當(dāng)這些數(shù)學(xué)對(duì)象被用于解決現(xiàn)實(shí)世界的問題時(shí)，又需要借助具體的模型表示實(shí)際意義。隨著教育理念的不斷創(chuàng)新，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)越來越重視學(xué)生建模意識(shí)與能力的培養(yǎng)，教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向聯(lián)系，讓學(xué)生形成初步的模型意識(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中學(xué)有所依、學(xué)有所用。

一、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

現(xiàn)階段，部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)過程中，存在以下三個(gè)方面的問題，影響了學(xué)生模型建構(gòu)能力的培養(yǎng)。

一是偏重課堂解題，忽視建模思想的滲透。部分教師只注重講解題目本身，很少培養(yǎng)學(xué)生的解題思維。部分小學(xué)生在解決問題時(shí)存在一些不足，即便掌握了某一類題型的解題方法，但下次遇到類似問題時(shí)依舊會(huì)陷入迷茫，甚至?xí)阉?dāng)成一種新的題型繼續(xù)研究。究其原因是教師未幫助學(xué)生建構(gòu)明確針對(duì)某類題型的數(shù)學(xué)模型，使得學(xué)生缺乏建模思想。

二是偏重形式化的結(jié)論，忽視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)。部分教師在教學(xué)過程中看似讓學(xué)生自主探究，實(shí)際上持有一種“強(qiáng)加式”的學(xué)習(xí)思維。學(xué)生最終獲得的知識(shí)以教師要求記憶的內(nèi)容為主，并非來自學(xué)生的個(gè)人思考和建模推導(dǎo)，數(shù)學(xué)建模趨于形式化的現(xiàn)象比較突出。

三是偏重?cái)?shù)學(xué)建模擬態(tài)，忽視學(xué)生在實(shí)際生活中的體驗(yàn)。部分教師在教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，會(huì)選用生活中的事物作為教學(xué)案例，但未能充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，忽視了學(xué)生在實(shí)際生活中的體驗(yàn)，使得學(xué)生無法真正將建模思想與數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型建構(gòu)能力的策略

新課標(biāo)將模型思想?yún)^(qū)分為“模型意識(shí)”與“模型觀念”兩個(gè)部分，將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)確定為“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表現(xiàn)世界”，并指出模型思想的構(gòu)建步驟為“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”。學(xué)生模型建構(gòu)能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，必須經(jīng)歷從意識(shí)到應(yīng)用這樣一個(gè)完整的過程。因此，如何有效引導(dǎo)學(xué)生掌握建模的方法，提高學(xué)生的模型建構(gòu)能力，是小學(xué)數(shù)學(xué)教師亟須研究、實(shí)踐和解決的問題。

（一）問題引導(dǎo)，培養(yǎng)建模意識(shí)

有學(xué)者認(rèn)為，在講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，唯一正確的、有效的方法就是讓學(xué)生自主再創(chuàng)造。換言之，學(xué)生要想獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，就需要不斷探索?；诖?，在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以不斷拋出問題，引發(fā)學(xué)生的自主思考與主動(dòng)探索。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法”相關(guān)內(nèi)容的講解為例，根據(jù)教材內(nèi)容，教師可以設(shè)計(jì)以下問題：“量杯里有升果汁，平均分給2個(gè)小朋友喝，每人能喝多少升？”在提出問題后，教師應(yīng)給學(xué)生一定的時(shí)間思考。此前，學(xué)生接觸到的都是整數(shù)除以整數(shù)，這是他們第一次接觸分?jǐn)?shù)除法。當(dāng)學(xué)生獨(dú)立探究后，他們會(huì)在腦海中形成各種解題思路。學(xué)生甲認(rèn)為應(yīng)讓分子4和分母5同時(shí)除以整數(shù)2；學(xué)生乙認(rèn)為應(yīng)讓分子4除以整數(shù)2，分母5則保持不變；學(xué)生丙認(rèn)為應(yīng)將化為小數(shù)0.8，再用0.8除以整數(shù)2；學(xué)生丁則認(rèn)為可以用畫圖的方法解決；等等。那么，上述思路中哪一種是正確的呢？為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，教師不應(yīng)直接給出答案，而應(yīng)繼續(xù)拋出問題，讓學(xué)生進(jìn)一步思考和探索。教師可以對(duì)學(xué)生提問“究竟哪種思路是正確的呢？你們打算怎樣驗(yàn)證？”，并指導(dǎo)學(xué)生用量杯量一量、分一分，對(duì)上述思路進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中得出正確結(jié)論，進(jìn)而歸納出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的模型，即分母不變，分子除以整數(shù)。

