劉 磊，劉 也，程 潏，劉 勇

(1. 北京航天飛行控制中心航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094；2. 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094；3. 北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

0 引 言

作為人類開發(fā)宇宙和星際移民的前哨,地月空間目前受到高度關(guān)注,主要航天大國(guó)均制定了面向未來地月空間開發(fā)的探測(cè)計(jì)劃,如美國(guó)正在實(shí)施“阿爾忒彌斯”(Artemis)重返月球計(jì)劃,著力打造可以自由往返地月空間以及前往火星的“門戶”空間站[1]。中國(guó)于2020年底成功實(shí)現(xiàn)月球采樣返回,此前已完成了日地和地月平動(dòng)點(diǎn)飛行、小行星飛越探測(cè)、月球背面著陸探測(cè)等創(chuàng)新性任務(wù)[2-4],目前正在開展月球探測(cè)四期工程任務(wù),后續(xù)將建設(shè)國(guó)際月球科研站,并積極推進(jìn)載人登月任務(wù)。同時(shí),有學(xué)者提出了開發(fā)利用地月空間的“地月空間經(jīng)濟(jì)區(qū)”概念,涉及航班化地月空間運(yùn)輸體系、空間資源探測(cè)與開發(fā)體系和空間基礎(chǔ)設(shè)施體系等[5]。后續(xù)這些地月空間開發(fā)和利用中涉及大量地月往返、交會(huì)對(duì)接、著陸、對(duì)接等飛行任務(wù),由此引發(fā)對(duì)導(dǎo)航定位的強(qiáng)烈需求。月球和深空探測(cè)任務(wù)的導(dǎo)航定位,當(dāng)前依賴于地面測(cè)控網(wǎng),其優(yōu)點(diǎn)在于地面計(jì)算處理能力較強(qiáng),可以采用多種類型測(cè)量手段以確保精度和可靠性,缺點(diǎn)在于需要建立分布廣泛的地面觀測(cè)臺(tái)站,同時(shí),深空探測(cè)任務(wù)通信延遲較大,某些特殊操控需求難以及時(shí)響應(yīng),任務(wù)長(zhǎng)期運(yùn)行也會(huì)造成地面測(cè)控資源緊張、人員工作負(fù)荷大等問題。隨著星載設(shè)備性能的提高,可以有效緩解上述問題的空間自主導(dǎo)航定位技術(shù)得以充分發(fā)展和逐步應(yīng)用。

目前,月球和深空探測(cè)任務(wù)的自主導(dǎo)航定位方法主要有慣性導(dǎo)航、視覺導(dǎo)航和天文導(dǎo)航[6-9],綜合精度、性能和可靠性而言,衛(wèi)星導(dǎo)航應(yīng)是地月空間自主導(dǎo)航定位的首選手段。但是,常見的地球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng),一方面受限于距離難以支持月球或深空探測(cè)器的導(dǎo)航定位,另一方面若采用傳統(tǒng)的星星跟蹤測(cè)量手段,導(dǎo)航衛(wèi)星與用戶星聯(lián)合定軌時(shí)存在秩虧問題造成絕對(duì)位置無法解算[10]。2005年,Hill[11-12]提出了聯(lián)合星際衛(wèi)星自主導(dǎo)航(LiAISON)概念,在三體引力場(chǎng)中實(shí)現(xiàn)了僅利用星間測(cè)量的絕對(duì)定位[13-14],從而有效解決了上述問題,引起了廣泛關(guān)注?；贚iAISON技術(shù),Parker等[15-16]研究了環(huán)月衛(wèi)星的導(dǎo)航問題,將地面站數(shù)量從6個(gè)減少為3個(gè)且有效提高了導(dǎo)航性能,Fujimoto等[17]研究了GEO衛(wèi)星的導(dǎo)航,Zhang等[18]研究了地月L1、L2、L4和L5星座的導(dǎo)航性能,Turan等[19-20]研究了地月L2衛(wèi)星與環(huán)月橢圓凍結(jié)軌道之間的導(dǎo)航,以及地月小衛(wèi)星編隊(duì)的自主軌道確定性能,Wang等[21]研究了DRO與地球軌道、地月轉(zhuǎn)移軌道和環(huán)月軌道的導(dǎo)航,Gao等[22]研究了地月halo軌道與DRO軌道的導(dǎo)航,王丹丹[23]和杜蘭等[24]研究了基于月球平動(dòng)點(diǎn)軌道的自主定軌,Zhang等[25]研究了平動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)航星座的性能,熊歡歡[26]研究了平動(dòng)點(diǎn)衛(wèi)星與地球?qū)Ш叫l(wèi)星聯(lián)合自主定軌。這些工作從導(dǎo)航星和用戶星軌道類型、測(cè)量數(shù)據(jù)類型、測(cè)量誤差等方面,較為全面地研究了LiAISON導(dǎo)航技術(shù)在不同應(yīng)用場(chǎng)景和條件下的性能,有力推動(dòng)了該技術(shù)在未來任務(wù)中的潛在應(yīng)用。2022年6月28日發(fā)射的美國(guó)Artemis任務(wù)驗(yàn)證星CAPSTONE前往地月NRHO軌道與環(huán)月衛(wèi)星LRO開展LiAISON導(dǎo)航技術(shù)驗(yàn)證[27],從而將該技術(shù)推向?qū)嶋H應(yīng)用。因此,LiAISON有望成為未來地月空間自主導(dǎo)航定位的主要技術(shù)手段。

