馮石沖,凌 鶴

(武漢理工大學 機電工程學院,湖北 武漢 430070)

導軌在機床上起到導向和承重功能,它具有高剛度、低摩擦和低磨損的特點。導軌的精度顯著影響機床的加工精度和性能,因此,提高導軌的精度對于提高機床的加工精度和性能具有十分重要的意義[1]。目前導軌的加工工藝流程一般為:坯料→軋制→熱處理→矯直→鉆孔→再矯直→磨削。其中,矯直和磨削是提升導軌精度的兩個重要工藝。矯直,是將金屬條材由彎變直的一種加工工藝。磨削,往往作為矯直加工的后續(xù)工藝,它是使用硬磨粒顆粒去除工件材料的加工工藝。機床導軌作為一種精密導向部件,需要有良好的幾何精度和表面性能。矯直和磨削是導軌加工過程中的兩道連續(xù)加工工藝,這兩道工藝之間的相互作用會對導軌的性能產(chǎn)生一定的影響。因此,綜合考慮兩種加工工藝對導軌精度的影響是極為重要的。在制定導軌的加工工藝之前,首先需要對導軌的表面進行研究。

工件的表面具有隨機性和不規(guī)則性,為了準確地研究機械加工工藝對工件表面形貌的影響,首先需要建立工件表面形貌的幾何模型。一些學者在研究導軌的矯直工藝時將導軌表面誤差看作簡單撓曲線,例如圓弧和二次曲線[2]。此外,一些學者在研究導軌上工作臺的運動誤差時將導軌表面誤差看作周期函數(shù),例如三角函數(shù)[3-10]。還有一些學者將上述兩種曲線特性結(jié)合起來,例如Tang等將導軌表面誤差看作二次曲線和三角函數(shù)的疊加[11]。然而,上述學者提出的導軌模型與實際的導軌表面依然存在較大誤差。一般而言,工件的表面誤差分為3種類型:形狀誤差、波紋度誤差和粗糙度誤差。形狀誤差指的是宏觀上的誤差,一般使用多項式函數(shù)表示;波紋度誤差指的是中觀上有周期性波動的誤差,一般使用三角函數(shù)表示;粗糙度誤差則屬于微觀上的誤差,一般使用分形函數(shù)表示。這3種類型的誤差并不是單獨存在的,實際的加工表面往往是這3種誤差的綜合。由于不同類型的誤差有不同的形成原因,同時也對工件的表面性能有不同影響。因此,為了正確區(qū)分這些誤差,從而更好地制定工件的加工工藝,將這3類誤差從工件表面分離出來就極為重要。一些學者建立了各種各樣的方法對工件的表面誤差進行分離,例如傅里葉變換、高斯濾波、小波變換和離散模態(tài)分解。然而這些方法有著一定的局限性。當研究對象有具體的應用場景時,往往非常耗時,且分離出來的結(jié)果不能滿足特定的力學背景,難以將分離出來的誤差用于實際加工。

基于上述原因,筆者從導軌的誤差來源類型出發(fā),將導軌的表面形貌誤差看作多項式、三角函數(shù)和分形函數(shù)的疊加,建立了直線導軌的表面輪廓誤差模型。為了準確、快速地辨識這幾種類型的誤差,提出了多尺度曲線擬合方法。然后,基于多尺度曲線擬合方法,對直線導軌的表面輪廓誤差進行分解。最后,實驗驗證了誤差模型和多尺度曲線擬合方法的有效性。

1 直線導軌表面輪廓誤差模型

機床工作臺的直線度誤差主要來源于直線導軌的表面形貌誤差,導軌在與機床導軌并行的水平面xoy平面內(nèi)的表面形貌誤差使工作臺在運動過程中產(chǎn)生了直線度誤差δz(x)。因此,筆者針對直線導軌在xoy平面內(nèi)的表面形貌進行研究。將表面形貌誤差分解為一系列在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓誤差的集合,t為平面的個數(shù)換句話說,把三維的表面形貌誤差轉(zhuǎn)化為許多個二維的表面輪廓誤差。于是,表面形貌誤差能夠使用表面輪廓誤差點集S(yj)表示。為了研究表面輪廓誤差的幾何特征,以任意y=yj(j=0,1,…,t)平面為分析對象。

2 多尺度曲線擬合方法

2.1 形狀誤差模型

直線導軌在生產(chǎn)過程中,要經(jīng)歷軋制、熱處理,打孔等制造工藝,不可避免地產(chǎn)生彎曲和扭曲變形。為了研究方便,僅考慮單彎曲的直線導軌表面輪廓的形狀誤差。

根據(jù)魏爾斯特拉斯第一定理,任意的連續(xù)函數(shù)可以使用多項式來逼近,如圖1所示。因此,單彎曲的直線導軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓的形狀誤差可以使用多項式P(x)j來逼近。即

圖1 單彎曲的直線導軌表面輪廓的形狀誤差

P(x)j=p0,j+p1,jx+…+pn,jxn

(1)