在探究過程中，從探究并表達(dá)解題思路到推翻自我的假設(shè)，再到產(chǎn)生新的思路，都是學(xué)生自主進(jìn)行的，教師只是一個(gè)推動(dòng)者。這個(gè)過程中的提出假設(shè)、探究驗(yàn)證、解決問題等環(huán)節(jié)，能夠讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，學(xué)會(huì)在現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中將數(shù)學(xué)問題抽象化，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，獲得更多的經(jīng)驗(yàn)積累，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)與模型建構(gòu)能力有重要價(jià)值。

（二）實(shí)踐操作，經(jīng)歷建模過程

數(shù)學(xué)模型一定是在實(shí)踐操作之后才得到的，對(duì)于學(xué)生而言，實(shí)踐操作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極為重要的概念構(gòu)建起點(diǎn)與基礎(chǔ)。在實(shí)踐操作的過程中，學(xué)生不僅需要具備完成具體的、實(shí)際的操作行為的能力，還需要具備觀察、思考、接受、對(duì)比、溝通、解決問題等抽象的數(shù)學(xué)能力。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊第六單元的“平行四邊形的面積”這部分內(nèi)容為例，學(xué)生可能會(huì)提出以下兩種平行四邊形面積的算法：一是將平行四邊形放置于透明方格紙上并描邊，然后通過數(shù)方格的方式計(jì)算平行四邊形的面積；二是用剪刀裁剪平行四邊形，將其拼成長方形再計(jì)算面積。在這個(gè)過程中，有的教師會(huì)直接通過課件演示裁剪的過程（見圖1中的圖示①和圖

示②），再讓學(xué)生計(jì)算平行四邊形面積，但這種方式無法讓學(xué)生獲得更深的感悟。因此，教師應(yīng)該給學(xué)生動(dòng)手操作的時(shí)間。并且，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生裁剪的過程是不一樣的。學(xué)生會(huì)用不同的方式剪開平行四邊形兩邊的三角形（見圖1中的圖示③和圖示④），但無論怎樣裁剪，最終都能拼成一個(gè)長方形，并且長和寬都分別對(duì)應(yīng)平行四邊形的底和高。由此可見，學(xué)生只有自己動(dòng)手裁剪了，才能通過獨(dú)立思考、自主操作、小組討論、總結(jié)反思等，充分、深入地理解平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。這樣的實(shí)踐操作能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有助于提高學(xué)生的模型建構(gòu)能力。

（三）邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，完善建模結(jié)論

從狹義上講，數(shù)學(xué)建模是針對(duì)某種特定問題而建立數(shù)學(xué)模型的過程，這個(gè)過程往往是從普遍的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，再推導(dǎo)到特殊情況，從而使所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型面對(duì)所有情況都成立。在具備初步的模型意識(shí)和實(shí)踐能力后，學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下，逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，完善自己建立的模型。

以“畫一個(gè)長6厘米，寬4厘米的長方形，再把這個(gè)長方形的長和寬分別增加，算一算，新長方形的面積是原來的幾分之幾？”這道題為例，學(xué)生通過計(jì)算能得到新長方形的面積是原來的。此時(shí)，教師可以繼續(xù)對(duì)學(xué)生提問：“任意畫幾個(gè)長方形，把長和寬分別增加，再算一算新長方形的面積是原來的幾分之幾？”當(dāng)學(xué)生再次算出時(shí)，便會(huì)有一個(gè)大膽的建模假設(shè)，即只要長方形的長和寬增加，新長方形的面積就是原來的。但這類題型的本質(zhì)并不在此，而在于引導(dǎo)學(xué)生探究長方形長和寬擴(kuò)大相同的倍數(shù)與面積之間的關(guān)系。因此，教師要追問：“如果長方形長和寬分別增加呢？新長方形的面積還會(huì)是原來的嗎？”此時(shí)，學(xué)生便會(huì)探究這些數(shù)據(jù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長方形面積與長、寬之間的關(guān)系。接著，教師可以讓學(xué)生思考“這個(gè)模型能歸納所有的長方形嗎？正方形呢？”這一問題，并讓學(xué)生了解模型思想必須具備從特殊到一般，再從一般到特殊這一特征，這才是真正完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕＿^程。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身思維的不足，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與本質(zhì)，促使學(xué)生在思維的不斷碰撞和修正中，逐漸形成模型意識(shí)，培養(yǎng)模型應(yīng)用能力，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）有效評(píng)價(jià)，尋求建模優(yōu)化

