萬(wàn)志敏，王 婷，曹 健，邵仁玉

（南通職業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 南通 226007）

1 引言

結(jié)構(gòu)上的外載荷［1-4］對(duì)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、故障診斷以及健康監(jiān)測(cè)等起著非常重要的作用。由于外載荷很難通過儀器直接測(cè)量出來，因此發(fā)展了很多確定性的載荷反求方法，也稱結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第二類逆問題。然而在工程實(shí)際中，用于實(shí)現(xiàn)載荷反求時(shí)的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)往往也是未知的或者是不確定性的，這勢(shì)必導(dǎo)致載荷反求結(jié)果是不可信的，而參數(shù)識(shí)別也稱為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的第一類逆問題。因此，面向第一、二類逆問題融合解決方案具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。近年來，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷及參數(shù)聯(lián)合識(shí)別的不確定性方法受到了眾多學(xué)者的關(guān)注，也已成為當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門分支方向。

文獻(xiàn)［5］中在擴(kuò)展卡爾曼濾波算法框架下提出了一種EKF-UI（Extended Kalman Filter-Unknown Inputs）算法，來連續(xù)識(shí)別系統(tǒng)的外載荷及不確定性參數(shù)。文獻(xiàn)［6］基于EKF和最小二乘估計(jì)法重新推導(dǎo)出上述EKF-UI算法應(yīng)用于弱非線性系統(tǒng)，并指出傳統(tǒng)EKF-UI［5］的推導(dǎo)方法相對(duì)比較繁瑣。文獻(xiàn)［7］提出了兩步法來連續(xù)識(shí)別載荷/狀態(tài)/參數(shù)，第一步構(gòu)造了載荷狀態(tài)傳遞方程，并結(jié)合測(cè)量觀測(cè)方程，采用標(biāo)準(zhǔn)KF法識(shí)別出位置載荷；第二步構(gòu)造了由狀態(tài)及參數(shù)組成的增廣狀態(tài)傳遞方程，并基于UKF（Unscented KF）法識(shí)別出增廣狀態(tài)向量。文獻(xiàn)［8］在擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）的框架下，基于參數(shù)模型縮減技術(shù)提出了A-DEKF（An Augmented Discrete EKF）法來同時(shí)在線估計(jì)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)/載荷/參數(shù)，其主要思想是將結(jié)構(gòu)狀態(tài)、未知外載荷及不確定性參數(shù)三者一并組成一個(gè)新的增廣狀態(tài)，再應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)EKF法來估計(jì)該增廣狀態(tài)向量，得到載荷和參數(shù)識(shí)別值。然而，該方法的成功大大依賴于一個(gè)數(shù)量級(jí)合適的未知載荷方差估計(jì)值參與濾波運(yùn)算，該值的大小對(duì)ADEKF算法的估計(jì)穩(wěn)定性影響非常大。文獻(xiàn)［9］針對(duì)線性系統(tǒng)，基于KF和加權(quán)最小二乘算法，提出了未知外載荷和狀態(tài)的連續(xù)最小方差無(wú)偏估計(jì)濾波法，下文簡(jiǎn)稱GDF法。最近也提出了擴(kuò)展GDF（Extended GDF：EGDF）算法來聯(lián)合估計(jì)結(jié)構(gòu)外載荷以及不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)，其核心思想是將未知參數(shù)聯(lián)合結(jié)構(gòu)狀態(tài)形成新的增廣狀態(tài)向量，基于GDF法及EKF的非線性系統(tǒng)一階線性化思想，推導(dǎo)出擴(kuò)展GDF算法，能夠適應(yīng)于弱非線性系統(tǒng)下的載荷/增廣狀態(tài)連續(xù)最小方差無(wú)偏估計(jì)濾波［10］。不過，該EGDF法中僅采用部分加速度響應(yīng)作為測(cè)量信號(hào)參與濾波識(shí)別計(jì)算，極易導(dǎo)致識(shí)別的位移及載荷結(jié)果與理論結(jié)果存在明顯的虛假低頻漂移現(xiàn)象。究其原因是加速度信號(hào)對(duì)于輸入載荷的準(zhǔn)靜態(tài)分量不夠靈敏，而僅采用加速度響應(yīng)進(jìn)行識(shí)別，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的低頻振動(dòng)信號(hào)丟失。文獻(xiàn)［10-11］采用位移與加速度信號(hào)來作為測(cè)量響應(yīng)很好解決了低頻漂移的不穩(wěn)定問題，因?yàn)榧铀俣刃盘?hào)和位移信號(hào)中分別包含了高、低頻振動(dòng)特性。不過，由于位移傳感器通常體積較大，安裝位置有要求且易造成結(jié)構(gòu)原始特性改變，并且價(jià)格相對(duì)于加速度傳感器較貴，不太適用于眾多工程應(yīng)用中。

