劉福才, 王海澎

(燕山大學(xué) 工業(yè)計算機(jī)控制工程河北省重點實驗室,河北 秦皇島 066004)

0 引 言

摩擦與磨損是生活中普遍存在的問題,在機(jī)器或是裝備的運行中,相互接觸的零部件之間的摩擦磨損現(xiàn)象是不可避免的。它會造成機(jī)械能損耗、產(chǎn)生噪音,對零部件造成變形、摩擦,影響其壽命[1]。摩擦磨損試驗機(jī)是實現(xiàn)對一種特性材料在給定的條件下對摩擦磨損性能的探究,并能求得摩擦力與摩擦系數(shù)的模擬試驗機(jī)。摩擦磨損試驗機(jī)的出現(xiàn)對生產(chǎn)中減少能源損耗、提高生產(chǎn)效率等方面起著重大作用。然而研究摩擦磨損試驗機(jī)的關(guān)鍵是對加載壓力的控制,目前試驗機(jī)主要存在機(jī)械、氣動和電動3種加載形式[2]。隨著電機(jī)制造水平和控制技術(shù)的不斷提高,以電機(jī)作為驅(qū)動力的電動加載技術(shù)逐漸成為時代潮流。相比于機(jī)械式加載控制精確度低、無法實現(xiàn)變載荷加載和氣動式存在空氣可壓縮性、氣體流動的復(fù)雜性等問題,電動加載技術(shù)具有加載精確度高、跟蹤速度快、結(jié)構(gòu)簡單、成本較低等優(yōu)點。但電動加載系統(tǒng)存在強(qiáng)耦合、電機(jī)內(nèi)部的高度非線性化以及加載過程中的多余力干擾等問題。為解決以上問題,更好地實現(xiàn)電動加載系統(tǒng)的控制性能,諸多學(xué)者對其進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]提出基于結(jié)構(gòu)不變性原理,實驗結(jié)果表明引入舵機(jī)的軸角速度作為前饋補(bǔ)償后,能夠有效地減小電機(jī)多余力矩的干擾。文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了小腦模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(cerebellar model articulation controller,CMAC)與模糊控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法,提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。文獻(xiàn)[5]提出了一種以速度閉環(huán)、轉(zhuǎn)矩閉環(huán)以及位置閉環(huán)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制策略,其中轉(zhuǎn)矩閉環(huán)采用模糊自適應(yīng)PID控制算法。通過實驗,復(fù)合控制方法在保證了加載精確度和動態(tài)性能的前提下,具有很強(qiáng)的魯棒性和抗擾性。文獻(xiàn)[6]采用自抗擾控制對四旋翼無人機(jī)在受到內(nèi)部參數(shù)以及外部環(huán)境干擾的前提下進(jìn)行測試,結(jié)果表明,所用的自抗擾控制算法有效地降低了外來干擾,提高了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。上面涉及的幾種控制算法雖然能有效地降低干擾性,起到不錯的控制效果,但其存在控制器設(shè)計繁瑣,推導(dǎo)計算量大等問題,因此本文采用分?jǐn)?shù)階PID控制(fractional order PID,FOPID),FOPID控制結(jié)構(gòu)簡單、易于理解、應(yīng)用方便,較普通PID控制多了2個自由度[7-8],進(jìn)一步擴(kuò)大了參數(shù)整定范圍,提升了控制能力和控制精確度,使其具有更好的動態(tài)性能和魯棒性,提高了控制效果。

1 試驗機(jī)加載系統(tǒng)模型分析

1.1 加載系統(tǒng)原理

試驗機(jī)的加載系統(tǒng)主要由伺服電機(jī)及其驅(qū)動器、壓力傳感器、電動缸、摩擦壓頭和樣品臺組成。其中壓力傳感器內(nèi)置于電動缸中,裝置示意圖如圖1所示,工控機(jī)通過PCI-1710U板卡對壓力傳感器產(chǎn)生的壓力信號進(jìn)行采集,將采集到的壓力信號利用所編寫好的程序代碼進(jìn)行數(shù)據(jù)去值濾波處理并同給定的期望輸入信號做差求得誤差信號。然后將誤差信號經(jīng)過分?jǐn)?shù)階PID控制算法所產(chǎn)生的輸出信號經(jīng)過轉(zhuǎn)換后通過PCI-1720U模擬量輸出卡發(fā)送-10 V到+10 V的轉(zhuǎn)矩指令作用于伺服電機(jī)驅(qū)動器,伺服電機(jī)驅(qū)動器接到轉(zhuǎn)矩指令后驅(qū)動伺服電機(jī)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運動,伺服電機(jī)通過絲杠將其旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為電動缸豎直方向的直線運行,從而實現(xiàn)摩擦壓頭對樣品臺的加載試驗。

