何朝都，趙志明，張瑞

（陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安 710021）

步進(jìn)電機(jī)通常存在啟停頻率受限、共振、和丟步等缺點(diǎn)[1]。三相混合式步進(jìn)電機(jī)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單得到廣泛應(yīng)用，其控制方式主要有PID 控制、自適應(yīng)控制等[2]。其中，滑膜變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特性和參數(shù)只取決于設(shè)計(jì)的切換超平面，對(duì)擾動(dòng)不敏感，因此具有很強(qiáng)的魯棒性，但會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)抖振現(xiàn)象[3]。文獻(xiàn)[4]提出了原始控制環(huán)和通過PI 自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)的原始數(shù)字控制環(huán)。該文采用滑膜變結(jié)構(gòu)方法結(jié)合PI 反饋，運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)驗(yàn)證了設(shè)計(jì)思路,在MATLAB中搭建模型，將滑模控制和PID 控制方式進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該控制方法的可行性。

1 三相混合式步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

三相混合式步進(jìn)電機(jī)呈上下兩端對(duì)稱分布的定子和轉(zhuǎn)子構(gòu)成，如圖1 所示[6]。

圖1 混合式步進(jìn)電機(jī)結(jié)構(gòu)

在忽略其他因素的情況下，假定電機(jī)處于理想狀態(tài)，通過建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)步進(jìn)電機(jī)各相矩陣微分方程如下：

轉(zhuǎn)矩公式：

其中，j=a，b，c；k=a，b，c；j≠k，ua、Ra、ia為A 相的電壓、電阻、電流；J為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；T為電磁轉(zhuǎn)矩（單位為N·cm）；T*為負(fù)載轉(zhuǎn)矩（單位為N·cm）；D為粘滯阻尼系數(shù)；Lij為各相自感系數(shù)；Ljk為各相互感系數(shù)（單位為mH）[7]。為提高仿真實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度，對(duì)電機(jī)各個(gè)參數(shù)均采取理想化處理，即電機(jī)各相同性，質(zhì)地材料均勻等。三相混合式步進(jìn)電機(jī)將脈沖信號(hào)作為輸入信號(hào)，依靠單位時(shí)間內(nèi)脈沖的數(shù)量控制電機(jī)軸的旋轉(zhuǎn)角度。

轉(zhuǎn)子平衡方程為：

其中，Zr為轉(zhuǎn)子齒數(shù)，Km為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

該電機(jī)為三相混合式單相勵(lì)磁方式，按照A-BC-A 順序進(jìn)行通斷電，可由式（2）、（3）計(jì)算得出其運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程如下：

初始時(shí)刻，t=0,則角度及其角度變化值=0，由于時(shí)間間隔小，變化量極小，因此經(jīng)拉普拉斯變換后，得：

選用57 系列步進(jìn)電機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，參數(shù)如表1所示。

表1 步進(jìn)電機(jī)參數(shù)

將表1 中參數(shù)代入式（5）中得：

2 三相混合式步進(jìn)電機(jī)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

三相混合式步進(jìn)電機(jī)為非線性、強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)，為提高三相混合式步進(jìn)電機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，憑借滑?？刂频臄_動(dòng)參數(shù)不敏感、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)[8-10]，可有效解決傳統(tǒng)PID 控制方法存在的問題?；？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的開關(guān)特性，這種特性可以使系統(tǒng)在一定條件下沿規(guī)定的軌跡作小幅、高頻的上下運(yùn)動(dòng)[11-14]。

2.1 滑?？刂频幕驹?/h3>

需要確定滑膜面函數(shù)，如下：

求解控制器函數(shù)：

滿足可達(dá)性條件，在滑膜面s(x,t)=0 以外的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)都將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑膜面，即，滿足全系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求。

通?；ぷ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由兩部分組成，第一部分是位于滑膜面外的正常運(yùn)動(dòng)，它是趨近滑膜面直至到達(dá)滑膜面的運(yùn)動(dòng)階段；第二部分是在滑膜面附近并沿著滑膜面s(x,t)=0 的運(yùn)動(dòng)[11]。

常用的趨近律函數(shù)有等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律和一般趨近律[15]。

以典型系統(tǒng)為例，對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行分析研究，指數(shù)趨近律如式（8）：

其中，D為系統(tǒng)產(chǎn)生的擾動(dòng)，且有 |D|

2.2 定義系統(tǒng)的滑膜面

積分型滑膜面和時(shí)變滑膜面雖然能很好地抑制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，但在處理過程中十分復(fù)雜，增加了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和成本[16]?；诖?，設(shè)定三相混合步進(jìn)電機(jī)位置誤差e=θ-θ′，將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間后有：

假設(shè)系統(tǒng)目標(biāo)給定值為θ，取e=Y-y=Y-86.771x2，N1=86.771，N2=0.233，則：

針對(duì)此系統(tǒng)而言，希望e趨近于零，因此，該文選擇線性滑膜面來設(shè)計(jì)控制器，對(duì)滑膜面函數(shù)求導(dǎo)為：

根據(jù)式（11）與式（12）可以令控制器u如下：

其中，H=δsgn(s)+Δ sgn(s)=εsgn(s)。

2.3 穩(wěn)定性分析

其中，S·sgn(s)=|S|，于是有：

即證所設(shè)計(jì)系統(tǒng)可達(dá)到穩(wěn)定，此時(shí)：

3 仿真分析

在MATLAB 中建立仿真模型，用以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的正確性。同時(shí)，為反映設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)，將實(shí)際輸出形式、單獨(dú)滑?？刂坪筒⒙?lián)PI 的滑?？刂迫N形式進(jìn)行對(duì)比分析，比較其超調(diào)量、穩(wěn)態(tài)時(shí)間等參數(shù)的大小。仿真過程中，仿真時(shí)長(zhǎng)為3 s，輸入階躍信號(hào)和方波信號(hào)。仿真模擬過程中通過跟蹤系統(tǒng)的輸入誤差建立PI 并聯(lián)滑?？刂茢?shù)學(xué)模型，如圖2 所示。

