黃 成，王 濤，許家忠

(哈爾濱理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

空間交會(huì)與接近任務(wù)是指追蹤星抵近飛行至另一個(gè)空間目標(biāo)附近,并完成諸如繞飛、在軌操作、對(duì)接等操作的整個(gè)過程,根據(jù)目標(biāo)星能否提供導(dǎo)航信息,可以將其分為合作與非合作兩類。相比合作式情形,非合作目標(biāo)的交會(huì)與接近在空間監(jiān)測(cè)與服務(wù)、深空探測(cè)等領(lǐng)域具有更廣闊的應(yīng)用前景,但由于缺乏信息溝通,存在更大的挑戰(zhàn)性。為了執(zhí)行復(fù)雜多樣的非合作目標(biāo)近距離操作任務(wù),航天器路徑規(guī)劃成為該研究領(lǐng)域的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。目前約有1 900顆在軌航天器與15 000枚空間碎片存在于外太空[1],采用有效的航天器路徑規(guī)劃技術(shù)可以保證在不發(fā)生碰撞的情況下找到一條從當(dāng)前位置到達(dá)目標(biāo)位置的最優(yōu)路徑,同時(shí)滿足消耗燃料最少、飛行時(shí)間最短等[2]要求。否則,航天器在飛行過程中可能發(fā)生碰撞事件或出現(xiàn)燃料不足等問題,導(dǎo)致操作任務(wù)不能正常進(jìn)行。

目前路徑規(guī)劃方法大致分為兩類,一類是以可視圖法、單元分解法[3]、隨機(jī)采樣法[4]、人工勢(shì)場(chǎng)法等為代表的傳統(tǒng)算法,另一類則是以A*算法[5-6]、遺傳算法[7-8]、粒子群算法[9]、蟻群算法等為代表的啟發(fā)式算法。文獻(xiàn)[10]為解決無人駕駛飛機(jī)在避障條件下的路徑規(guī)劃問題,提出了一種實(shí)時(shí)避碰算法,該算法所規(guī)劃出的路徑能夠避免碰撞,并且能夠保證最小安全距離。文獻(xiàn)[11] 針對(duì)傳統(tǒng)人工勢(shì)場(chǎng)法存在局部極小值以及目標(biāo)不可達(dá)的問題,提出一種增加逃逸力因數(shù)的人工勢(shì)場(chǎng)法。文獻(xiàn)[12]基于粒子群優(yōu)化方法提出了大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)航天器在多種約束下的路徑規(guī)劃算法。文獻(xiàn)[13]針對(duì)空間在軌操控機(jī)器人的路徑規(guī)劃問題,提出一種基于拓鄰域搜索的蟻群算法,該算法可以有效地規(guī)劃出機(jī)器人全局路徑。然而,隨著環(huán)境系統(tǒng)復(fù)雜性及任務(wù)難度的增加,傳統(tǒng)算法難以取得理想的效果,而常規(guī)啟發(fā)式算法也存在局部最優(yōu)、收斂速度慢以及效率低等問題。

Yang[14]于2010年基于群體智能提出蝙蝠算法(Bat algorithm, BA),這是一種可以搜索全局最優(yōu)解的啟發(fā)式優(yōu)化算法,與其他群智能優(yōu)化算法相比結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、全局搜索能力較強(qiáng)、參數(shù)較少,因此更適用于解決要求運(yùn)算速度更快、環(huán)境適應(yīng)性更強(qiáng)、性能更優(yōu)的路徑規(guī)劃問題。文獻(xiàn)[15]提出一種在蝙蝠算法中融入黃金正弦算法解決移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃問題的方法,該方法具有較快的收斂能力以及全局搜索能力。文獻(xiàn)[16]針對(duì)水下機(jī)器人避障的路徑優(yōu)化問題,通過線性漸變、高斯柯西變異以及界限隨機(jī)重置機(jī)制等策略來改進(jìn)蝙蝠算法,該方法使得水下機(jī)器人規(guī)劃的路徑更短、更平滑。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于改進(jìn)蝙蝠算法的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃方法,該方法平衡了算法的全局尋優(yōu)與局部探索能力,提高了算法的收斂速度與尋優(yōu)精度。蝙蝠算法也常用于求解連續(xù)型的優(yōu)化問題,在調(diào)度問題[18]、函數(shù)優(yōu)化[19]、故障診斷[20]、圖像識(shí)別等方面有著廣泛的應(yīng)用。然而,標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法存在易陷入局部極值、后期收斂速度慢等缺點(diǎn),限制了其在復(fù)雜、快速收斂性任務(wù)中的實(shí)際應(yīng)用,為了改善上述缺點(diǎn),拓展其應(yīng)用領(lǐng)域,需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法進(jìn)行優(yōu)化。

