班永鑫，葉永強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 211106)

0 引 言

伴隨通信效率的提高和無人機(jī)制造成本的降低,無論在民用領(lǐng)域還是軍事領(lǐng)域,多無人機(jī)集群的協(xié)同可以勝任更多的工作,多機(jī)問題的研究也逐漸成為熱點(diǎn)。在信息化、智能化、無人化戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下,飛行器集群因具有作戰(zhàn)能力強(qiáng)、體系生存率高以及攻擊成本低等諸多優(yōu)勢(shì),受到世界各國的青睞[1-5]。這同時(shí)也對(duì)無人機(jī)集群系統(tǒng)的路徑規(guī)劃、障礙躲避等方面提出了更高的要求。如在俄烏戰(zhàn)場(chǎng)上,數(shù)十架甚至數(shù)百架自殺式無人機(jī)同步出擊的場(chǎng)景屢見不鮮,相對(duì)于單一戰(zhàn)斗部的常規(guī)彈藥,無人機(jī)集群攻擊具有進(jìn)攻成本低、防御成本高、攻擊面廣、目標(biāo)分散等優(yōu)勢(shì)。這些無人機(jī)集群系統(tǒng)由相當(dāng)多個(gè)簡(jiǎn)單的無人機(jī)和一些簡(jiǎn)單的作用規(guī)則及結(jié)構(gòu)拓?fù)浣M成,通過集群內(nèi)多機(jī)通訊協(xié)調(diào)來共同完成系統(tǒng)目標(biāo),其集群系統(tǒng)具有自主性、分布性、協(xié)調(diào)性。無人機(jī)系統(tǒng)的包含控制是一種編隊(duì)控制問題,其主要目標(biāo)是構(gòu)造單個(gè)無人機(jī)與其鄰居無人機(jī)之間的分布式控制協(xié)議,一部分領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)形成一個(gè)幾何隊(duì)形,其余的跟隨無人機(jī)最終進(jìn)入到由領(lǐng)導(dǎo)者形成的幾何隊(duì)形中,以實(shí)現(xiàn)距離保持、避免碰撞等控制要求。

目前,關(guān)于無人機(jī)集群包含控制的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)得到發(fā)展,文獻(xiàn)[2-3]分別提出多無人機(jī)編隊(duì)分組覆蓋路徑規(guī)劃算法和集群對(duì)抗多耦合任務(wù)智能決策方法,但對(duì)系統(tǒng)抗干擾的魯棒性能缺乏分析;文獻(xiàn)[4]建立了領(lǐng)導(dǎo)-跟隨編隊(duì)模型和無人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型,并設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)魯棒控制律對(duì)編隊(duì)外環(huán)控制產(chǎn)生的指令信號(hào)進(jìn)行跟蹤,但并沒有考慮集群通信拓?fù)淝袚Q的情形;文獻(xiàn)[5-6]均針對(duì)切換拓?fù)湎露鄼C(jī)編隊(duì)的跟蹤控制展開研究,但均未考慮到實(shí)際場(chǎng)景下的失效、故障等擾動(dòng)問題給系統(tǒng)的干擾和抑制問題。

無人機(jī)集群的合圍控制問題,其本質(zhì)是一種多個(gè)自主獨(dú)立的個(gè)體組成集群的包含控制,目前該領(lǐng)域已經(jīng)有諸如李雅普諾夫、圖論、線性矩陣不等式、解耦合、離散時(shí)間、魯棒H∞控制等較多研究。文獻(xiàn)[7]針對(duì)固定有向拓?fù)湎逻B續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的包含控制問題進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[8]研究了時(shí)變時(shí)滯二階無人機(jī)集群系統(tǒng)的包含控制問題,給出實(shí)現(xiàn)包含控制應(yīng)滿足的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、反饋增益和時(shí)滯上界。文獻(xiàn)[9]對(duì)比分析了有時(shí)滯和無時(shí)滯情況下多智能體網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[10]給出了具有非凸約束的二階分?jǐn)?shù)階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)包含控制的充分條件,但沒有給出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)算法。