考慮到應(yīng)變響應(yīng)與位移響應(yīng)的對(duì)應(yīng)線性物理關(guān)系，也包含足夠的低頻振動(dòng)特性。同時(shí)，應(yīng)變計(jì)體積小，易于安裝，且價(jià)格便宜。這里基于多傳感器數(shù)據(jù)融合的策略，應(yīng)用個(gè)別應(yīng)變響應(yīng)以及部分加速度響應(yīng)作為測(cè)量信號(hào)來擴(kuò)展原始EGDF算法，以便進(jìn)行穩(wěn)定的載荷及參數(shù)聯(lián)合識(shí)別。另外，模態(tài)縮減法的應(yīng)用可以提高計(jì)算效率，更加適用于工程實(shí)際應(yīng)用。數(shù)值算例采用桁架為對(duì)象來驗(yàn)證了這里方法的有效性。

2 模態(tài)EGDF法

對(duì)于含黏性阻尼的n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程可以表達(dá)為下式：

式中：M、C、K—系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣，且C一般是n×n的正定或半正定的對(duì)稱矩陣；p(t)、p?(t)、p?(t)—有限元節(jié)點(diǎn)的位移、速度及加速度響應(yīng)；u（t）—外載荷激勵(lì)；Bu—外載荷向量的位置影響矩陣。

引入模態(tài)坐標(biāo)變換：

式中：Φ、q(t)—模態(tài)振型矩陣和模態(tài)位移向量。

將方程代入運(yùn)動(dòng)微分方程可得：

其中，Mn=ΦTMΦ=I，Cn=ΦTCΦ=Γ，Kn=ΦTKΦ= Λ，并且存在：

式中：ωi、ζi—第i階系統(tǒng)無(wú)阻尼自然頻率和模態(tài)阻尼率。

那么，方程可以寫成：

定義增廣模態(tài)狀態(tài)向量z(t) =(q，?，α)T。

其中，α=[α1α2…αα]T表示結(jié)構(gòu)的不確定性參數(shù)。這里的不確定性參數(shù)假定為結(jié)構(gòu)自然頻率及模態(tài)阻尼率。不過一般來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量可以看成是恒定不變量，則上述不確定性參數(shù)等價(jià)于結(jié)構(gòu)的剛度值及模態(tài)阻尼率。模態(tài)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)微分方程變換為狀態(tài)傳遞形式為：

系統(tǒng)觀測(cè)方程可以表達(dá)成下式：

式中：H=[ -ΦsΛ -ΦsΓ]，D=ΦsΦTBu，Φs—用于系統(tǒng)識(shí)別的s個(gè)加速度測(cè)量信號(hào)所在位置對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)振型系數(shù)矩陣，矩陣D可以看出為可逆矩陣。

考慮過程噪聲，系統(tǒng)的模態(tài)狀態(tài)傳遞方程以及觀測(cè)方程可以分別寫成如下的非線性時(shí)間離散形式：

式中：下標(biāo)k—第k個(gè)采樣時(shí)刻；y—加速度測(cè)量響應(yīng)；另外，wk—系統(tǒng)噪聲，其均值和方差分別假定為0和Gk；vk—觀測(cè)噪聲，其均值和方差分別假定為0和Rk。