普遍情況下,研究者常采用傳統(tǒng)直線或者圓弧分段插值的方法來解決路徑規(guī)劃的優(yōu)化問題,但這些方法構(gòu)造出來的移動(dòng)路徑會(huì)產(chǎn)生較多的轉(zhuǎn)折點(diǎn),因此能夠?qū)е侣窂角€出現(xiàn)連續(xù)性以及平滑性較差的問題。而采用三次樣條插值方法對(duì)目標(biāo)路徑進(jìn)行優(yōu)化,可以避免路徑產(chǎn)生較多的轉(zhuǎn)折點(diǎn),從而擬合出一條連續(xù)且平滑的曲線。因此本文以文獻(xiàn)[17]中的方法為理論基礎(chǔ),提出一種新的改進(jìn)蝙蝠算法,進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)能力,并結(jié)合改進(jìn)編碼方式的三次樣條插值算法對(duì)航天器路徑進(jìn)行三維規(guī)劃。

綜合考慮近程導(dǎo)引段任務(wù)特點(diǎn)及其對(duì)路徑規(guī)劃算法尋優(yōu)性能的需求,本文將優(yōu)化后的蝙蝠算法和三次樣條插值方法相結(jié)合,提出一種收斂速度更快、路徑更短的航天器路徑規(guī)劃方法。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)為:1)引入Circle混沌映射進(jìn)行種群初始化,有效地解決了初始解聚集等問題;2)位置更新時(shí)進(jìn)行位置限定,同時(shí)在全局搜索階段引入自適應(yīng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)系數(shù),在局部搜索階段融入柯西分布的逆累積分布函數(shù),實(shí)現(xiàn)了算法權(quán)重的動(dòng)態(tài)變化,并增加了種群變異機(jī)制;3)融合分段隨機(jī)的反向?qū)W習(xí)策略,調(diào)節(jié)了算法的搜索范圍,進(jìn)一步擴(kuò)大了蝙蝠種群的多樣性。

1 混合蝙蝠算法CPTDBA

1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系定義

地心慣性坐標(biāo)系OXYZ、軌道坐標(biāo)系o1x1y1z1以及目標(biāo)星本體坐標(biāo)系o2x2y2z2之間的關(guān)系如圖1所示。其中地心作為地心慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,X軸在赤道平面內(nèi),并且指向春分點(diǎn);Z軸沿著地球自轉(zhuǎn)軸并指向北極;Y軸滿足右手定則。軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)o1為參考星的質(zhì)心,x1軸沿地心指向參考星質(zhì)心;y1軸在參考星所在的軌道平面內(nèi),與x1軸相垂直,并且指向運(yùn)動(dòng)方向;z1軸通過右手定則進(jìn)行確定。目標(biāo)星本體坐標(biāo)系原點(diǎn)o2為目標(biāo)星的質(zhì)心,3個(gè)正交慣性的目標(biāo)星主軸分別為x2,y2,z2。

圖1 坐標(biāo)系定義Fig.1 Coordinate system definition

為了方便計(jì)算數(shù)據(jù),本文以軌道坐標(biāo)系作為航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系中的參考星可以是真實(shí)的航天器,也可以是人為虛構(gòu)出來的航天器,因此本文以路徑規(guī)劃開始時(shí)的航天器作為該坐標(biāo)系的參考星。

1.2 蝙蝠算法數(shù)學(xué)建模

① 算法中的聲波頻率更新式為:

fi=fmin+(fmax-fmin)×β

(1)

② 速度更新式為:

(2)

③ 全局位置更新式為:

(3)

④ 局部搜索的位置更新式為:

Xnew=Xold+εAt

(4)

式中:Xnew為蝙蝠個(gè)體的新位置;Xold為當(dāng)前蝙蝠個(gè)體的位置;ε∈[-1,1],且為一個(gè)隨機(jī)數(shù);At是當(dāng)前蝙蝠種群所有個(gè)體的平均響度。

⑤ 聲波響度更新式為:

(5)

⑥ 脈沖發(fā)射頻率更新式為:

(6)

1.3 Circle混沌映射初始化種群

在標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法與文獻(xiàn)[17]提出的PTRBA算法中,初始蝙蝠種群的選取存在隨機(jī)且分布相對(duì)不均勻的問題,因此容易產(chǎn)生全局搜索能力不強(qiáng),收斂速度較慢[21]以及陷入局部最優(yōu)解的問題。為了解決這一問題,提高算法的搜索能力,本文將Circle混沌映射算子引入到蝙蝠算法中。原Circle混沌映射的表達(dá)式為

(7)

式中:a=0.2,b=0.5,但這種Circle混沌映射值的分布依然不均勻,在[0.15,0.6]之間的取值較為集中,如圖2(b)所示。因此本文對(duì)原Circle混沌映射進(jìn)行改進(jìn),得到帶有改進(jìn)Circle混沌映射的種群初始化表達(dá)式:

圖2 Circle混沌映射值分布圖Fig.2 Circle chaos map value distribution

圖3 CPTDBA算法流程圖Fig.3 Flow chart of CPTDBA algorithm

(8)