從研究現(xiàn)狀可見,作為研究對(duì)象的用戶星集中于地心或者月心軌道,對(duì)于地月空間任務(wù)的重要軌道類型——地月轉(zhuǎn)移軌道涉及非常少。為此,文章面向未來地月空間任務(wù)的自主導(dǎo)航定位需求,研究了地月halo導(dǎo)航星和地月空間衛(wèi)星的聯(lián)合自主定軌,建立了聯(lián)合自主定軌模型,討論了定軌系統(tǒng)的可觀性,其中,導(dǎo)航星位于地月平動(dòng)點(diǎn)halo軌道。為了研究和對(duì)比地月halo導(dǎo)航星對(duì)地月空間任務(wù)典型軌道的支撐能力,用戶星軌道包括低地球軌道(LEO)、地月轉(zhuǎn)移軌道(CTT)、環(huán)月低軌道(LLO),重點(diǎn)分析不同誤差條件下的聯(lián)合自主定軌精度,為L(zhǎng)iAISON技術(shù)在后續(xù)月球和深空探測(cè)任務(wù)中的應(yīng)用提供技術(shù)支撐。

1 聯(lián)合自主定軌模型

LiAISON利用導(dǎo)航星和用戶星的星間測(cè)量(SST)數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合定軌解算[11-14]。在利用SST的軌道確定方面,美國(guó)于20世紀(jì)60年代考慮利用GEO衛(wèi)星作為跟蹤站,Vonbun于1967年提出利用同步衛(wèi)星與其他衛(wèi)星的星間測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行軌道確定,分析了利用GEO衛(wèi)星ATS-6和GEOS-3與NIMBUS-6衛(wèi)星的星間測(cè)量定軌精度[28-29]。理論上,SST可以提供導(dǎo)航星和用戶星軌道的大小、形狀和相對(duì)方位信息,但是二體軌道的絕對(duì)方位并不唯一,需要地基測(cè)量配合才能實(shí)現(xiàn)自主定軌。否則,要求其中一顆衛(wèi)星的軌道大小、形狀和空間方位必須唯一,空間中的太陽(yáng)輻射壓、非對(duì)稱引力場(chǎng)、第三體引力均可使得軌道滿足上述要求,因此,LiAISON通過將一顆衛(wèi)星放置于非對(duì)稱引力場(chǎng)下的平動(dòng)點(diǎn)軌道,利用導(dǎo)航星和用戶星間的SST測(cè)量數(shù)據(jù),聯(lián)合解算二者運(yùn)動(dòng)以實(shí)現(xiàn)自主定軌,SST數(shù)據(jù)類型可以為距離、距離變化率或角度,或者同時(shí)使用多種數(shù)據(jù)以實(shí)現(xiàn)自主定軌。