當(dāng)內(nèi)部完全自由通訊的無人機(jī)集群出發(fā)時(shí),由于個(gè)體故障導(dǎo)致集群通訊失能的代價(jià)太大,因此集群必須有隨時(shí)變換通訊的能力以應(yīng)對(duì)個(gè)體的失效。變換通信拓?fù)湎聼o人機(jī)集群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜,文獻(xiàn)[11-12]解決了有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換問題,并將其拓展到非凸受限情況和任意有界大時(shí)滯情況。文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步分析了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與達(dá)成一致性的效率之間的關(guān)系,表明該關(guān)系趨向于正比例。文獻(xiàn)[14-15]在考慮時(shí)滯的情況下,研究了二階多智能體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定及切換情況下的分布式一致性問題,并給出系統(tǒng)收斂的一致性條件。

本文的主要貢獻(xiàn)是研究了變換通信拓?fù)湎露A無人機(jī)集群系統(tǒng)魯棒L2-L∞包含控制問題,并給出了相應(yīng)的控制算法。不同于切換拓?fù)涞那闆r,文獻(xiàn)[16-17]僅針對(duì)通信變化的情況進(jìn)行了研究;雖然文獻(xiàn)[18]研究了在隨機(jī)切換有符號(hào)交互拓?fù)涞木€性多智能體系統(tǒng)的魯棒均方一致控制問題,但不適用于系統(tǒng)非線性的情況。文獻(xiàn)[19]針對(duì)受參數(shù)不確定性和外部干擾影響的均勻線性多智能體系統(tǒng)(MaS),提出了兩種分層控制的魯棒控制設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[20]利用雙線性矩陣非等性式合成了線性參數(shù)變化多智能體系統(tǒng)鄰接矩陣的非線性規(guī)劃邊權(quán)值。文獻(xiàn)[19-20]中的參數(shù)不確定性不同于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換,因此不適用于變換通信拓?fù)涞那樾巍Ｎ墨I(xiàn)[14-15]中的分析方法也不能直接應(yīng)用于本文的無人機(jī)集群控制場(chǎng)景。為了解決變換通信拓?fù)淝闆r下的編隊(duì)魯棒包含控制問題,本文首先提出了一種針對(duì)跟隨者無人機(jī)的非線性投影控制算法;然后,通過引入模型變換,將原模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換,基于李雅普諾夫穩(wěn)定性方法及魯棒控制等理論知識(shí),利用微分方程求解方法,結(jié)合比較定理,分析單個(gè)無人機(jī)、無人機(jī)間的運(yùn)動(dòng)軌跡趨勢(shì),盡可能抑制外部擾動(dòng)給無人機(jī)集群系統(tǒng)帶來的振蕩,最終所有跟隨無人機(jī)收斂到由領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)構(gòu)成的物理區(qū)域。

1 系統(tǒng)模型及算法描述

本文所研究的無人機(jī)集群系統(tǒng)由M個(gè)無人機(jī)構(gòu)成,其均為二階連續(xù)結(jié)構(gòu),即n個(gè)跟隨無人機(jī)和M-n個(gè)領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī),其中假設(shè)先期到達(dá)指定位置,并在跟隨無人機(jī)到達(dá)前保持其位置固定。其中,跟隨無人機(jī)集群為F={1,2,…,n},領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群為YL={n+1,n+2,…,M},因此,跟隨無人機(jī)可分別表示為f1,f2,…,fn,領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)可分別表示為ln+1,ln+2,…,lM。每個(gè)智能體在圖G=G1∪G2∪…∪Gm中用節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行表示,Ni={j∈V(Gk)|(j,i)∈E(G),Ni=k∈{1,2,…,m}}表示圖Gk中節(jié)點(diǎn)i的鄰居集合,即無人機(jī)i在第k種拓?fù)溥B接狀態(tài)下能接收到Ni集合中各無人機(jī)的信息。此外,每個(gè)無人機(jī)基于Ni集合中所接收的鄰居無人機(jī)信息來更新當(dāng)前的狀態(tài)信息,這意味著并非每個(gè)智能體均能實(shí)時(shí)接收到Y(jié)L={n+1,n+2,…,M}中領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)的信息。