探究的目的是解決問題，但問題是否解決，離不開后續(xù)的有效評(píng)價(jià)和回顧總結(jié)。探究后的評(píng)價(jià)、反思、總結(jié)與回顧等環(huán)節(jié)，看似并非必要環(huán)節(jié)，實(shí)際在幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、優(yōu)化建模方法等方面有著不容忽視的作用。

例如，在教授人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊第五單元的“用字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以讓學(xué)生解答課本上的一道例題（圖2）。學(xué)生在填寫表格后會(huì)發(fā)現(xiàn)，每增加一個(gè)三角形就需要增加2根小棒，如果用a表示增加的三角形個(gè)數(shù)，那么共用小棒的根數(shù)就是3+2a。這正是這節(jié)課需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，從中會(huì)衍生出擺正方形、正五邊形、正六邊形等一系列題目。但筆者發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生往往分不清“第幾個(gè)圖形”和“增加幾個(gè)圖形”，具體問到“第5個(gè)三角形需要幾根小棒”時(shí)，部分學(xué)生可能會(huì)寫作3+2×5，這其實(shí)是錯(cuò)誤的，a表示增加的三角形個(gè)數(shù)，這里的a應(yīng)該是4。因此，當(dāng)問到第n個(gè)圖形有幾根小棒時(shí)，學(xué)生應(yīng)該寫3+2（n-1），化簡得到2n+1。這一模型也可以直接理解成除第一個(gè)三角形外，其余每個(gè)三角形都用到了2根小棒，二者雖然結(jié)果一樣，但后者在思維過程上卻更容易理解，這便是模型優(yōu)化的過程。學(xué)生在建模時(shí)往往會(huì)從容易理解的角度一步步推導(dǎo)出模型，此時(shí)，反思和評(píng)價(jià)就顯得尤為重要。此外，圓的面積公式、圓錐的側(cè)面積公式等，學(xué)生對(duì)這些公式的推導(dǎo)，都是在第一次建模之后根據(jù)結(jié)果反思、總結(jié)，繼而得到一個(gè)更為簡便的模型。

（五）融入生活，提倡建模應(yīng)用

隨著教育改革的深入，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)越來越強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的情境化和生活化。教師在培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)能力時(shí)，要結(jié)合生活實(shí)例完成教學(xué)知識(shí)的整合，讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)現(xiàn)象，明確數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)性質(zhì)之間的統(tǒng)一性與辯證性。需要注意的是，在引導(dǎo)學(xué)生獲得全新的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，教師需要留給學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生自主完成數(shù)學(xué)知識(shí)的驗(yàn)證。在此過程中，教師需引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拓展性數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而自主地解決問題，不斷地強(qiáng)化自身的模型意識(shí)，提高模型建構(gòu)能力。

以小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用類題型中的“植樹問題”為例，在解“在一個(gè)周長為400米的圓形池塘的岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？”這一題時(shí)，教師可以基于真實(shí)的戶外環(huán)境進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，帶領(lǐng)學(xué)生前往公園觀察相應(yīng)的植樹場景。此外，教師還可以提出其他類似的應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化模型意識(shí)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系，以培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)能力，讓學(xué)生在實(shí)際操作中將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活，進(jìn)而提高學(xué)生解決問題的能力。

（作者單位：昆山市玉山鎮(zhèn)振華實(shí)驗(yàn)小學(xué)）