采用SST進(jìn)行地月halo導(dǎo)航星和用戶星的聯(lián)合自主軌道確定如圖1所示。

圖1 地月空間衛(wèi)星聯(lián)合自主定軌Fig.1 LAOD of satellites in the cislunar space

設(shè)地月會(huì)合坐標(biāo)系中,地月halo導(dǎo)航星和用戶星的位置向量分別為rs和ru,二者之間的距離ρ為

ρ=||ru-rs||=

(1)

設(shè)自主定軌的狀態(tài)量X為

(2)

可得非線性狀態(tài)方程

(3)

(4)

(5)

于是,可得方程的雅克比矩陣A(t)為

(6)

式中:03,I3和03×6依次為三維全0矩陣、三維單位矩陣、3行6列的0矩陣。

進(jìn)而,線性化式(3)得到狀態(tài)方程

ΔX=Φ(t,t0)ΔX0

(7)

式中:ΔX0和ΔX分別為初始時(shí)刻t0和時(shí)刻t的狀態(tài)偏差,Φ(t,t0)為t0至t的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,可根據(jù)式(6)求解[30]。

以ρ作為測(cè)量量Y,得測(cè)量方程

ΔY=HΔX

(8)

式中:觀測(cè)矩陣H為

(9)

其中,01×3為三維全0行向量。

考慮測(cè)距誤差和衛(wèi)星初始軌道誤差,且設(shè)二者均為零均值正態(tài)分布隨機(jī)誤差,其中,測(cè)距標(biāo)準(zhǔn)差為σρ,用戶星和導(dǎo)航星的初始軌道誤差相同,位置和速度標(biāo)準(zhǔn)差分別為σsp和σsv。因此,測(cè)量噪聲R和初始協(xié)方差陣P0為

(10)

(11)

狀態(tài)噪聲陣的位置和速度分量根據(jù)試算分別取10-20和10-26。基于狀態(tài)方程和測(cè)量方程,采用最小二乘批處理或者擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)方法[30],可以實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)航星和用戶星運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的聯(lián)合估計(jì),其中濾波方法可以滿足實(shí)時(shí)或近實(shí)時(shí)處理需求。

2 聯(lián)合自主定軌可觀性

halo導(dǎo)航星與用戶星聯(lián)合自主定軌的可行性涉及到系統(tǒng)可觀性問題,即需要狀態(tài)方程和測(cè)量方程組成的系統(tǒng)完全可觀,也即利用時(shí)刻t之前的觀測(cè)量可以唯一確定軌道。

(12)

式中:權(quán)矩陣W為各測(cè)量噪聲方差的倒數(shù)組成的對(duì)角陣。

式中的矩陣Λ即定軌系統(tǒng)的信息陣,只有Λ正定時(shí),系統(tǒng)才完全可觀[14,30-31]。因此,可利用Λ的正定性判斷系統(tǒng)可觀性,從而確定自主定軌的可行性。根據(jù)Λ的定義,若觀測(cè)矩陣H滿秩,則可以保證Λ的正定性。

為了衡量系統(tǒng)的定軌性能,利用Λ的條件數(shù)作為定軌系統(tǒng)的可觀測(cè)度η

η=lg[cond(Λ)]

(13)

理論上,η數(shù)值越大,系統(tǒng)對(duì)誤差越敏感,相應(yīng)定軌性能越差。實(shí)際應(yīng)用中,最終定軌精度受系統(tǒng)可觀性和測(cè)量誤差等因素共同影響,針對(duì)不同測(cè)量誤差條件進(jìn)行數(shù)值分析,可以獲取精確量化結(jié)果。

3 數(shù)值分析

3.1 仿真條件

設(shè)地月導(dǎo)航星位于地月L2點(diǎn)北族halo軌道,幅值A(chǔ)z約29 000 km,導(dǎo)航星軌道在白道面上的投影與地月連線存在2個(gè)交點(diǎn),定義距離地心較近的交點(diǎn)處軌道相位為0°,另一個(gè)交點(diǎn)的軌道相位為180°。若只利用1顆導(dǎo)航星,設(shè)其初始軌道相位為0°,若利用2顆導(dǎo)航星,則從實(shí)際應(yīng)用考慮,設(shè)第2個(gè)導(dǎo)航星的初始軌道相位為180°,且為了降低任務(wù)成本和復(fù)雜程度,將2顆導(dǎo)航星布設(shè)于同一halo軌道。