圖1 電動加載系統(tǒng)實驗裝置示意圖

1.2 加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

伺服電機(jī)的電壓平衡方程為

(1)

電機(jī)電樞反電動勢為

E=Keω。

(2)

電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

(3)

電磁轉(zhuǎn)矩可表示為

Tm=KTi。

(4)

式中:U為電機(jī)電樞電壓;i為電機(jī)電流;R為電樞紐回路總電阻;E為電樞反電動勢;Ke為電機(jī)反電動勢系數(shù);ω為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度;Tm為電動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動慣量;B為電機(jī)阻尼系數(shù);TL為電機(jī)軸輸出轉(zhuǎn)矩;KT為電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

由式(1)～式(4)可知伺服電機(jī)模型傳遞函數(shù)為

(5)

由文獻(xiàn)[9]電動缸輸出軸直線位移為:

(6)

壓力傳感器模擬輸出值為

F=Kfy。

(7)

式中:h為滾珠絲杠導(dǎo)程;Kf為壓力增益。

由式(5)～式(7)得試驗機(jī)加載系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(8)

1.3 加載過程中摩擦力與摩擦系數(shù)的獲取

本試驗機(jī)摩擦力的獲取采用間接測量方法,首先將傳動系統(tǒng)中的伺服電機(jī)以60 r/min的轉(zhuǎn)速帶動樣品臺空載運行,獲得其電機(jī)空載轉(zhuǎn)矩T0,然后加載系統(tǒng)進(jìn)行加載試驗,獲得電機(jī)在力加載情況下的輸出轉(zhuǎn)矩T,并由游標(biāo)卡尺測量加載壓頭距樣品臺旋轉(zhuǎn)中心的距離R,則加載過程中的摩擦力f和摩擦系數(shù)μ可以表示為:

(9)

式中FN為加載壓力。

2 分?jǐn)?shù)階PID控制器

2.1 控制器設(shè)計

FOPID是由Podlubny最早提出的[10],其在繼承了傳統(tǒng)PID控制的基礎(chǔ)上新增了積分階次和微分階次兩個可調(diào)參數(shù),增加了控制器的調(diào)節(jié)范圍,改善了控制器的性能。其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 FOPID控制器結(jié)構(gòu)框圖

FOPID微分方程表達(dá)式為

u(t)=Kpe(t)+KiD-λe(t)+KdDμe(t)。

(10)

式中:u(t)為控制器輸出;e(t)為控制器輸入;λ和μ為控制器的積分階次和微分階次;Kp、Ki、Kd為控制器增益參數(shù)。

控制器傳遞函數(shù)為

C(s)=Kp+Kis-λ+Kdsμ。

(11)

當(dāng)λ和μ取不同值時,可以得到分?jǐn)?shù)階PID控制器的不同形式,如圖3所示。由圖可知,整數(shù)階PID控制器只是分?jǐn)?shù)階PID控制器λ和μ取值為0或1的4個特殊點,因此分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)整定范圍更大,控制更加靈活,能更好地調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能,達(dá)到最佳的控制效果。

圖3 λ、μ參數(shù)取值圖

2.2 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

一般來說,對于任何控制系統(tǒng)要穩(wěn)定的充要條件是特征方程根位于S平面的左半面,但是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性不同于整數(shù)階,由Matignon的穩(wěn)性定理可知,一個穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)系統(tǒng)可能在S平面的右半部分有根。下面進(jìn)行穩(wěn)定性詳細(xì)分析[11]：

一般分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)特征方程為

(12)

(13)

由上式可知,通過代數(shù)轉(zhuǎn)換將S平面的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)特征方程轉(zhuǎn)化為σ平面的整數(shù)階系統(tǒng)形式,從而能夠間接使用勞斯判定準(zhǔn)則判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

(14)

將得到的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域和傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域做比較,如圖4所示,可以看出,分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域比整數(shù)階控制系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域范圍要廣,更加靈活可控。

圖4 控制區(qū)域穩(wěn)定示意圖

2.3 實現(xiàn)方式

由于分?jǐn)?shù)階微積分算子是一個復(fù)變量s的無理化函數(shù),其特征方程一般來說不是常規(guī)的多項式,在數(shù)值仿真與實際應(yīng)用中不能夠直接應(yīng)用,因此用一個有限的微分方程來近似是分?jǐn)?shù)階微積分算子數(shù)字實現(xiàn)的關(guān)鍵[12]。本文采用Oustaloup近似化方法[13],假定選定擬合頻率段為(ωb,ωh),其近似的有理傳遞函數(shù)模型為