式中:Xn代表第n只蝙蝠個(gè)體的初始位置,n=1,2,…,Npop-1,Npop為蝙蝠的種群數(shù)量。

由圖2對(duì)比可知,(a)～(b)圖中原Circle混沌值在[0.15,0.6]之間分布的較為集中,而(c)～(d)圖中改進(jìn)Circle混沌值分布的相對(duì)均勻,因此,引入改進(jìn)Circle混沌映射對(duì)種群進(jìn)行初始化有利于擴(kuò)大蝙蝠種群的多樣性,從而提高蝙蝠算法的尋優(yōu)性能,避免算法過度早熟的問題。

1.4 自適應(yīng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)系數(shù)

(9)

λ=W+ξ×B(b1,b2)

(10)

式中:t是當(dāng)前蝙蝠種群的迭代次數(shù);Tmax是蝙蝠種群的最大迭代次數(shù);W為自適應(yīng)權(quán)重策略協(xié)調(diào)收斂因子,能夠平衡全局尋優(yōu)和局部探索的能力,提高算法的搜索精度;ξ∈[0.1,0.5]上均勻分布的隨機(jī)數(shù);B(b1,b2)表示服從貝塔分布的隨機(jī)數(shù),本文中取b1=1,b2=2。加入服從貝塔分布的隨機(jī)數(shù)后,蝙蝠算法有機(jī)會(huì)取得較大的權(quán)值,能夠使得權(quán)重進(jìn)行動(dòng)態(tài)的變化,從而使蝙蝠算法的收斂速度得到提高。因此在全局位置更新式中引入自適應(yīng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)系數(shù),可以提高算法全局尋優(yōu)的能力。全局位置更新式修改為

(11)

1.5 柯西分布的逆累積分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法在局部位置更新時(shí),由于位置更新式(4):Xnew=Xold+εAt中的ε∈[-1,1]為隨機(jī)數(shù),因此蝙蝠種群在局部搜索時(shí)具有隨機(jī)性,不容易尋找到局部最優(yōu)解。本文采用柯西分布的逆累積分布函數(shù)對(duì)蝙蝠種群進(jìn)行變異,利用柯西分布具有“尾巴”長(zhǎng)的特點(diǎn),擴(kuò)大蝙蝠個(gè)體的變異范圍。同時(shí),當(dāng)蝙蝠種群進(jìn)行柯西逆累積分布函數(shù)變異時(shí),蝙蝠個(gè)體將采用螺旋行走的方式進(jìn)行局部尋優(yōu),因此能夠避免蝙蝠種群進(jìn)行盲目變異,從而提高局部搜索的能力?？挛髂胬鄯e分布函數(shù)式(12)所示,蝙蝠局部搜索的位置更新式修改為式(13)。

(12)

(13)

式中:Xnew為蝙蝠個(gè)體新位置;Xold為當(dāng)前蝙蝠個(gè)體位置;當(dāng)前蝙蝠種群所有個(gè)體的平均響度為At;κ∈[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù),所以tan(π×(κ-1/2))具有正切隨機(jī)探索的能力,可以使蝙蝠個(gè)體在當(dāng)前局部最優(yōu)解附近進(jìn)行搜索,并且使得算法跳出局部最優(yōu),從而避免蝙蝠算法盲目搜索,使局部尋優(yōu)探索機(jī)制更加準(zhǔn)確。

1.6 分段隨機(jī)反向?qū)W習(xí)策略

如果蝙蝠算法在解空間中陷入了局部最優(yōu),那么算法在后期進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)精度就會(huì)降低,因此,本文提出一種分段隨機(jī)的反向?qū)W習(xí)策略。文獻(xiàn)[22]中定義了在n維空間中,點(diǎn)P(x1,x2,…,xn)的反向解為:

(14)

式中:xi∈[ai,bi],i=1,2,3,…,n。結(jié)合式(14),得到如式(15)、(16)所示的分段隨機(jī)反向解:

(15)

(16)

2 三次樣條插值函數(shù)

2.1 平面三次樣條插值

設(shè)區(qū)間[a,b]內(nèi)的n+1個(gè)點(diǎn),把區(qū)間分為n個(gè)形如[(x0,x1),(x2,x3),…,(xn-1,xn)]的小區(qū)間,其中x0=a,xn=b。每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的曲線都是1個(gè)三次多項(xiàng)式,而三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足以下條件:

1)S(x)=yi,i=0,1,2,…,n;

2)在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1]內(nèi),S(x)=S(xi)都是1個(gè)三次方程;

3)S(x),S′(x),S″(x)連續(xù)。

三次樣條插值函數(shù)在每段小區(qū)間內(nèi)的形式可構(gòu)造成如下形式:

Si(x)=aix3+bix2+cix+di,i=0,1,2,…,n-1

從Si(x)形式可以看出,每個(gè)小區(qū)間內(nèi)有4個(gè)未知數(shù)(ai,bi,ci,di)。而區(qū)間[a,b]內(nèi)共有n個(gè)小區(qū)間,所以整個(gè)三次樣條插值函數(shù)(17)共有4n個(gè)待定系數(shù)。因此求解這些待定系數(shù),就需要構(gòu)造4n個(gè)方程。