考慮每個(gè)跟隨無人機(jī)的二階動(dòng)力學(xué)模型如下:

(1)

式中:跟隨無人機(jī)i∈F={1,…,n},xi(t),vi(t)和ui(t)分別表示在t時(shí)刻第i個(gè)無人機(jī)的位置狀態(tài)、速度狀態(tài)和控制輸入;wi(t)是t時(shí)刻第i個(gè)無人機(jī)對(duì)應(yīng)的外部擾動(dòng),且wi(t)∈L2[0, ∞)。

考慮給定的凸包Y?RM-n為領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)位置狀態(tài)xln+1,xln+2,…,xlM的線性組合,可表示為如下形式:

(2)

本文旨在設(shè)計(jì)合適的分布式控制律,基于各無人機(jī)間的信息交互,使跟隨無人機(jī)群在位置狀態(tài)和速度狀態(tài)上進(jìn)入給定的凸包Y?RM-n中,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)包含控制。并且在所有跟隨無人機(jī)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群所形成凸包Y?RM-n的同時(shí),無人機(jī)集群系統(tǒng)需要滿足的L2-L∞性能指標(biāo)如下:

(3)

(4)

式中:c1為給定的正實(shí)數(shù);PY(η)表示向量η在非空閉凸集Y上的最小投影;y(ηi(t))描述了無人機(jī)集群系統(tǒng)中無人機(jī)i位置狀態(tài)或速度狀態(tài)到非空閉凸集Y的最大距離;y(ηi(t))反映出外部擾動(dòng)w(t)對(duì)于各無人機(jī)進(jìn)入給定凸包Y?RM-n的影響。

本文旨在設(shè)計(jì)合適的分布式控制律,實(shí)現(xiàn)無人機(jī)集群變通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的魯棒L2-L∞包含控制,即跟隨無人機(jī)在位置和速度狀態(tài)上都進(jìn)入給定的非空閉凸包Y?RM-n中,且滿足L2-L∞性能指標(biāo)。

因此,本文設(shè)計(jì)的分布式控制律如下:

βi(t)[xi(t)-PY(xi(t))]

(5)

為便于后續(xù)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解耦分析,對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行變換,其變換算法如式(6)所示:

(6)

(7)

因此,后續(xù)將轉(zhuǎn)而討論控制律(5)使模型轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)(7)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群所形成的凸包進(jìn)而實(shí)現(xiàn)包含控制,并將進(jìn)一步探討系統(tǒng)是否滿足L2-L∞性能指標(biāo)。

2 主要定理

假設(shè)1.針對(duì)通信拓?fù)淝袚Q的情形,考慮一個(gè)非空閉集連續(xù)時(shí)間序列[ts,ts+1),s∈N,即s=0,1,…,n。式中:t0=0, 0≤ts+1-ts≤T,T為正實(shí)數(shù)。在每個(gè)時(shí)間序列[ts,ts+1)中,包含如下時(shí)間子序列:

[ts0,ts1), [ts1,ts2),…,[tsm-1,tsm),

ts0=ts,tsm=ts+1

當(dāng)m≥1時(shí),tsd+1-tsd=λ,d=0,1,…,m-1成立,λ為正實(shí)數(shù)。通信切換拓?fù)鋱D在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)tsd進(jìn)行切換,且在時(shí)間間隔[tsd,tsd+1)維持當(dāng)前通信形式。