用戶星的LEO和LLO分別為地心和月心圓軌道,CTT轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt為5天,各顆星的升交點(diǎn)赤經(jīng)可根據(jù)用戶需要設(shè)定,軌道參數(shù)如表1所示。

表1 用戶星軌道參數(shù)Table 1 Orbit parameters of the user satellites

取典型誤差組合如表2所示,其中σsp取“1 000/10 000”的情況,前者為L(zhǎng)EO和LLO的初始位置誤差,后者為CTT的初始位置誤差。

表2 測(cè)量誤差和初始軌道誤差Table 2 Errors of measurement and the initial orbit of the navigation and user satellites

導(dǎo)航星對(duì)LEO和LLO的連續(xù)觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為1天,對(duì)CTT的連續(xù)觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為5天,測(cè)量間隔均為60 s。采用蒙特卡洛方法進(jìn)行自主定軌分析,各個(gè)誤差組合均仿真100次,統(tǒng)計(jì)全部仿真結(jié)果的平均值作為用戶星和導(dǎo)航星的聯(lián)合定軌位置誤差ΔRus和ΔRns。

3.2 可觀性分析

表3 聯(lián)合自主定軌系統(tǒng)可觀性Table 3 Observability of linked autonomous orbit determination

由表3可見,三種情況下的觀測(cè)矩陣均滿秩,說明定軌系統(tǒng)可觀,可以利用halo導(dǎo)航星與各用戶星聯(lián)合自主定軌。在可觀測(cè)度上,導(dǎo)航星與LEO組合的可觀測(cè)度最低,與CTT組合則最高,說明導(dǎo)航星與LEO聯(lián)合自主定軌性能最好,與CTT聯(lián)合自主定軌結(jié)果相對(duì)較差。

3.3 單導(dǎo)航星定軌精度

(1)halo-LEO

在僅利用單顆halo導(dǎo)航星的情況下,導(dǎo)航星與LEO的聯(lián)合自主定軌結(jié)果如圖2所示,圖中數(shù)字表示誤差組合的序號(hào),相應(yīng)曲線即該誤差組合下的定軌結(jié)果。同時(shí),給出各個(gè)采樣時(shí)刻的定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)如表4所示。

表4 halo-LEO聯(lián)合自主定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)Table 4 Average position errors of the halo-LEO LAOD

圖2 halo-LEO聯(lián)合自主定軌結(jié)果Fig.2 Results of the halo-LEO LAOD

由圖2和表4可見,LEO的定軌誤差明顯小于導(dǎo)航星,前者基本優(yōu)于50 m,后者基本可優(yōu)于400 m。

至于測(cè)量誤差和初始軌道誤差的影響,首先,最大誤差組合8的結(jié)果顯然最差,最小誤差組合1的結(jié)果最好,這符合直觀認(rèn)識(shí),后續(xù)所有仿真也與此相同,不再贅述。其次,重點(diǎn)分析誤差組合2～7對(duì)定軌結(jié)果的影響。對(duì)于LEO,誤差組合2和3結(jié)果較好(9 h后均優(yōu)于10 m),組合4～7稍差(9 h后均優(yōu)于40 m),其中組合6在初始階段最差;對(duì)于halo,誤差組合2結(jié)果最好(9 h后均優(yōu)于100 m),組合3、5和6的結(jié)果稍差(9 h后優(yōu)于300 m),組合4和7結(jié)果相對(duì)最差(9 h后優(yōu)于500 m)。

上述結(jié)果表明,測(cè)量誤差是LEO和halo定軌誤差的主要影響因素,對(duì)LEO的影響尤其明顯。初始軌道誤差是重要的影響因素,其中導(dǎo)航星初始位置誤差對(duì)其定軌結(jié)果影響較大。