S(x)=ax3+bx2+cx+d

(17)

首先,區(qū)間內(nèi)所有的點(diǎn)xi均滿足插值條件,即式(18),共n+1個(gè)方程。除端點(diǎn)外,其余n-1個(gè)點(diǎn)均滿足式(19),共2(n-1)個(gè)方程,而加上兩個(gè)端點(diǎn)分別滿足第1個(gè)和第n個(gè)三次方程的條件,共2n個(gè)方程。其次,n-1個(gè)插值點(diǎn)的S(x)是一階可導(dǎo)且連續(xù)的,即滿足式(20),共n-1個(gè)方程。另外,S(x)也是二階可導(dǎo)且連續(xù)的,即滿足式(21),同樣地,共n-1個(gè)方程。

S(xi)=yi,i=0,1,2,…,n

(18)

S-(xi)=S+(xi),i=1,2,…,n-1

(19)

S′-(xi)=S′+(xi),i=1,2,…,n-1

(20)

S″-(xi)=S″+(xi),i=1,2,…,n-1

(21)

此時(shí)共有4n-2個(gè)方程,再補(bǔ)充兩個(gè)方程就可以得到S(x),這兩個(gè)方程常用以下邊界條件來補(bǔ)充:

1)自然邊界:S″(x0)=S″(xn)=0,即指定端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)等于0;

2)固定邊界:S′(x0)=A,S′(xn)=B,即指定端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù);

3)周期邊界條件:端點(diǎn)處的函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足周期條件。

通過式(18)～(21)以及上述任意兩個(gè)邊界條件就可以求解出式(17)中的待定系數(shù)(ai,bi,ci,di),因此便能得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式S(x)。

2.2 空間三次樣條插值

由于本文求解的是航天器的三維路徑,屬于空間規(guī)劃問題,需要進(jìn)行空間的三次樣條插值。根據(jù)投影法中,投影到兩個(gè)平面上的兩條曲線可以確定出唯一一條空間曲線的原理,本文采用投影法,將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題進(jìn)行解決。即利用投影法,結(jié)合求解平面三次樣條插值的方法,計(jì)算形如式(22)的空間三次樣條插值函數(shù)。

z=S(x,y)=a0+a1x+a2x2+a3x3+

b0+b1y+b2y2+b3y3

(22)

即把空間曲線S(x,y)投影到xoy平面和xoz平面上分別進(jìn)行平面三次樣條插值。本文根據(jù)式(17)構(gòu)造出xoy平面和xoz平面上的三次樣條插值函數(shù)式(23)、(24),并分別求解出對(duì)應(yīng)的平面三次樣條插值函數(shù)y與z。

y=a1x3+b1x2+c1x+d1

(23)

z=a2x3+b2x2+c2x+d2

(24)

將式(22)～(24)聯(lián)立求解,就能得到空間三次樣條插值函數(shù)S(x,y),然后通過結(jié)合混合蝙蝠算法就能夠規(guī)劃出航天器的三維路徑曲線。

3 航天器三維路徑規(guī)劃

3.1 粒子編碼設(shè)計(jì)

在三次樣條插值中,每個(gè)大區(qū)間[aj,bj]之間的連接處可稱為路徑節(jié)點(diǎn),而每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1]之間的連接處則稱為插值點(diǎn)。路徑節(jié)點(diǎn)就相當(dāng)于整條路徑上最大的轉(zhuǎn)向次數(shù),通常情況下,3～5次轉(zhuǎn)向就可以避開所有障礙物到達(dá)目標(biāo)位置。粒子的編碼就是路徑節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置,可以根據(jù)當(dāng)前的環(huán)境進(jìn)行選擇。本文提出一種基于升序排列的路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值編碼設(shè)計(jì)的方法。

假設(shè)通過蝙蝠算法得到j(luò)個(gè)坐標(biāo)為(x1,y1,z1),…,(xj,yj,zj)的路徑節(jié)點(diǎn),并且xj,yj,zj均進(jìn)行對(duì)應(yīng)的升序排列。已知路徑起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0)、(xm,ym,zm),通過三次樣條插值,在區(qū)間[x0,x1,…,xj,xm]、[y0,y1,…,yj,ym]以及[z0,z1,…,zj,zm]上分別構(gòu)造n個(gè)插值點(diǎn),就可以得到n個(gè)形如(X1,Y1,Z1),…,(Xn,Yn,Zn)的三維插值點(diǎn)坐標(biāo),將起點(diǎn)、插值點(diǎn)、路徑節(jié)點(diǎn)以及終點(diǎn)進(jìn)行連線,便可以得到航天器最優(yōu)的三維路徑。通過將路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行升序排列,避免了連線過程中曲線彎曲交織、彎曲程度較大等問題,減少了不必要路徑的產(chǎn)生,從而提高了算法的運(yùn)行效率。