在通信拓?fù)浼螱中,每個(gè)時(shí)間間隔[tsd,tsd+1)內(nèi),每個(gè)跟隨無人機(jī)i至少有一條與領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)相連的通路,且無人機(jī)ij能接收到Nij集合中各無人機(jī)的信息(不存在孤立點(diǎn)),即αijif(tsd)>0。亦即每個(gè)時(shí)間間隔[tsd,tsd+1)內(nèi),跟隨無人機(jī)能夠直接或間接地獲取領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)的狀態(tài)信息。

(8)

(1)當(dāng)u(x)為右行最小解或v(x)為右行最大解時(shí),那么在x∈[x0,b)區(qū)間,u(x)≤v(x)成立;在x∈(a,x0]區(qū)間,u(x)≥v(x)成立。

(2)當(dāng)u(x)為左行最大解或v(x)為左行最小解時(shí),那么,在x∈[x0,b)區(qū)間,u(x)≤v(x)成立;在x∈(a,x0] 區(qū)間,u(x)≥v(x)成立。

引理4.假設(shè)有矩陣M,A,B,及與時(shí)間參數(shù)t相關(guān)的向量δ,w,如果對(duì)式V=δTMδ存在以下關(guān)系:

(9)

則上式函數(shù)V的對(duì)t導(dǎo)數(shù)可以表示如下:

(Aδ+Bw)=δT(ATM+MA)δ+wTBTMδ+δTBw

(10)

引理5.對(duì)于無人機(jī)集群系統(tǒng)(7),基于假設(shè)2,其系統(tǒng)的位置狀態(tài)對(duì)于極小的時(shí)間間隔Δt,滿足以下不等式:

||xi(t+Δt)-PY(xi(t+Δt))||≤(1-kiΔt)·

(11)

其系統(tǒng)的速度狀態(tài)滿足:

(12)

式中:

(13)

證.針對(duì)模型(1)引入ki轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)(7),基于導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),可得下式成立:

(14)

即有

(15)

式中:ki=bi+ri為正實(shí)數(shù),其詳細(xì)定義與式(6)一致,且有1>1-kiΔt>0, 1>kiΔt>0,且(1-kiΔt)+kiΔt=1。根據(jù)式(15),結(jié)合引理2,可以推導(dǎo)得出:

||xi(t+Δt)-PY(xi(t+Δt))||≤(1-kiΔt)·

(16)

同理,基于模型轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)(7)及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),可得式(17)成立:

PY(xi(t))+0

(17)

也即,有式(18)成立:

(βi(t)/ki)ΔtPY(xi(t))]

(18)

(19)

在假設(shè)2中,有:

(20)

可推導(dǎo)出即有式(21)成立:

(21)

此外,通過觀察式(21),可得出:

(22)

由于PY(xi(t))∈Y,基于投影算子的性質(zhì):向量xi(t)到非空閉凸集Y的一次投影與二次投影相等,即有PY(xi(t))-PY(PY(xi(t)))=0成立,根據(jù)式(18)、(21)和(22),結(jié)合引理2,可以推導(dǎo)得出系統(tǒng)的速度狀態(tài)項(xiàng)性質(zhì)如式(23):

a2i||xi(t)-PY(xi(t))||+a3ij||xj(t)-

PY(xj(t))||

(23)

定理1.在變換通信拓?fù)鋱DG中,針對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(1),通過設(shè)計(jì)合適的控制律(5),如果存在正定矩陣M使下式成立:

(24)

式中:c1x,c1v為正常數(shù);L為通信拓?fù)鋱D所對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣;A,B是與控制律(5)參數(shù)有關(guān)的對(duì)角陣。對(duì)A,B的詳細(xì)定義如下

(25)

式中:Λ1,Λ2,Λ3,Λ4分別定義如下

(26)

證.從wi(t)=0和wi(t)≠0兩種情況進(jìn)行分析,首先分析wi(t)≠0的情形如下:

(1)當(dāng)擾動(dòng)wi(t)≠0時(shí),分析多系統(tǒng)性能指標(biāo),獲得滿足L2-L∞性能指標(biāo)的條件。

(27)