定義向量分別是真實(shí)值z(mì)k、uk在觀測(cè)向量（y0，y1，y2，…，yk）下的后驗(yàn)估計(jì)值，狀態(tài)方差矩陣假定為另外，假定模態(tài)狀態(tài)的最小方差無(wú)偏估計(jì)初始值z(mì)0|-1及其方差是已知量?；谝陨险f明，可以推導(dǎo)出用于聯(lián)合識(shí)別載荷/狀態(tài)/參數(shù)的模態(tài)EGDF濾波算法，共由三步識(shí)別組成，分別是載荷識(shí)別步、測(cè)量更新步以及時(shí)間更新步［8］。這三次識(shí)別步如下：

（1）載荷識(shí)別步：

（2）測(cè)量更新步：

（3）時(shí)間更新步：

式中：?z fk、?u fk和?zhk—靈敏度矩陣，其具體表達(dá)形式如下式：

其中，

3 應(yīng)變及加速度響應(yīng)融合下的EGDF法

加速度傳感器因其體積小、易安裝，且對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性影響很小，因而廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中來測(cè)量結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。然而，僅采用加速度測(cè)量信號(hào)來識(shí)別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的GDF算法具有本征的不穩(wěn)定性，識(shí)別出的位移及載荷值會(huì)產(chǎn)生明顯的虛假低頻漂移現(xiàn)象。究其原因是因?yàn)榧铀俣刃盘?hào)對(duì)于輸入載荷的準(zhǔn)靜態(tài)分量不夠靈敏［12］。研究表明在部分加速度響應(yīng)信號(hào)的基礎(chǔ)上融合個(gè)別位移響應(yīng)信號(hào)作為測(cè)量信號(hào)來聯(lián)合識(shí)別結(jié)構(gòu)的未知外載荷/狀態(tài)/參數(shù)能夠極大地緩解虛假低頻漂移問題，原因是加速度信號(hào)和位移信號(hào)中分別包含了高、低頻振動(dòng)特性［10］。然而，位移傳感器一般來說體積較大，安裝測(cè)量時(shí)容易造成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性改變，影響實(shí)際測(cè)量結(jié)果，而且價(jià)格也相對(duì)較貴?？紤]到應(yīng)變計(jì)體積小巧，易于安裝，價(jià)格便宜，測(cè)量響應(yīng)還包含位移信息，這里將同時(shí)應(yīng)用應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)來識(shí)別未知載荷和結(jié)構(gòu)參數(shù)。

應(yīng)變和位移的數(shù)學(xué)關(guān)系可以表示成［14-15］：

式中：Hε—應(yīng)變-位移傳遞矩陣。

將公式應(yīng)用于EGDF算法中，則觀測(cè)方程變換成：

式中：vεk—應(yīng)變觀測(cè)噪聲向量，并假設(shè)均值為0，方差為Rεk。

那么，公式中的載荷矩陣Dk變換為：

式中：下標(biāo)s、udof—測(cè)量應(yīng)變以及未知載荷的數(shù)量。

公式變換為：

考慮到應(yīng)變測(cè)量與加速度測(cè)量響應(yīng)的數(shù)據(jù)融合，傳統(tǒng)EGDF算法的公式、分別變換為：

綜上所述，這里提出的改進(jìn)算法仍然包括三步：載荷識(shí)別步、測(cè)量更新步、時(shí)間更新步，對(duì)應(yīng)的公式為（30）、（12）～（15）、（31）、（17）～（20）。為了滿足工程中實(shí)時(shí)識(shí)別的要求，可以僅選取結(jié)構(gòu)的前r階主導(dǎo)模態(tài)參與計(jì)算即可達(dá)到工程精度，而其余的n-r階非主導(dǎo)模態(tài)可以不考慮。本算法流程，如表1所示。