緊緊圍繞黨的號(hào)召和黨建工作加強(qiáng)文化建設(shè)。積極貫徹落實(shí)黨中央和部黨組總體部署，深入開展黨的群眾路線教育實(shí)踐活動(dòng)，制定出臺(tái)了《水利部綜合事業(yè)局貫徹中央八項(xiàng)規(guī)定實(shí)施細(xì)則》《水利部綜合事業(yè)局工作規(guī)則》等多項(xiàng)重要制度。深入基層開展調(diào)查研究，設(shè)立局長(zhǎng)接待日，從數(shù)百條群眾建議和意見中，梳理出共計(jì)6大方面的59條急需解決的重要事項(xiàng)，并利用局黨委會(huì)、局長(zhǎng)辦公會(huì)、專題辦公會(huì)、工作例會(huì)以及專項(xiàng)協(xié)調(diào)會(huì)等一系列會(huì)議，逐項(xiàng)消化解決突出重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，切實(shí)答復(fù)廣大職工的關(guān)切，密切全局職工干群關(guān)系，為全局穩(wěn)定健康發(fā)展提供思想保障和政治保障。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)建

航天器在規(guī)劃三維路徑時(shí)需要滿足以下條件:

1)能夠躲避障礙物,并且不能產(chǎn)生碰撞;

2)航天器消耗的燃料最少、飛行時(shí)間最短,即規(guī)劃的三維路徑最短。

本文就上述兩個(gè)條件進(jìn)行適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建。適應(yīng)度函數(shù)表達(dá)式如下:

F=L(1+ω×η)

(25)

式中:L為將起點(diǎn)、插值點(diǎn)、路徑節(jié)點(diǎn)以及終點(diǎn)進(jìn)行連線的曲線長(zhǎng)度,計(jì)算式為(26)。ω為避障系數(shù),選取合適的值可以剔除穿越障礙物的路徑,本文通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比,決定取ω=1 000。η為標(biāo)志變量,初始值為0,計(jì)算結(jié)果與障礙物相關(guān)。

L=

(26)

式中:(Xi,Yi,Zi)為第i個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo)。為了方便計(jì)算適應(yīng)度函數(shù),本文將障礙物設(shè)置成圓形,個(gè)數(shù)為N,因此η的計(jì)算形式可如下所示:

η=η+Average(θk)

(27)

(28)

(29)

式中:k=1,2,…,N,i=1,2,…,n;dki為當(dāng)前路徑上第i個(gè)插值點(diǎn)與第k個(gè)障礙圓心的距離,而dk則表示n個(gè)dki組成的集合,(Xrk,Yrk,Zrk)為第k個(gè)障礙的圓心坐標(biāo);θk為標(biāo)志變量數(shù)值集合;rk為第k個(gè)圓形障礙的半徑。當(dāng)路徑穿過第k個(gè)障礙物時(shí),θki>0,反之,θki=0;若整條路經(jīng)均未穿過第k個(gè)圓形障礙,則集合θk內(nèi)的數(shù)θki均為0。η為累加值,當(dāng)整條路經(jīng)均未穿過障礙時(shí),η=0,否則,η>0。

3.3 CPTDBA算法實(shí)現(xiàn)步驟

步驟 1.初始化種群規(guī)模Npop、聲波頻率最大值fmax和最小值fmin、速度Vi、聲波響度Ai、脈沖發(fā)射頻率ri以及迭代總次數(shù)Tmax。確定路徑起始點(diǎn)(x0,y0,z0)和終止點(diǎn)(xm,ym,zm),設(shè)定圓形障礙物個(gè)數(shù)N、圓心(Xr,Yr,Zr)以及半徑r,并根據(jù)當(dāng)前航天器所處環(huán)境中障礙物的個(gè)數(shù)確定路徑節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)j以及插值點(diǎn)個(gè)數(shù)n。

步驟 3.根據(jù)蝙蝠所在位置,參考分段隨機(jī)反向?qū)W習(xí)計(jì)算式(15)、(16),求出對(duì)應(yīng)的反向解。

步驟 4.將上述求得的xj,yj,zj坐標(biāo)分別進(jìn)行升序排列,根據(jù)式(22)計(jì)算出空間三次樣條插值函數(shù)S(x,y),并利用S(x,y)求出n個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo)(X1,Y1,Z1),…,(Xn,Yn,Zn)。

步驟5.利用式(26)求出路徑長(zhǎng)度L,并利用式(27)～(29)計(jì)算出標(biāo)志變量η的值,從而判斷路徑是否穿過圓形障礙。

步驟 6.利用式(25)計(jì)算出適應(yīng)度函數(shù)的值以及步驟3中反向解的適應(yīng)度值。

步驟7.比較當(dāng)前蝙蝠個(gè)體位置與其對(duì)應(yīng)反向解的適應(yīng)度值大小,若前者大于后者,則用反向解代替當(dāng)前蝙蝠個(gè)體的位置。