(28)

通過以上變換,完成了對(duì)原有非線性系統(tǒng)的線性轉(zhuǎn)換,系統(tǒng)轉(zhuǎn)換后如式(29)所示:

(29)

基于正定矩陣M,此時(shí),構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)如下:

V1(t)=λT(t)Mλ(t)

(30)

根據(jù)引理4,結(jié)合定義(25)、(26),對(duì)式(30)李雅普諾夫函數(shù)V1(t)進(jìn)行求導(dǎo),可得:

(31)

基于式(31),利用L2-L∞性能指標(biāo),構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)J(w)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。構(gòu)造的性能指標(biāo)函數(shù)J(w)如下:

(32)

式中:外部擾動(dòng)w(t)=[w1(t),…,wn(t)]T∈L2[0, ∞)。由于在零初始條件下,存在V1(0)=0成立。因此,式(32)可化為如下形式:

(33)

(34)

(35)

(1-qi(t))<γM,

(1-qi(t))λ(t)<γMλT(t)λ(t),

yT(t)y(t)<γV1(t)

(36)

(37)

因此,對(duì)于任意外部擾動(dòng)w(t)∈L2[0, ∞)≠0,存在:

(38)

綜合上述分析,若系統(tǒng)穩(wěn)定,所設(shè)計(jì)的控制律(5)能夠使依照動(dòng)力學(xué)方程(1)運(yùn)動(dòng)的跟隨無人機(jī)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群所形成的閉凸包中,并且滿足L2-L∞性能指標(biāo)。

(2)當(dāng)擾動(dòng)wi(t)=0時(shí),分析系統(tǒng)性能指標(biāo),獲得滿足L2-L∞性能指標(biāo)的系統(tǒng)穩(wěn)定條件。即對(duì)于系統(tǒng)模型(1),置wi(t)=0,構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)如下:

(39)

根據(jù)定義可知,李雅普諾夫函數(shù)V2(t)≥0。

基于模型轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)(7)的位置狀態(tài)項(xiàng)(12)、速度狀態(tài)項(xiàng)式(13),可得:ξk(t+Δt)-PY(ξk(t+Δt))是ξk(t)-PY(ξk(t))的凸組合。再結(jié)合引理2,有:

PY(ξk(t))||

(40)

基于式(40),可得V2(t+Δt)≤V2(t),即李雅普諾夫函數(shù)V2(t)隨著時(shí)間t的增長是非增的。根據(jù)式(39)對(duì)李雅普諾夫函數(shù)V2(t)的定義,可得V2(t)≥0,因此,V2(t)有界。

另,結(jié)合式(12),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,有

(41)

同時(shí),根據(jù)式(13)及導(dǎo)數(shù)的定義,可得:

(42)

式中:

基于式(40),李雅普諾夫函數(shù)V2(t)隨著時(shí)間t的增長是非增的,即有:

||ξk(t+Δt)-PY(ξk(t+Δt))||≤V2(t)

(43)

基于以上的非增特性,分析系統(tǒng)的收斂性,只需要研究能夠接收到跟隨無人機(jī)if信息的無人機(jī)ij在位置狀態(tài)和速度狀態(tài)上的變化趨勢(shì),即分析推導(dǎo)無人機(jī)間的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。首先分析無人機(jī)if自身的位置和速度狀態(tài)到凸包的距離趨勢(shì)如下:

在時(shí)間t∈[tsd,tsd+1)內(nèi),基于該初始條件,根據(jù)位置和速度狀態(tài)因子式(41)和(42),可得:

(44)

βif為在時(shí)間t∈[tsd,tsd+1)間隔內(nèi)所有的βif(t)取值中的最小值,通過微分方程的求解方法,結(jié)合比較定理,對(duì)式(44)進(jìn)行求解,得到:

(45)

(46)

-kif||xif(t)-PY(xif(t))||+

(47)

(48)

