王沖，茅健，鄭武

（1.201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院；2.100089 北京市 華融普瑞北京科技有限公司）

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計是在限制部分設(shè)計條件的情況下尋求給定材料指定性能最優(yōu)的材料分布，與其他常規(guī)優(yōu)化方法相比，設(shè)計空間更大且可以最大化結(jié)構(gòu)性能[1]。隨著計算機(jī)性能的不斷提升以及相關(guān)技術(shù)理論的不斷完善，其應(yīng)用領(lǐng)域也不斷拓寬。然而拓?fù)鋬?yōu)化所得結(jié)果為非參數(shù)化模型，邊緣不夠清晰且存在鋸齒狀單元、可制造性較差等問題。

針對拓?fù)鋬?yōu)化邊界輪廓問題，現(xiàn)有研究方法有密度輪廓提取方法[2-3]和點集幾何重構(gòu)方法[4]等。付永清等[5]基于梯度矢量流模型，利用雙線性插值求解點集GVF，實現(xiàn)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓提取，但未能解決拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)鋸齒狀邊緣問題；楊睿等[6]利用鏈碼對邊界離散點進(jìn)行分段，采用B 樣條插值曲線實現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)果邊界重構(gòu)，但方法依賴插值點和輪廓曲率閾值的選擇；覃琨等[7]對輪廓分段，利用直線或圓弧等簡單幾何特征逼近拓?fù)漭喞?，實現(xiàn)結(jié)果的幾何重構(gòu)，但此方法對復(fù)雜邊界適用性受限，重構(gòu)效果不理想；Zhu 等[8]引入能量泛函，利用帶有距離抑制方案的水平集方法提取輪廓，但其計算效率受限，不光滑點處收斂較難，導(dǎo)致結(jié)果不夠理想；Yi 等[9]基于密度等高線法有效提取拓?fù)漭喞?，整體結(jié)構(gòu)光滑度較好，但后續(xù)仍需形狀優(yōu)化；Guest 等[10]利用Heaviside 階躍函數(shù)進(jìn)行線性投影以實現(xiàn)中間密度單元的0/1 逼近，提升黑白單元占比；陳洪武等[11]基于響應(yīng)面法編寫APDL 程序?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)結(jié)構(gòu)的快速收斂；Fuchs 等[12]引入SRV 約束條件，對設(shè)計變量確定最小量規(guī)，減少了結(jié)構(gòu)中灰度單元；Liang 等[13]通過序列整數(shù)規(guī)劃和正則松弛算法實現(xiàn)了對具有離散變量靈敏度的拓?fù)鋬?yōu)化問題的求解，結(jié)構(gòu)清晰度得到提升；張日成等[14]通過對失穩(wěn)載荷因子的靈敏度分析，基于Kuhn-Tucker 條件對優(yōu)化結(jié)果實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提升。

本文提出通過Canny 檢測算法提取拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)邊緣，結(jié)合DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）算法以及凸包Graham Scan 算法，通過對整體數(shù)據(jù)點集的邊緣提取、密度聚類分析以及最小凸輪廓的構(gòu)建，使所得拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊緣清晰，解決鋸齒狀邊緣問題。同時，對拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型中可能存在的無實際意義的空隙單元進(jìn)行一定修復(fù)，為提升拓?fù)錁?gòu)型的可制造性提供一種設(shè)計方法。

1 邊界識別與特征聚類

1.1 邊緣檢測

Canny 檢測算法通過識別圖像邊緣特征，在保留圖像類型、姿態(tài)等主要信息下，有效減少數(shù)據(jù)處理規(guī)模，提升運算速度?；驹頌?，采用二維零均值高斯函數(shù)卷積運算，將像素點與周圍鄰域內(nèi)像素加權(quán)平均處理，達(dá)到圖像去噪和平滑。高斯濾波器表達(dá)式[15]為

降噪和平滑處理后，Canny 算法通過計算水平、垂直方向梯度值，即2 個方向像素的1 階導(dǎo)數(shù)，然后采用非極大值抑制方法對梯度圖像中像素點進(jìn)行處理，比較像素點和正負(fù)2 個方向上梯度的幅值，確定該像素點是否保留。通過設(shè)定的高低雙閾值檢測，較大閾值可用來控制強(qiáng)邊緣分割；較小閾值可用做控制邊緣連接，即高于高閾值的像素點可歸類為強(qiáng)邊緣像素集合，對低于較低閾值的像素點進(jìn)行抑制。處于兩者之間的保留高于上閾值像素連接點，通過處理最終得到準(zhǔn)確的邊緣二值化圖。

1.2 特征聚類

DBSCAN 是一種基于密度的無監(jiān)督ML 聚類算法，其對噪音點敏感性較低且無需指定集群數(shù)量，適用于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所得數(shù)據(jù)點集[16]，密度聚類算法以其噪聲低敏性在數(shù)據(jù)點集連續(xù)性及均勻性較好的場合運用廣泛，實際應(yīng)用效果與其他基于層次或網(wǎng)格的劃分方法相比更為突出。鞠夕強(qiáng)[17]等針對毫米波雷達(dá)數(shù)據(jù)不均勻以及噪聲等問題，采用DBSCAN 算法改進(jìn)雷達(dá)點云識別，實現(xiàn)目標(biāo)準(zhǔn)確率的提升。呂富強(qiáng)等[18]針對建筑物點云提取過程繁瑣等問題，基于DBSCAN 算法，實現(xiàn)準(zhǔn)確率提升的建筑單體化簇類提取。