表1 基于EGDF和應(yīng)變響應(yīng)的載荷/參數(shù)識(shí)別流程Tab.1 The Proposed Algorithm Based on the EGDF and Strain Responses

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證這里應(yīng)變與加速度測(cè)量數(shù)據(jù)融合下的模態(tài)EGDF方法的可行性，本節(jié)以平面桁架作為數(shù)值仿真對(duì)象。如圖1 所示，平面桁架共包含桿單元31個(gè)，且每根桿的橫截面尺寸一致，水平桿單元的長(zhǎng)度是2m，斜45°桿單元的長(zhǎng)度是。所有桿的共性結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：桿單元的橫截面積是8.95×10-5m2，彈性模量是2 × 107Pa，密度是7.85 × 103kg/m3。本例中的每根桿單元采用集中質(zhì)量單元，是由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)皆含有橫向/縱向2個(gè)自由度，且節(jié)點(diǎn)1和17是固定約束。另外，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼假設(shè)為比例型C=αM+βK，阻尼系數(shù)分別α=0.1523、β=4.6203×10-4。兩個(gè)外載荷分別作用于節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)9上，均為豎直方向力（如圖1），載荷u1采用雙正弦激勵(lì)形式：

圖1 平面桁架結(jié)構(gòu)、桁架有限元模型和傳感器布置示意圖Fig.1 Plane Truss Structure，Truss Finite Element Model and Sensor Layout Diagram

而載荷u2采用隨機(jī)激勵(lì)形式。圖1中的黑方格代表加速度傳感器布置的位置。

本例中6個(gè)桿單元5、7、10、14、15和17的剛度值是不確定的需要與外載荷進(jìn)行聯(lián)合識(shí)別，假設(shè)其初始值分別為759.5N/m、633.0N/m、1342.5N/m、1163.5N/m、759.5N/m、633.0N/m。通常而言，模態(tài)縮減法在滿足工程精度的同時(shí)，能夠有效地減小整個(gè)計(jì)算量有利于整個(gè)計(jì)算量。本算例采用前7階主導(dǎo)模態(tài)來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的載荷/狀態(tài)/參數(shù)識(shí)別。首先，選取7個(gè)加速度測(cè)量信號(hào)來參與識(shí)別計(jì)算，分別為節(jié)點(diǎn)3、4、5、7、9、10的豎直加速度響應(yīng)信號(hào)以及節(jié)點(diǎn)9的水平加速度響應(yīng)信號(hào)。5%的環(huán)境噪聲加在了所有測(cè)量響應(yīng)中。兩個(gè)外載荷的識(shí)別結(jié)果，如圖2、圖3所示?？梢钥闯鲚d荷識(shí)別值都出現(xiàn)了明顯的低頻漂移現(xiàn)象，特別是載荷u1的相對(duì)誤差已達(dá)到29.3%。此外，這里方法也識(shí)別出所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)值，即位移及速度響應(yīng)。如圖4展示的是節(jié)點(diǎn)8的豎直位移及速度的理論值與識(shí)別值對(duì)比圖，圖中可以明顯看出速度識(shí)別值的結(jié)果很好，相對(duì)誤差較小，但是位移識(shí)別值明顯跟隨載荷識(shí)別值，也同樣出現(xiàn)了虛假的低頻漂移現(xiàn)象。為了解決上述虛假低頻漂移問題，應(yīng)用這里的應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)融合策略，測(cè)量個(gè)別單元的應(yīng)變響應(yīng)，與上述加速度測(cè)量信號(hào)一并來聯(lián)合識(shí)別結(jié)構(gòu)未知載荷、狀態(tài)及不確定性參數(shù)，此時(shí)新增的兩個(gè)測(cè)量信號(hào)分別是單元6、17的豎直應(yīng)變響應(yīng)。分別為外載荷、位移和速度的實(shí)際值與識(shí)別值對(duì)比圖，如圖5～圖7所示。