接下來,需要研究可以從跟隨無人機(jī)if接收信息的無人機(jī)ij的位置和速度狀態(tài)變化,即無人機(jī)之間的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。當(dāng)αijif(t)>0,假設(shè)αijif(t)有下界αijif>0,那么根據(jù)式(42)可得出:

(49)

結(jié)合微分方程解的性質(zhì),可以得出:

(50)

(51)

同樣地,通過(41)結(jié)合微分方程的解,可得:

(52)

(53)

根據(jù)假設(shè)1,在圖G中,在每個(gè)時(shí)間間隔[tsd,tsd+1)內(nèi),每個(gè)跟隨無人機(jī)i均能直接或間接接收到領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)的信息,那么意味著,在時(shí)間間隔[tsd,tsd+1)內(nèi),至少有一個(gè)無人機(jī)能接收到領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)的信息,而存在無人機(jī)i2能夠接收到領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)或無人機(jī)i1的信息,那么對(duì)于φ1,φ2∈(0, 1),有下式成立:

(54)

由于隨著時(shí)間增長,跟隨無人機(jī)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)變化趨勢(shì)始終是非增的,因此,在時(shí)間序列[ts,ts+1)中,時(shí)間t→∞時(shí),式(55)成立:

(55)

即在時(shí)間段t∈[tsd,tsd+1)內(nèi),當(dāng)跟隨無人機(jī)if能夠接收到領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)il的變化趨勢(shì)信息時(shí),或者跟隨無人機(jī)if能夠接收到鄰居跟隨無人機(jī)if的變化趨勢(shì)信息時(shí),所有能收到信息的無人機(jī)均會(huì)收斂至凸包Y,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)包含控制。

綜合上述分析,控制律(5)能夠使依照動(dòng)力學(xué)方程(1)運(yùn)動(dòng)的跟隨無人機(jī)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群所形成的閉凸包中,并且滿足L2-L∞性能指標(biāo),即:

3 仿真校驗(yàn)

為驗(yàn)證理論分析的正確性,由4臺(tái)固定的領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)和6臺(tái)跟隨無人機(jī),共同組成無人機(jī)集群系統(tǒng),其中領(lǐng)導(dǎo)者無人機(jī)群的位置形成一個(gè)凸區(qū)域。對(duì)跟隨無人機(jī)集群位置與速度進(jìn)行仿真,加入所設(shè)計(jì)的控制律(5)和擾動(dòng),結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的控制算法能夠使符合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的(1)跟隨無人機(jī)集群全部進(jìn)入由領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)群形成的區(qū)域Y內(nèi),并且滿足L2-L∞魯棒控制性能指標(biāo)。

基于上述理論分析結(jié)果,仿真設(shè)置控制算法(5)中參數(shù)如下:

pi=5,αi(t)=0.8,βi(t)=0.5

(56)

且所有跟隨無人機(jī)的初始位置狀態(tài)如下:

(57)

初始速度狀態(tài)如下:

(58)

同時(shí),所有靜止領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)群的位置狀態(tài)如下:

(59)

令k=4,即系統(tǒng)進(jìn)行了4次切換,仿真給出各跟隨無人機(jī)之間的拓?fù)鋱D集合G={G1, G2, G3, G4}如下:

同樣地,根據(jù)通信拓?fù)鋱D1,取通信拓?fù)鋱D中所有邊的權(quán)值為0.8,即αij=0.8,并由此可計(jì)算出無人機(jī)集群系統(tǒng)中通信拓?fù)鋱D所對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣集L。

圖1 切換通信拓?fù)湎到y(tǒng)圖Fig.1 Communication topological graph

為了驗(yàn)證證明過程中wi(t)=0的情形,先進(jìn)行無擾動(dòng)情況下無人機(jī)集群系統(tǒng)的仿真,跟隨無人機(jī)的位置狀態(tài)、速度狀態(tài)和系統(tǒng)輸出能量指標(biāo)仿真結(jié)果如圖2～4所示。