DBSCAN 算法包含以下一些關(guān)鍵概念，設(shè)數(shù)據(jù)集合為Q={p0，p1，…，pn}。距離度量主要采用歐式空間距離來計算，其中2 個需要根據(jù)數(shù)據(jù)類型定義的算法參數(shù)是：

（1）鄰域（Eps）：數(shù)據(jù)集合中任意點p，其鄰域是指以點p為中心、以Eps 為半徑所圍成的空間，將其鄰域內(nèi)的數(shù)據(jù)對象集合記為NEps（p）

（2）最小包含點（minPts）：在一個鄰域半徑內(nèi)最少存在的點集數(shù)量，若鄰域特征點數(shù)量大于minPts，則該點與包含點構(gòu)成一簇。

數(shù)據(jù)集合中點集的分類有以下3 種：

（1）核心點（core point）：數(shù)據(jù)集合中任意點p，若滿足│NEps（p）│≥minPts，則稱p為數(shù)據(jù)集合Q的核心點。如圖1 所示，在鄰域半徑范圍存在特征點數(shù)為6，確定為核心點。

圖1 各點集示意圖Fig.1 Schematic diagram of each point set

（2）邊界點（border point）：數(shù)據(jù)點p不滿足核心點條件，但是該點處于另外數(shù)據(jù)點pi的鄰域范圍內(nèi)，則稱p為數(shù)據(jù)集合Q的邊界點。圖1 中，在鄰域半徑范圍存在特征點數(shù)僅為2，確定為邊界點。

（3）噪聲點（noise point）：數(shù)據(jù)集合Q中不滿足核心點以及邊界點條件的其余點集稱為噪聲點。如圖1 所示，噪聲點為鄰域半徑范圍以外的特征點數(shù)。

上述3 種類型點之間通常有以下4 種關(guān)系：

（1）直接密度可達(dá)（directly density reachable）：數(shù)據(jù)集合中任意點p，若滿足│NEps（p）│≥minPts，則對于數(shù)據(jù)點p的Eps鄰域內(nèi)任一數(shù)據(jù)點q，可稱為q是從p直接密度可達(dá)的，如圖2（a）所示。

圖2 點集關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of point set relationship

（2）密度可達(dá)（density reachable）：數(shù)據(jù)集合中存在核心點p1，p2，…，pn，其中p到p1、p1到p2直接密度可達(dá)……pn-1到pn、pn到q直接密度可達(dá)，則稱q是從p密度可達(dá)的，如圖2（b）所示。

（3）密度相連（density connected）：若數(shù)據(jù)集合中存在核心點k，使得點k到點p和點q都是密度可達(dá)的，則點p和點q密度相連。密度相連具有對稱性，且相連的兩點屬于同一聚類簇，如圖2（c）所示。

（4）非密度相連（non density connected）：不滿足上述條件的兩點屬于非密度相連，即兩點屬于不同聚類簇或其中存在噪聲點，如圖2（d）所示。

DBSCAN 算法的處理步驟如圖3 所示。鄰域和最小包含點的取值對后續(xù)聚類效果有著較大影響。選取的Eps值較小，易導(dǎo)致聚類族簇數(shù)量過多或較多數(shù)據(jù)未參與聚類；選取的Eps值較大則會導(dǎo)致大部分聚類族簇被合并，大量數(shù)據(jù)集處于同一聚類。為獲得較好的聚類效果，應(yīng)對鄰域和最小包含點進(jìn)行聯(lián)合調(diào)參，其中估計最優(yōu)的Eps值可選用K臨近算法，minPts值通常設(shè)置為大于或等于數(shù)據(jù)集維數(shù)，一般可選擇數(shù)據(jù)集維數(shù)的2 倍。

圖3 DBSCAN 聚類流程圖Fig.3 DBSCAN clustering flow chart

2 凸包掃描算法

2.1 凸包定義

凸包S的定義：對于給定集合X，在以實數(shù)表征的向量空間V 中，所有包含X的凸集的交集[19]，其中

而集合X的凸包也可由內(nèi)部點集線性組合構(gòu)造而成，可表示為

二維空間內(nèi)凸包可視為給定點集的所有點的最小凸多邊形，滿足多邊形上任取兩點以線段連接，所得線段任意點均在多邊形內(nèi)。

2.2 Graham Scan 算法

最小凸包Graham Scan 算法運行過程：

（1）確定極點P0。假定待優(yōu)化數(shù)據(jù)點集為Q，以點集中縱坐標(biāo)最小點作為極點，若多點縱坐標(biāo)相同，則選取其中橫坐標(biāo)最小點，如圖4（a）所示。