(15)

其中:

(16)

式中:γ為分?jǐn)?shù)階階次;2N+1為近似化次數(shù)。

2.4 控制器參數(shù)整定

由于分?jǐn)?shù)階PID控制器多了2個可調(diào)參數(shù),使得控制器的控制更加靈活,但是也給分?jǐn)?shù)階PID控制器的參數(shù)整定造成了困難,只有合理地選擇參數(shù)才能達(dá)到更理想的控制效果。本文將粒子群優(yōu)化算法用于分?jǐn)?shù)階PID控制器中,以此對控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化整定。粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是1995年由Eberhart和Kenney通過模擬鳥類捕食行為而提出的一種群體智能優(yōu)化算法[14]。在一個D維目標(biāo)搜索空間中,有N個粒子組成一個粒子群體,第i個粒子的位置和速度為xi=(xi1,xi2,…,xiD)和vi=(vi1,vi2,…,viD),該粒子在整個搜索過程中所經(jīng)歷的最優(yōu)位置稱為個體極值pbest=(pi1,pi2,…,piD),粒子群體目前搜索的最優(yōu)位置稱為全局極值gbest=(pg1,pg2,…,pgD),在迭代過程中粒子通過自身的個體極值和群體的全局極值來更新自己的速度和位置,直到滿足設(shè)定好的迭代終止條件,得出最優(yōu)解并引用適應(yīng)度函數(shù)作為評價因子,具體更新公式如下:

(17)

式中:i=1,2,…,N為粒子數(shù);d=1,2,…,D為向量維數(shù);k為當(dāng)前迭代次數(shù);c1,c2為非負(fù)的權(quán)重系數(shù);r1,r2是分布于[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù);ω為慣性權(quán)重因子,用來調(diào)節(jié)算法的全局和局部搜尋能力。一個較大的慣性權(quán)值有利于全局搜索,而一個較小的慣性權(quán)值則更利于局部搜索。通常取權(quán)重系數(shù)ωmax=0.9,ωmin=0.4時算法性能最好,在合理的迭代次數(shù)里尋找全局最優(yōu)值能力較好,所需迭代次數(shù)最少[15]。慣性權(quán)重由 0.9遞減至 0.4,迭代初期保持了較強(qiáng)的全局搜索能力,而迭代后期有利于算法進(jìn)行更精確的局部搜索。

目前常采用ω慣性權(quán)重公式為

(18)

式中:tmax為最大迭代次數(shù);t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

雖然該方法讓慣性權(quán)重不再是一個固定值,使得迭代過程中前期全局搜索能力增強(qiáng),后期局部搜索能力增強(qiáng),但慣性權(quán)重的變化率是固定值,可能會在較強(qiáng)的搜索條件下不能更好尋求最優(yōu)值。本文在上式以及文獻(xiàn)[16]的啟發(fā)下,對慣性權(quán)值進(jìn)行改進(jìn),令:

(19)

改進(jìn)之后慣性權(quán)重變化率不再是固定的,引入rand函數(shù)體現(xiàn)了粒子群搜索過程的隨機(jī)性。在粒子群的搜索初期,ω變化較慢,取值較大,加大了粒子的全局搜索能力;后期ω變化較快取值較小,提高了局部搜索能力,這樣利于算法跳出局部最優(yōu)而求得最優(yōu)解,提高了算法的求解精確度。

適應(yīng)度函數(shù)選用ITAE積分評價函數(shù)[17],即

(20)

式中e(t)為誤差。

3 實驗驗證

為了更進(jìn)一步地探究分?jǐn)?shù)階PID控制在實際系統(tǒng)中的控制效果,在電動變載荷摩擦磨損試驗機(jī)平臺上進(jìn)行加載實驗,分別采用恒值、三角波、方波、正弦波4種不同的典型信號作為加載系統(tǒng)載荷的期望跟蹤曲線,實驗平臺如圖5所示。分別在樣品臺靜止和旋轉(zhuǎn)時進(jìn)行加載試驗,樣品臺旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于對加載系統(tǒng)在加載實驗時引入了外部干擾。實驗中設(shè)定傳動系統(tǒng)中的伺服電機(jī)以60 r/min的轉(zhuǎn)速帶動樣品臺進(jìn)行旋轉(zhuǎn)實驗,并通過工控機(jī)實時讀取并儲存加載實驗數(shù)據(jù),由旋轉(zhuǎn)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)矩值及電動缸加載的壓力值求得加載過程中的摩擦力和摩擦系數(shù),并通過數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制相應(yīng)曲線的加載載荷跟蹤曲線、誤差跟蹤曲線和摩擦力與摩擦系數(shù)曲線。