此外,嘗試了兩個(gè)地心圓軌道之間的測(cè)距自主定軌,定軌結(jié)果差于上述結(jié)果。

(2)halo-CTT

在僅利用單顆halo導(dǎo)航星的情況下,導(dǎo)航星與CTT的聯(lián)合自主定軌結(jié)果如圖3所示,由于誤差組合4和8明顯大于其他結(jié)果,為了清晰起見,圖3中略去相應(yīng)結(jié)果。各個(gè)采樣時(shí)刻的定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)如表5所示。

表5 halo-CTT聯(lián)合自主定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)Table 5 Average position errors of the halo-CTT LAOD

圖3 halo-CTT聯(lián)合自主定軌結(jié)果Fig.3 Results of the halo-CTT LAOD

由圖3和表5可見,導(dǎo)航星的定軌誤差小于CTT,雖然二者最終定軌結(jié)果相當(dāng),但是絕大多數(shù)時(shí)間內(nèi)后者基本為前者的3～4倍。至于測(cè)量誤差和初始軌道誤差的影響,各誤差組合對(duì)CTT和halo的定軌結(jié)果影響大致相同,誤差組合2和3的結(jié)果較好且二者比較接近,誤差組合5～7的結(jié)果較差,且6和7的結(jié)果較為近似。

上述結(jié)果表明,測(cè)量誤差是CTT和halo定軌誤差的主要影響因素,且影響程度明顯大于初始軌道誤差,除非初始軌道誤差過大導(dǎo)致結(jié)果較差,如誤差組合4。

此外,將定軌結(jié)果與初始軌道誤差相比,僅在誤差組合3和7下整個(gè)飛行過程中CTT的軌道精度有所改善,但是導(dǎo)航星的軌道精度在誤差組合3、4、7和8下均得到明顯提高,其他誤差組合的結(jié)果與初始誤差也在同一量級(jí),說明halo-CTT聯(lián)合自主定軌對(duì)導(dǎo)航星的價(jià)值高于用戶星。

(3)halo-LLO

在僅利用單顆halo導(dǎo)航星的情況下,導(dǎo)航星與LLO的聯(lián)合自主定軌結(jié)果如圖4所示,各個(gè)采樣時(shí)刻的定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)如表6所示。

表6 halo-LLO聯(lián)合自主定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)Table 6 Average position errors of the halo-LLO LAOD

圖4 halo-LLO聯(lián)合自主定軌結(jié)果Fig.4 Results of the halo-LLO LAOD

由圖4和表6可見,LLO的定軌誤差明顯小于導(dǎo)航星,前者基本優(yōu)于50 m,后者則為前者10倍以上。至于測(cè)量誤差和初始軌道誤差的影響,各誤差組合對(duì)LLO和halo的定軌結(jié)果影響不同,對(duì)于LEO,誤差組合2、3和5結(jié)果較好(9 h后均優(yōu)于30 m,最終優(yōu)于10 m),組合6和7稍差(9 h后優(yōu)于40 m,但是變化較大),組合4的結(jié)果最終接近組合8;對(duì)于halo,誤差組合2和5結(jié)果最好(9 h后優(yōu)于200 m),誤差組合3、6和7的結(jié)果稍差(9 h后優(yōu)于500 m,最終優(yōu)于300 m),誤差組合4結(jié)果最終與組合8近似。

上述結(jié)果表明,測(cè)量誤差是LLO和halo定軌誤差的主要影響因素,初始軌道誤差是重要的影響因素,較大的初始軌道誤差會(huì)極大程度地削弱高精度測(cè)量的作用。

綜合對(duì)比三種用戶星的自主定軌結(jié)果可見,同等誤差下LEO定軌精度最高,LLO次之,CTT最差,這與3.2小節(jié)可觀性分析結(jié)論完全一致。

3.4 雙導(dǎo)航星定軌精度

從3.2小節(jié)結(jié)果可見,LEO和LLO類型的用戶星均可以利用單顆halo導(dǎo)航星進(jìn)行自主定軌,且可以在較短時(shí)間內(nèi)大幅降低初始軌道誤差。相比之下,CTT類型的用戶星則難以借助單顆halo導(dǎo)航星改善其軌道精度。