圖2 位置狀態(tài)曲線(無擾動(dòng))Fig.2 Curve of position states (without disturbance)

圖3 速度狀態(tài)曲線(無擾動(dòng))Fig.3 Curve of velocity states (without disturbance)

圖4 投影誤差曲線(無擾動(dòng))Fig.4 Projection error curve (without disturbance)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制律(5)作用于動(dòng)力學(xué)方程(1)系統(tǒng)的L2-L∞性能指標(biāo)滿足情況,設(shè)計(jì)外部擾動(dòng)wi(t)為能量有限、按一定時(shí)間間隔出現(xiàn)的脈沖信號(hào),外部擾動(dòng)wi(t)的具體情況見圖5。

圖5 外部擾動(dòng)(基于變拓?fù)?Fig.5 External turbulence (switching topology)

當(dāng)上述所設(shè)定的外部擾動(dòng)wi(t)作用于變換通信拓?fù)涞亩A無人機(jī)集群系統(tǒng)時(shí),跟隨無人機(jī)的位置狀態(tài)、速度狀態(tài)和L2-L∞性能指標(biāo)仿真結(jié)果見圖6、圖7、圖8,其反應(yīng)了所設(shè)計(jì)的控制律(5)對(duì)由6個(gè)滿足二階動(dòng)力學(xué)模型(1)的無人機(jī)所構(gòu)成無人機(jī)集群系統(tǒng)的控制效果。在圖6和圖7中,所有跟隨無人機(jī)在位置狀態(tài)和速度狀態(tài)都最終進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)所形成的凸包,即解決了無人機(jī)集群系統(tǒng)的包含控制問題;在圖8中,可以觀察到代表包圍控制效果的投影誤差逐漸減小,干擾得到抑制,系統(tǒng)滿足L2-L∞性能指標(biāo):

圖6 位置狀態(tài)曲線(變拓?fù)涞挠袛_動(dòng)情形)Fig.6 Curve of position states (disturbance case of switching topology)

圖7 速度狀態(tài)曲線(變拓?fù)涞挠袛_動(dòng)情形)Fig.7 Curve of velocity states (disturbance case of switching topology)

圖8 投影誤差的變化曲線(變拓?fù)?Fig.8 Variation curve of the projection error (switching topology)

通過分析圖6～8可以得出:所設(shè)計(jì)的控制律(5)能夠使符合動(dòng)力學(xué)模型(1)的所有跟隨無人機(jī)位置狀態(tài)和速度狀態(tài)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)集群形成的閉凸包Y內(nèi),并且滿足L2-L∞性能指標(biāo)。因此,基于MATLAB/SIMULINK平臺(tái)的仿真結(jié)果與定理1分析推導(dǎo)的結(jié)果是一致的。

4 結(jié) 論

本文研究了具有通訊變換特點(diǎn)的無人機(jī)集群系統(tǒng)的魯棒控制控制問題,基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,分析了外部干擾不確定甚至未知的工作環(huán)境疊加通信拓?fù)淝袚Q對(duì)原系統(tǒng)的影響。理論分析結(jié)果和數(shù)值仿真的結(jié)果均表明,在常見的變換通信拓?fù)鋾r(shí)間序列中,在僅有部分跟隨無人機(jī)能夠得到領(lǐng)導(dǎo)者信息的狀態(tài)下,其他無人機(jī)僅僅需要用到部分鄰近的同伴無人機(jī)信息,即使是間接獲得領(lǐng)導(dǎo)者的信息,也可以通過合適的控制律(5),來調(diào)整自身位置狀態(tài)、速度狀態(tài),最終使無人機(jī)系統(tǒng)中所有跟隨無人機(jī)進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)無人機(jī)群的合圍凸區(qū)域里,且證明了該方法具有L2-L∞魯棒性,該工作在無人機(jī)集群理論研究和實(shí)際的集群控制系統(tǒng)中都有重要的應(yīng)用價(jià)值。