步驟 8.利用式(1)、(2)、(11)、(13)進(jìn)行蝙蝠個(gè)體頻率fi、速度Vi以及位置Xi的更新,并對(duì)更新后的Xi進(jìn)行位置限定,將其固定在[Xmin,Xmax]范圍內(nèi);并利用式(5)、(6)進(jìn)行蝙蝠個(gè)體響度Ai、脈沖發(fā)射頻率ri的更新。

步驟 9.排列適應(yīng)度值,找出位置最優(yōu)解。

步驟10.在迭代次數(shù)Tmax內(nèi)循環(huán)執(zhí)行步驟3～8。

步驟11.輸出航天器最短的三維路徑。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為了保證某些參數(shù)設(shè)置的合理性,保證后續(xù)實(shí)驗(yàn)的正常進(jìn)行,本文通過三種對(duì)比試驗(yàn),確定了標(biāo)志變量ω的取值、限定位置[Xmin,Xmax]的范圍以及路徑節(jié)點(diǎn)升序排列的可行性。同時(shí),為保證提出的CPTDBA算法在求解航天器三維路徑問題上的有效性和準(zhǔn)確性,本文將CPTDBA算法與文獻(xiàn)[17]中提出的具有反向?qū)W習(xí)和正切隨機(jī)探索的蝙蝠算法PTRBA、標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法BA以及標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法PSO,在簡(jiǎn)單和復(fù)雜兩種環(huán)境下進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

為了減少其他因素對(duì)本文實(shí)驗(yàn)的干擾,CPT-DBA、PTRBA、BA、PSO 4種算法均在Python 3.9軟件平臺(tái)進(jìn)行仿真運(yùn)行。本文分別在簡(jiǎn)單環(huán)境與復(fù)雜環(huán)境中對(duì)航天器三維路徑進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),其中部分參數(shù)值的設(shè)置保持一致,如4種算法的種群數(shù)量Npop=150,迭代總次數(shù)Tmax=100,3種蝙蝠算法的聲波頻率最大值fmax=5 kHz、最小值fmin=0 kHz,聲波響度Ai=0.5 dB,脈沖發(fā)射頻率ri=0.25 kHz,響度衰減系數(shù)α=0.3,脈沖發(fā)射頻率增強(qiáng)系數(shù)γ=1。

為了確定對(duì)航天器三維路徑規(guī)劃影響較大的參數(shù),即確定標(biāo)志變量ω的取值、限定位置[Xmin,Xmax]的范圍以及路徑節(jié)點(diǎn)升序排列的可行性,提高算法尋優(yōu)能力,找到符合條件的最短路徑,本文分別對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。而為了使對(duì)比結(jié)果更具有代表性以及說服力,本文將在復(fù)雜環(huán)境下以CPTDBA算法為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)合路徑曲折程度、種群收斂速度以及運(yùn)行30次后路徑平均解、最短路徑解、最長(zhǎng)路徑解等因素進(jìn)行綜合分析,從而確定出相關(guān)參數(shù)的取值。

1)標(biāo)志變量ω

令ω=10,ω=100,ω=1 000,這3種取值都能規(guī)劃出航天器最短路徑,且路徑長(zhǎng)度差距不大,但ω=1 000時(shí)路徑不存在碰撞,路徑曲折程度最小,收斂速度最快,最優(yōu)解和陷入局部最優(yōu)的次數(shù)也最小。因此,本文設(shè)定ω=1 000。

2)限定位置[Xmin,Xmax]

分[1, 7], [0.5, 7.5], [0.1, 7.9]3種情況進(jìn)行對(duì)比,其中3種位置限定均能規(guī)劃出無碰撞的航天器三維路徑,但[0.1, 7.9]迭代速度較快,陷入局部最優(yōu)的次數(shù)較少,最優(yōu)解分布較為均勻,路徑曲折程度、路徑平均解以及最短路徑解也均優(yōu)于其他兩種情況。因此,本文設(shè)置限定位置的范圍為[0.1,7.9]。

3)路徑節(jié)點(diǎn)升序排列的可行性

分為路徑節(jié)點(diǎn)排序和路徑節(jié)點(diǎn)未排序兩種路徑情況,其中兩種路徑情況都能規(guī)劃出符合條件的航天器三維路徑,但路徑節(jié)點(diǎn)排序時(shí)的路徑曲折程度小,迭代速度快,且路徑平均解、最短路徑解以及最長(zhǎng)路徑解都要優(yōu)于未排序時(shí)的結(jié)果。因此,本文對(duì)插值的路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行升序排列。