針對(duì)上述問題,考慮增加1顆halo導(dǎo)航星,即利用2顆halo導(dǎo)航星與CTT用戶星聯(lián)合自主定軌,研究導(dǎo)航星數(shù)量對(duì)CTT軌道確定的作用,觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)、頻率、誤差等條件與前述單顆導(dǎo)航星完全相同。

在2顆halo導(dǎo)航星的情況下,首先分析自主定軌系統(tǒng)的可觀性和可觀測(cè)度,結(jié)果表明系統(tǒng)可觀,且可觀測(cè)度參數(shù)η降低至15.675,說明自主定軌性能相對(duì)單顆halo導(dǎo)航星有明顯改善。

導(dǎo)航星與CTT的聯(lián)合自主定軌結(jié)果如圖5所示,各個(gè)采樣時(shí)刻的定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)如表7所示。由于第2顆導(dǎo)航星的定軌結(jié)果與第1顆較為接近,限于篇幅,圖5和表7中略去相應(yīng)結(jié)果。

表7 雙導(dǎo)航星的halo-CTT聯(lián)合自主定軌位置誤差統(tǒng)計(jì)Table 7 Average position errors of the halo-CTT LAOD with two halo satellites

圖5 雙導(dǎo)航星的halo-CTT聯(lián)合自主定軌結(jié)果Fig.5 Results of the halo-CTT LAOD with two halo satellites

由圖5和表7可見,導(dǎo)航星的定軌誤差與CTT大致相當(dāng),前者略優(yōu)。至于測(cè)量誤差和初始軌道誤差的影響,誤差組合2和5的結(jié)果較好(優(yōu)于300 m),組合3、6和7的結(jié)果稍差(優(yōu)于1 000 m),組合4的結(jié)果較差。該結(jié)果表明,雙導(dǎo)航星測(cè)量條件下,測(cè)量誤差和初始軌道誤差對(duì)CTT和halo定軌誤差的影響程度相當(dāng)。

將定軌結(jié)果與初始軌道誤差相比,各種誤差組合的定軌結(jié)果均可以保持在初始軌道誤差相同的量級(jí),或者有較大程度改善。

此外,將雙導(dǎo)航星聯(lián)合定軌結(jié)果與單導(dǎo)航星相比,無論是用戶星還是導(dǎo)航星,軌道精度均提高2倍以上,尤其是最大誤差組合8的結(jié)果可以實(shí)現(xiàn)全程優(yōu)于初始軌道,說明用戶星和導(dǎo)航星均可受益于halo-CTT聯(lián)合自主定軌。

4 結(jié) 論

文章研究了利用halo導(dǎo)航星的地月空間聯(lián)合自主軌道確定,研究結(jié)果表明,利用地月halo導(dǎo)航星可以實(shí)現(xiàn)與地月空間衛(wèi)星的聯(lián)合自主定軌。綜合對(duì)比地心軌道、地月轉(zhuǎn)移軌道與月心軌道的自主定軌結(jié)果可見,在單顆halo導(dǎo)航星條件下,地心和月心軌道的定軌精度最高,halo導(dǎo)航星次之,地月轉(zhuǎn)移軌道最差。但是,若增加1顆halo導(dǎo)航星,地月轉(zhuǎn)移軌道的定軌精度可以提高2倍以上。同時(shí),測(cè)量誤差和初始軌道誤差對(duì)不同用戶星的聯(lián)合自主定軌影響不同。

文中用戶星軌道涵蓋了地月空間任務(wù)的主要軌道類型,不過具體任務(wù)存在不同特征飛行階段,如月面下降和上升、交會(huì)對(duì)接等,平動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)航星對(duì)于這些任務(wù)的自主定軌支持能力需開展進(jìn)一步研究。此外,地月空間三體軌道類型豐富,選擇其他類型的三體周期軌道作為導(dǎo)航星軌道對(duì)導(dǎo)航性能的影響,以及估值方法和測(cè)量手段的合理選擇等,將是后續(xù)研究方向。