圖2 PI并聯(lián)SMC模型圖

分別采用階躍信號(hào)和方波信號(hào)對(duì)三種控制方式進(jìn)行模擬運(yùn)行。經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，PI 并聯(lián)的滑膜控制中取比例系數(shù)P為7，積分系數(shù)I為5；單獨(dú)PID 控制中系數(shù)分別取7、5、0.1。仿真結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 階躍控制信號(hào)效果圖

圖4 方波控制信號(hào)效果圖

由圖3、4 可知，針對(duì)誤差r，純粹PID 控制前期超調(diào)量十分大，穩(wěn)定時(shí)間最長(zhǎng)，在2 s 達(dá)到穩(wěn)定；單獨(dú)滑模SMC 控制穩(wěn)定時(shí)間較長(zhǎng)，在2.5～3 s，系統(tǒng)穩(wěn)定；PI并聯(lián)的滑?？刂瞥{(diào)量最小，穩(wěn)定時(shí)常最短，在1～2 s，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。因此在同一工作環(huán)境下，PI 并聯(lián)的滑模控制跟蹤信號(hào)的隨動(dòng)性最為靈敏，達(dá)到穩(wěn)定工作狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間也最短，綜合性能更為優(yōu)越。

為驗(yàn)證此種控制器對(duì)于高低頻信號(hào)的快速響應(yīng)能力，將方波信號(hào)分為低頻方波和高頻方波，在Simulink 中進(jìn)行模擬對(duì)比，仿真結(jié)果如圖5、6 所示。

圖5 低頻跟蹤效果圖

圖6 高頻跟蹤效果圖

4 實(shí)驗(yàn)分析

由三相步進(jìn)電機(jī)、直流電源模塊、2000P 旋轉(zhuǎn)編碼器和STM32 單片機(jī)等部件搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖7 所示。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下：以計(jì)算機(jī)作為上位機(jī)，STM32 作為下位機(jī)，對(duì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)電機(jī)軸旋轉(zhuǎn)180°的數(shù)據(jù)再次采樣，通過MATLAB 中cftool 繪圖工具對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。由于編碼器精度誤差和電機(jī)趨于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)的細(xì)微抖振不可避免，導(dǎo)致存在一定范圍內(nèi)的偏差（最后過沖約為0.3°）。采集有理論數(shù)學(xué)模型模擬（y1 表示）和實(shí)驗(yàn)室搭建電機(jī)模型（y2 表示）兩組數(shù)據(jù)。兩部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)趨于穩(wěn)定后如圖8 所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)搭建平臺(tái)

圖8 趨穩(wěn)擬合圖

從圖8 看出，大量數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合的兩條不同曲線的初始階段與穩(wěn)定階段幾乎一致。放大后，僅在上升階段，理論測(cè)量曲線y1 落后實(shí)驗(yàn)測(cè)量曲線y2 一小段距離。與仿真結(jié)果相比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果旋轉(zhuǎn)量相同，前后誤差在可控范圍內(nèi)，憑借多達(dá)10 000組數(shù)據(jù)擬合出來的兩個(gè)不同曲線初始階段與趨于穩(wěn)定時(shí)段幾乎完全重合。即通過實(shí)驗(yàn)再次驗(yàn)證了控制器的正確性。

對(duì)于上述采集的數(shù)據(jù)引入誤差棒圖對(duì)各40 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整定。經(jīng)處理后，前4 000 個(gè)數(shù)據(jù)具有明顯的波動(dòng)過程，后6 000 個(gè)數(shù)據(jù)由于達(dá)到穩(wěn)定后僅保持小范圍內(nèi)的波動(dòng)，將4 000 個(gè)數(shù)據(jù)分為4 組分別計(jì)算出均值和誤差值，如圖9 所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)誤差顯示圖

可以看出，后者誤差棒長(zhǎng)度在一定程度上反映了實(shí)驗(yàn)所帶來的干擾必然存在，但是樣本均數(shù)的波動(dòng)范圍還是可接受的。總體看來，與理論組呈現(xiàn)近乎一樣的概率分布和均值大小。即說明，該控制方式帶來的系統(tǒng)控制策略能夠達(dá)到實(shí)際應(yīng)用的目的。

5 結(jié)論

該文提出了一種并聯(lián)PI 的變結(jié)構(gòu)滑膜控制，為進(jìn)一步提高電機(jī)的精度提供了一種切實(shí)可行方案，結(jié)論如下：

1）建立了三相步進(jìn)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，得出特定型號(hào)電機(jī)的傳遞函數(shù)，采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)了滑?？刂破?，判斷了所選的滑膜面的穩(wěn)定性；

2）建立了Simulink 仿真模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)誤差的快速跟蹤響應(yīng)，得到了并聯(lián)PI 變結(jié)構(gòu)控制的規(guī)律；

3）建立了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，獲得了一種更高質(zhì)量的控制策略。