圖4 Graham Scan 凸包構(gòu)造圖Fig.4 Graham Scan convex hull structure

（2）按極角排序。對剩余點按極點P0的逆時針方向排序，將點集順序保存為{P0，P1，…，Pn}，若同一極角出現(xiàn)多點，保留極徑最大的點。

（3）將P0，P1，P2壓入棧中，如圖4（b）所示。

（4）依據(jù)判別式Δ 計算三點叉積并做左轉(zhuǎn)判斷，若滿足判定條件則將Pi入棧處理，否則彈出棧頂元素，按序掃描后續(xù)點集，如圖 4（c）所示。判別公式為

（5）依次完成所有點集掃描，最終堆棧元素為凸包的頂點序列，如圖4（d）所示。

3 算例仿真

3.1 二維簡支梁優(yōu)化

如圖5 所示，將受不變載荷簡支梁作為數(shù)值計算模型，不失一般性。其左下端固定支撐，右端滑動支撐，整體梁身為優(yōu)化設(shè)計區(qū)域，設(shè)計域離散單元數(shù)為：300×100，中心部分下端承受豎直向下力F。

圖5 優(yōu)化簡支梁結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structural diagram of optimized simply supported beam

選擇整體材料為Structural Steel，其楊氏模量為E=200e9 Pa，泊松比μ=0.3，取整體結(jié)構(gòu)厚度d=4 mm，體積約束f=0.5，優(yōu)化目標(biāo)為滿足約束條件下最小化柔度。

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)如圖6（a）所示。結(jié)構(gòu)邊緣不清晰，存在灰度單元較多；經(jīng)二值化處理后的結(jié)果如圖6（b）所示，邊緣存在鋸齒，其中二值化閾值T=0.503；經(jīng)canny 邊緣檢測算法降噪與平滑處理，雙閾值區(qū)分抑制后所得結(jié)構(gòu)如圖6（c）所示，提取出結(jié)構(gòu)邊緣；通過DBSCAN 算法將邊緣數(shù)據(jù)點集進(jìn)行聚類分析，設(shè)置Eps=4，minPts=4，聚類簇數(shù)為10，所得結(jié)果如圖6（d）所示，其中不同簇顏色深淺不同；最后，采用Graham Scan 凸包算法掃描不同簇類數(shù)據(jù)集，得到各類數(shù)據(jù)集合的頂點序列，形成最終結(jié)構(gòu)輪廓，所得結(jié)果如圖6（e）所示，結(jié)構(gòu)邊緣光滑，可制造性明顯提升。

圖6 拓?fù)鋬?yōu)化重構(gòu)流程圖Fig.6 Topology optimization and reconstruction flow chart

3.2 重構(gòu)模型仿真結(jié)果

以整體結(jié)構(gòu)的最大位移表征結(jié)構(gòu)響應(yīng)度，將初始模型和經(jīng)算法重構(gòu)后的模型導(dǎo)入有限元分析軟件進(jìn)行仿真實驗，施加不同載荷整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)結(jié)果如表1 所示。由表1 可知，重構(gòu)模型與原拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，平均結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差為3.87%，與原結(jié)構(gòu)差異較小，滿足設(shè)計要求。

表1 重構(gòu)模型與原結(jié)構(gòu)響應(yīng)對比Tab.1 Comparison of response between reconstructed model and original structure

受載結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖和位移云圖如圖7 所示，重構(gòu)后的結(jié)構(gòu)模型與原拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，在實現(xiàn)結(jié)構(gòu)邊緣清晰的基礎(chǔ)上，各結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以保持一致，設(shè)計方案較好地達(dá)成優(yōu)化目標(biāo)。

圖7 拓?fù)鋬?yōu)化有限元結(jié)果對比Fig.7 Comparison of topology optimization finite element results

4 結(jié)論

針對拓?fù)鋬?yōu)化變密度法中運用SIMP 模型得到優(yōu)化結(jié)構(gòu)中存在鋸齒狀單元和邊緣不清晰等問題，采用DBSCAN 算法及凸包Graham Scan 算法進(jìn)行邊緣提取和優(yōu)化，結(jié)論如下：

（1）通過Canny 檢測算法提取拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊緣，基于DBSCAN 算法對所得數(shù)據(jù)點集進(jìn)行聚類，可以有效分離整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)內(nèi)外邊緣。（2）利用凸包Graham Scan 算法逆序掃描整體數(shù)據(jù)點集，得到包含點集的最小凸包輪廓，經(jīng)過典型算例驗證，所得拓?fù)錁?gòu)型在承載應(yīng)力及局部位移方面與原結(jié)構(gòu)保持較高一致性，結(jié)構(gòu)響應(yīng)平均誤差低于3.87%。（3）通過DBSCAN 算法與Graham Scan 算法的結(jié)合，優(yōu)化后拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊緣清晰，鋸齒狀邊緣問題得到解決，通過有限元分析可得重構(gòu)模型在結(jié)構(gòu)響應(yīng)上基本與原結(jié)構(gòu)保持一致,整體方案為解決結(jié)構(gòu)邊緣可制造性問題提供一種優(yōu)化設(shè)計方法。