4.2 單目標(biāo)系統(tǒng)下的三維路徑規(guī)劃

單目標(biāo)系統(tǒng)分別在簡(jiǎn)單環(huán)境和復(fù)雜環(huán)境兩種情況下,對(duì)4種算法進(jìn)行三維路徑規(guī)劃的對(duì)比實(shí)驗(yàn),設(shè)定路徑起始點(diǎn)為(0, 0, 0),終止點(diǎn)為(8, 8, 8)。在簡(jiǎn)單環(huán)境下設(shè)置空間障礙物個(gè)數(shù)N=6,路徑節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)j=3,在復(fù)雜環(huán)境下設(shè)置空間障礙物個(gè)數(shù)N=11,路徑節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)j=4,且兩種情況下三次樣條插值點(diǎn)個(gè)數(shù)n均為100。由上述確定參數(shù)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)可知,標(biāo)志變量ω=1 000,限定范圍為[0.1, 7.9],且路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行升序排列。兩種路情況下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4及表1所示。

表1 兩種路徑情況下4種算法的最優(yōu)路徑情況對(duì)比Table 1 Comparison of optimal path conditions of four algorithms under two path conditions

圖4 兩種路徑情況下4種算法的路徑對(duì)比圖Fig.4 Path comparison of four algorithms under two path conditions

由圖4(a)～(b)可知,4種算法在兩種路徑情況下都能夠規(guī)劃出航天器最短三維路徑,但CPTDBA算法規(guī)劃出的路徑曲線更為光滑,路徑的曲折程度相對(duì)較小,特別是在復(fù)雜環(huán)境下該結(jié)果尤為明顯。

從圖4(c)～(d)中可以明顯的看出,在兩種環(huán)境下,本文提出的混合蝙蝠算法CPTDBA收斂速度均要優(yōu)于另外3種算法,并且最優(yōu)解也均小于另外3種算法,這是因?yàn)樵谌炙阉麟A段加入的自適應(yīng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)系數(shù)可以使算法的權(quán)重發(fā)生動(dòng)態(tài)變化,從而提高算法收斂速度以及尋優(yōu)能力。在圖4(c)～(d)中也可以看出CPTDBA算法能夠快速逼近最優(yōu)解,并且陷入局部最優(yōu)解的時(shí)間較短,能夠快速跳出局部最優(yōu),這是因?yàn)樵诰植克阉麟A段引入的柯西分布的逆累積分布函數(shù)避免了算法盲目搜索,從而提高了局部搜索能力,使得算法能夠及時(shí)跳出局部最優(yōu)。

在兩種路徑情況下,每種算法獨(dú)立運(yùn)行30次后,CPTDBA算法的最優(yōu)解分布較為均勻,在簡(jiǎn)單和復(fù)雜兩種環(huán)境下的變動(dòng)范圍分別為(0, 0.15)與(0, 0.35),而另外3種算法的最優(yōu)解分布變動(dòng)范圍較大,最小變動(dòng)范圍也在(0, 0.5)之間,在復(fù)雜環(huán)境下該結(jié)果更加明顯。這是因?yàn)镃PTDBA算法利用Circle混沌映射的方法對(duì)種群進(jìn)行了初始化,避免了初始種群分布不均勻的問題,擴(kuò)大了初始種群的多樣性,使得算法較為穩(wěn)定,進(jìn)一步提高了算法的尋優(yōu)性能。

如表1所示,每種算法獨(dú)立運(yùn)行30次后,兩種路徑情況下CPTDBA算法的路徑平均解分別為14.296 6 m、14.393 1 m,要小于另外3種算法,并且路徑最優(yōu)(最優(yōu)解小于其他算法)次數(shù)以及路徑最差(最優(yōu)解大于其他算法)次數(shù)均要優(yōu)于另外3種算法。這是因?yàn)椴捎玫碾S機(jī)分段的反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)一步擴(kuò)大了種群的多樣性,提高了尋優(yōu)精度與收斂速度,并且平衡了全局尋優(yōu)與局部探索的能力,因此能夠讓算法更加穩(wěn)定。

4.3 多目標(biāo)系統(tǒng)下的三維路徑規(guī)劃

多目標(biāo)系統(tǒng)的三維路徑在規(guī)劃時(shí)不僅要求航天器不能與空間障礙物發(fā)生碰撞,并且航天器與航天器之間也不能發(fā)生碰撞。針對(duì)上述要求,本文基于虛擬障礙物[23]思想,提出一種以插值點(diǎn)構(gòu)造虛擬障礙物進(jìn)行航天器多目標(biāo)三維路徑規(guī)劃的方法,該方法具體流程如下:

步驟1.首先利用上述算法規(guī)劃出第1個(gè)航天器的三維路徑,然后利用第1條路徑的插值點(diǎn),從第1個(gè)插值點(diǎn)開始,以m個(gè)插值點(diǎn)之間的距離為直徑,并以m個(gè)插值點(diǎn)間的中心坐標(biāo)為圓心,人工虛擬出第1個(gè)空間圓形障礙,其余n-m個(gè)插值點(diǎn)以此類推,可虛擬出M個(gè)障礙。