圖5 電動變載荷加載系統(tǒng)實驗裝置示意圖

3.1 恒值加載

圖6為在加載實驗載荷F=100 N的恒值信號下樣品臺在靜止時和旋轉(zhuǎn)時加載壓力的跟蹤曲線及誤差曲線圖。

圖6 恒值加載實驗曲線圖

由圖6可知,分?jǐn)?shù)階PID控制較傳統(tǒng)PID控制反應(yīng)速度快、超調(diào)量小,在有外部干擾的情況下,FOPID能更好地減小系統(tǒng)的振蕩,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖7為在不同恒值力加載實驗條件下摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖。

圖7 恒值下摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖

可以看出,恒值力越大,加載過程中的摩擦力越大,摩擦系數(shù)越小,曲線走勢和壓力跟蹤曲線類似。

3.2 三角波加載

圖8為加載載荷信號幅值F=50 N,周期T=6 s的三角波信號下樣品臺在靜止和旋轉(zhuǎn)時的壓力跟蹤曲線及誤差曲線。

圖8 三角波加載實驗曲線圖

由圖8可知,在三角波加載條件下,曲線振蕩相對較大,FOPID控制在曲線的尖端突變處的誤差相對較小,曲線跟蹤效果優(yōu)于PID控制。圖9為三角波信號在不同幅值力加載過程中的摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖。從圖中可知,摩擦力曲線與加載力的跟蹤曲線類似,加載力越大摩擦力就越大,摩擦系數(shù)的變化相對平穩(wěn),只在加載力曲線最底端發(fā)生突變。

圖9 摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖

3.3 方波加載

圖10為輸入加載載荷信號幅值F=100 N,周期T=6 s的方波信號下樣品臺在靜止和旋轉(zhuǎn)時的壓力跟蹤曲線及誤差曲線圖。

圖10 方波加載實驗曲線圖

由圖10可以看出,曲線在突變處具有一定的滯后性,FOPID控制的超調(diào)量比傳統(tǒng)PID控制小,響應(yīng)速度快,在引入外部干擾后,曲線的誤差變大,但FOPID仍能展現(xiàn)良好的跟蹤效果。

圖11為方波信號在加載力幅值不同時加載過程中的摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖。由圖可知,摩擦力在波形突變處變化較大且摩擦系數(shù)在信號發(fā)生階躍突變處變化較劇烈,從側(cè)面反映出加載力跟蹤在突變處較為振蕩。

圖11 摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖

3.4 正弦波加載

圖12為輸入加載載荷信號幅值F=200 N,周期T=6 s的正弦信號下樣品臺在靜止和旋轉(zhuǎn)時的壓力跟蹤曲線及誤差曲線。由圖可知,在傳統(tǒng)PID控制下曲線在峰值處出現(xiàn)了明顯的滯后性;在引入外部干擾后,曲線誤差雖然變大,但FOPID控制的曲線較為光滑平穩(wěn),誤差相對較小,能夠更好地對加載系統(tǒng)實時控制跟蹤。圖13為正弦信號在加載力不同時加載過程中的摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖。

圖12 正弦波加載實驗曲線圖

圖13 摩擦力與摩擦系數(shù)曲線圖

從圖13可以看出,正弦波的摩擦力曲線和三角波形狀類似,但摩擦系數(shù)在峰谷處變化較大,且加載力越小突變越劇烈,從側(cè)面說明了加載力越大,曲線的誤差越小,其跟蹤效果越好。

4 結(jié) 論

針對電動加載系統(tǒng)中存在的強(qiáng)耦合、多余力干擾等問題,在傳統(tǒng)PID控制的基礎(chǔ)上提出了分?jǐn)?shù)階PID控制,對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和實現(xiàn)方案的設(shè)計,并利用改進(jìn)慣性權(quán)重之后的粒子群優(yōu)化算法對控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化整定。對分?jǐn)?shù)階PID控制進(jìn)行了模擬仿真,同時為了彌補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)只通過仿真驗證分?jǐn)?shù)階PID的不足,將其應(yīng)用于電動變載荷摩擦磨損試驗機(jī)平臺上,把仿真與實驗結(jié)果和傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行對比,可知分?jǐn)?shù)階PID控制響應(yīng)更快,穩(wěn)態(tài)精確度更高,更好地提高了電動變載荷系統(tǒng)的動態(tài)性能和魯棒性。