圖2 載荷u1的準(zhǔn)確值和估計(jì)值Fig.2 The Actual and Identified Values of Force u1

圖3 載荷u2的準(zhǔn)確值和估計(jì)值、a圖的局部放大圖（1～1.1）s示意圖Fig.3 Exact Value and Estimated Value of Load u2 and Schematic Diagram of Local Enlarged View（1～1.1）s of Fig.a

圖4 節(jié)點(diǎn)8豎直位移、直速度的理論值及識(shí)別值Fig.4 Theoretical Values and Identification Values of Node 8 Vertical Displacement and Straight Velocity

圖5 采用應(yīng)變-加速度數(shù)據(jù)融合下的載荷u1的準(zhǔn)確值和估計(jì)值Fig.5 The Actual and Identified Values of Force u1 by Data Fusion of Strain and Acceleration Responses

圖6 采用應(yīng)變-加速度數(shù)據(jù)融合下的載荷u2的準(zhǔn)確值和估計(jì)值、a圖的局部放大圖（19～19.1）s示意圖Fig.6 Exact Value and Estimated Value of Load u2 under Strain-Acceleration Data Fusion，and Schematic Diagram of Local Enlarged View（19～19.1）s of Fig.a

圖7 采用應(yīng)變-加速度數(shù)據(jù)融合的節(jié)點(diǎn)8豎直位移的理論值及識(shí)別值、節(jié)點(diǎn)8豎直速度的理論值及識(shí)別值示意圖Fig.7 Schematic Diagram of Theoretical Value and Identification Value of Vertical Displacement of Node 8 and Theoretical Value and Identification Value of Vertical Velocity of Node 8 with Strain-Acceleration Data Fusion

識(shí)別結(jié)果的圖線與實(shí)際值圖線基本重合，可以看出這里的數(shù)據(jù)融合方法可以較大程度緩解載荷及位移識(shí)別的虛假低頻漂移問題，其中載荷u1識(shí)別值的相對(duì)誤差已降低到4.75%。另外，平面桁架的6 個(gè)不確定剛度的識(shí)別值，可以看出其識(shí)別值十分準(zhǔn)確，誤差極小，如表2 所示。

表2 桁架剛度識(shí)別值Tab.2 Comparisons of Identified Element Stiffness Parameters of the Truss

上述兩種識(shí)別方法下的識(shí)別結(jié)果相對(duì)誤差對(duì)比柱狀圖，如圖8 所示。明顯看出，這里的方法識(shí)別的載荷及位移相對(duì)誤差大大降低。綜上所述，這里的應(yīng)變與加速度信號(hào)融合對(duì)于解決結(jié)構(gòu)的載荷、狀態(tài)以及參數(shù)識(shí)別問題具有很強(qiáng)的適用性，很好地解決了此前Kalman 類算法（最小二乘法）的低頻飄移現(xiàn)象。

圖8 兩種方法的識(shí)別結(jié)果相對(duì)誤差對(duì)比圖Fig.8 The Comparison Figure of the REs Obtained From the Two Algorithms

5 結(jié)論

這里采用多種傳感器信息融合的策略，基于應(yīng)變測(cè)量與加速度測(cè)量信號(hào)的數(shù)據(jù)融合，改進(jìn)了原始EGDF算法來進(jìn)行線性結(jié)構(gòu)狀態(tài)、未知載荷及不確定性參數(shù)的三者聯(lián)合識(shí)別，且在識(shí)別過程中僅需要工程中常用的加速度及應(yīng)變傳感器，同時(shí)極大地緩解了位移及載荷識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)虛假低頻漂移的不穩(wěn)定現(xiàn)象。模態(tài)縮減法的應(yīng)用使得本算法更能適應(yīng)大規(guī)模的工程實(shí)際案例。數(shù)值算例驗(yàn)證了這里方法的有效性。