步驟2.此時(shí)環(huán)境中共有N+M個(gè)障礙,在此環(huán)境下再規(guī)劃出第2個(gè)航天器的三維路徑。由于第1個(gè)航天器路徑已經(jīng)人工虛擬成障礙物,所以規(guī)劃出的第2條路徑不會(huì)發(fā)生碰撞。

步驟3.基于上述思想,以此類推,規(guī)劃出多目標(biāo)系統(tǒng)中所有航天器的三維路徑。

多目標(biāo)系統(tǒng)同樣也是在簡(jiǎn)單和復(fù)雜兩種環(huán)境下對(duì)4種算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),不同的是多目標(biāo)系統(tǒng)在兩種環(huán)境下又根據(jù)起止點(diǎn)的異同分為四種情況,因此每種算法都有8種運(yùn)算環(huán)境。同理,算法中標(biāo)志變量為ω=1 000,限定范圍為[0.1, 7.9],路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行升序排列。在簡(jiǎn)單環(huán)境下設(shè)置空間障礙物個(gè)數(shù)N=4,在復(fù)雜環(huán)境下設(shè)置空間障礙物個(gè)數(shù)N=9,其余參數(shù)與單目標(biāo)系統(tǒng)相同。本文只給出復(fù)雜環(huán)境情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖,簡(jiǎn)單環(huán)境情況下只給出表格結(jié)果。4種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下所示:

從圖5中可以看出,4種算法都能夠根據(jù)要求規(guī)劃出相應(yīng)的三維路徑,并且多目標(biāo)之間未發(fā)生碰撞,路徑較為光滑,未出現(xiàn)過多曲折,這是因?yàn)榕鲎矃?shù)以及位置限定范圍取值較為合理,并且路徑節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了升序排列,降低了路徑發(fā)生彎曲折疊的可能性。而本文改進(jìn)的CPTDBA算法規(guī)劃出的路徑在躲避空間障礙物的同時(shí),更靠近不考慮碰撞而直接連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的最優(yōu)直線,路徑更加平滑,路徑整體彎曲程度小于其他3種算法,即使因躲避障礙物而引起的路徑彎曲程度也要比其他算法小。CPTDBA算法規(guī)劃出的30次路徑最優(yōu)解與其他3種算法對(duì)比來說變動(dòng)范圍相對(duì)較小,分布也相對(duì)均勻,這是因?yàn)槌跏蓟A段的Circle混沌映射、全局搜索階段的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)擾動(dòng)系數(shù)以及局部探索階段的柯西分布的逆累積分布函數(shù)使得算法種群具有多樣性,讓算法能夠快速向最優(yōu)目標(biāo)靠近,并且能夠提高算法整體尋優(yōu)性能以及穩(wěn)定性。

表2、表3是每種算法在不同路徑情況下獨(dú)立運(yùn)行30次的最優(yōu)路徑情況,從表中可以看出,本文提出的混合蝙蝠算法除了因隨機(jī)參數(shù)變動(dòng)過大導(dǎo)致少數(shù)機(jī)器人最優(yōu)解偏大以外,大部分的機(jī)器人平均解、總路徑平均解、總路徑解最優(yōu)(最優(yōu)解小于其他算法)次數(shù)以及總路徑解最差(最優(yōu)解大于其他算法)次數(shù)均要優(yōu)于另外3種算法,這是因?yàn)椴捎肅ircle混沌映射初始化種群以及引入隨機(jī)分段反向?qū)W習(xí)方法,提高了種群的多樣性,平衡了算法全局尋優(yōu)以及局部探索的能力,更有力的證明了本文提出的混合蝙蝠算法與三次樣條插值結(jié)合的航天器三維路徑規(guī)劃方法的可靠性。

表2 復(fù)雜路徑下4種算法的最優(yōu)路徑情況對(duì)比Table 2 Comparison of optimal path conditions of the four algorithms under complex paths

表3 簡(jiǎn)單路徑下4種算法的最優(yōu)路徑情況對(duì)比Table 3 Comparison of optimal path conditions of the four algorithms under simple paths

5 結(jié) 論

本文將混合蝙蝠算法與三次樣條插值結(jié)合研究了非合作交會(huì)與接近任務(wù)中近程導(dǎo)引段三維路徑最優(yōu)規(guī)劃問題,研究成果及結(jié)論總結(jié)如下:

1)混合蝙蝠算法能夠增強(qiáng)蝙蝠種群的多樣性,可以使算法更容易跳出局部最優(yōu),能夠平衡算法全局尋優(yōu)與局部探索的能力,并且可以讓算法收斂速度更快,結(jié)果更加穩(wěn)定;三次樣條插值算法能夠讓規(guī)劃出來的航天器三維路徑曲線更加光滑。

2)仿真結(jié)果表明,所提出的三維路徑規(guī)劃方法能夠在同等約束情況下使得航天器飛行路徑更短,從而保證航天器消耗的燃料變少,能夠解決近程導(dǎo)引段航天器三維路徑最優(yōu)規(guī)劃問題,提高了非合作交會(huì)與接近任務(wù)的安全性和自主性。