式中,多項式系數(shù)p0,j,p1,j,p2,j,…,pn,j為任意實數(shù)。

2.2 波紋度誤差模型

直線導軌的表面輪廓并不是一條簡單的、光滑的多項式曲線,它的表面存在著波紋度。如圖2所示,周期曲線表示直線導軌的波紋度。根據(jù)Fourier級數(shù)的知識,直線導軌的波紋度可以使用三角多項式來逼近。因此,直線導軌在y=yj(j=0,1,…,t)表面輪廓的波紋度誤差可表示為:

圖2 直線導軌表面輪廓的波紋度誤差

(2)

式中:系數(shù)ak,j,bk,j為任意實數(shù)。

2.3 粗糙度誤差模型

除了形狀誤差和波紋度誤差,導軌表面還存在粗糙度誤差。表面輪廓的粗糙度誤差一般使用常見的分形函數(shù)W-M函數(shù)來表示,因此直線導軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓的粗糙度誤差可以表示為R(x)。

2.4 多尺度曲線擬合

為了更加準確地描述直線導軌的表面輪廓誤差,將簡單多項式P(x)j、三角多項式f(x)j和分形函數(shù)R(x)j結(jié)合起來,同時考慮到粗糙度誤差R(x)的表達式非常復雜,可以將表面粗糙度R(x)看作曲線擬合過程的擬合誤差。因此,導軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓可以使用式(3)來擬合:

z(x)j=p0,j+p1,jx+p2,jx2+

(3)

擬合曲線的圖像如圖3所示。將式(3)寫成矩陣形式:

圖3 一個平面內(nèi)的表面輪廓誤差曲線

Z=Mp+fXp+f

(4)

式中:矩陣X為式(3)中x,x2,sinx,cosx,sin2x,cos2x組成的基矩陣;矩陣M為式(3)中p0,j,p1,j,p2,j,a1,j,b1,j,a2,j,b2,j的系數(shù)矩陣。

式(4)的解為:

(5)

式中,X-1代表矩陣X的廣義逆矩陣。

從式(5)可知,通過求解線性方程組將形狀誤差、波紋度誤差和粗糙度誤差從整個導軌的表面輪廓中分離出來。這為后續(xù)的矯直和磨削加工工藝提供了重要信息。

3 直線導軌表面輪廓誤差分析實例

3.1 實驗材料與實驗儀器

本實驗選用三坐標測量機來測量3根直線導軌的表面形貌誤差,其型號為:Daisy564。實驗材料為同一批加工的3根直線導軌,尺寸均為:400×20×20 mm,分別將其編號為:LG1,LG2,LG3。

三坐標測量機在每根導軌上測量3個平行表面的輪廓,每個輪廓上選取41個測量點,每個測量點的間距為10 mm。

3.2 實驗結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

從實驗結(jié)果可知,同一根導軌上的3條輪廓曲線非常接近。因此將同一根導軌上的3條輪廓曲線取平均值,然后使用所提出的多尺度曲線擬合方法對導軌進行曲線擬合。

導軌LG1、LG2、LG3表面輪廓的曲線擬合結(jié)果分別如圖4～圖6所示?？梢钥闯?使用多尺度曲線擬合方法對導軌表面輪廓進行曲線擬合的效果很好。

圖4 導軌LG1的測量數(shù)據(jù)及擬合曲線

圖5 導軌LG2的測量數(shù)據(jù)及擬合曲線

圖6 導軌LG3的測量數(shù)據(jù)及擬合曲線

為了更準確地說明擬合效果,將多尺度曲線擬合方法與二次多項式的曲線擬合進行對比。結(jié)果如表1所示。

表1 兩種曲線擬合的對比

導軌LG1和導軌LG2使用多尺度曲線擬合方法的擬合效果要優(yōu)于二次多項式擬合,均方誤差分別減小了46%和41%。導軌LG3使用兩種擬合方法的區(qū)別不大,均方誤差幾乎不變。

4 結(jié)論

筆者選取了3根相同工藝的導軌作為實驗樣件,分別測量每根導軌上的3個平行面的表面輪廓誤差。對比每根導軌上的3條輪廓曲線,發(fā)現(xiàn)3條輪廓曲線非常接近。這表明:導軌的輪廓誤差主要沿著導軌的長度方向變化,在寬度方向上幾乎不變。

筆者建立了直線導軌的表面輪廓模型,然后使用多尺度曲線擬合方法對3根導軌的測量數(shù)據(jù)進行擬合,同時對比傳統(tǒng)的二次多項式的曲線擬合方法?？梢园l(fā)現(xiàn),多尺度曲線擬合方法的擬合效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的二次多項式擬合,均方誤差明顯減小,最大可以減小46%。值得注意的是,隨著導軌的形狀誤差越來越小,兩種擬合方法的差距越明顯。因此,多尺度曲線擬合方法更適用于直線導軌表面誤差的分解。