王 蕊,肖人彬,吳紫俊

(1.武漢紡織大學, a.湖北省數(shù)字化紡織裝備重點實驗室; b.工業(yè)雷管智能裝配湖北省工程研究中心, 武漢 430020; 2.華中科技大學人工智能與自動化學院, 武漢 430074)

隨著高速織機的快速發(fā)展,對綜框等織機板殼類組件的性能提出了新的要求[1]。傳統(tǒng)隔振技術(shù)雖然在一定程度上滿足減振降噪的性能要求,但是隨之而來會導致設(shè)備笨重、散熱性能變差等一系列問題[2],無法根本上解決板殼結(jié)構(gòu)振動的技術(shù)難題。而拓撲優(yōu)化技術(shù)可以在實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化的同時使結(jié)構(gòu)更加可靠[3],因此結(jié)合先進技術(shù)實現(xiàn)對高速織機的振動進行控制成為了紡織行業(yè)研究的熱點[4]。

粘彈性阻尼材料能有效抑制振動與噪聲,它是由高分子聚合物組成,具有高可靠性、吸能減振等功能[5],在航空航天、船舶、汽車等現(xiàn)代化工業(yè)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用[6]。粘彈性阻尼層處理方式可分為四大類:自由層阻尼結(jié)構(gòu)、被動約束層阻尼結(jié)構(gòu)、主動約束層阻尼結(jié)構(gòu)以及可控約束層阻尼結(jié)構(gòu)[7]。而其中被動約束阻尼成本低、可靠性高且減振效果好,應(yīng)用最為廣泛[8]。顧賽克等[9]研究了約束阻尼結(jié)構(gòu)力學性能,探討了設(shè)計參數(shù)對阻尼性能的影響,并通過實驗證明約束阻尼結(jié)構(gòu)能有效降低共振問題且三層約束阻尼結(jié)構(gòu)性能更加好。梁森等[10]提出了一種新型五層夾芯復(fù)合材料儀表板的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法,并分析了粘彈性阻尼層和PMI泡沫材料層相對厚度對儀表盤阻尼損耗因子的影響。盡管傳統(tǒng)的約束阻尼鋪設(shè)方式具有較好的減振性能,但是在此基礎(chǔ)上會加重結(jié)構(gòu)的重量并提升生產(chǎn)成本。因此有必要對基于約束阻尼下的板殼結(jié)構(gòu)進行綜合設(shè)計,在提高阻尼利用率的同時,獲得具有更好固有特性和減振能力的輕量化結(jié)構(gòu)。

板殼類結(jié)構(gòu)的吸能減振性能與阻尼材料的分布有著密切的關(guān)系[11]。為實現(xiàn)結(jié)構(gòu)承載與吸能的性能要求并且有效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化[12],學者們在拓撲優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)上,對阻尼材料的布局設(shè)計進行了諸多研究。Kim等[13]為得到最佳阻尼材料布局,對比拓撲優(yōu)化與其他方法,以模態(tài)阻尼比最大化為設(shè)計目標。通過定量比較不同方法的模態(tài)損耗因子,發(fā)現(xiàn)拓撲優(yōu)化能得到更高的模態(tài)損耗因子。吳永輝等[14]基于參數(shù)化水平集法分析了阻尼板優(yōu)化構(gòu)型與模態(tài)應(yīng)變能分布關(guān)系,得出基于基板模態(tài)應(yīng)變能分布設(shè)計的構(gòu)型優(yōu)化效率較高。陳姍姍[15]引入Helmholtz PDE濾波和投影技術(shù),有效抑制了阻尼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計中棋盤格與灰度單元的數(shù)據(jù)不穩(wěn)定現(xiàn)象,并應(yīng)用于潛艇艇體的表面抗振設(shè)計,提高了結(jié)構(gòu)減振能力。倪維宇等[16]提出了一種阻尼結(jié)構(gòu)多尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計方法,研究了在不同激勵頻率下阻尼材料的宏微分布。賀紅林等[17]基于虛功原理建立了約束阻尼有限元模型,在此基礎(chǔ)上基于漸進法采用多目標拓撲優(yōu)化對阻尼板進行減振優(yōu)化設(shè)計,提高了材料的減振性能。Barbier等[18]利用完全非線性策略和簡化策略提出了預(yù)定載荷下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,為考慮損傷的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化提供了借鑒。張超等[19]利用拓撲優(yōu)化對車體阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化,有效的降低了駕駛室內(nèi)的噪聲。

基于拓撲優(yōu)化的結(jié)構(gòu)設(shè)計,在保證設(shè)計效率與精度的同時又可以實現(xiàn)多目標多領(lǐng)域設(shè)計[20]。本文將利用結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法,在研究粘彈性阻尼層結(jié)構(gòu)與板殼結(jié)構(gòu)的動力學特性基礎(chǔ)上,建立模態(tài)損耗因子最大化的板殼結(jié)構(gòu)設(shè)計方法,提高其固有特性與減振的結(jié)構(gòu)設(shè)計能力,實現(xiàn)織機類板殼結(jié)構(gòu)的輕量化。

1 粘彈性材料的有限元模型

本文采用約束阻尼結(jié)構(gòu),如圖1所示,其中下標b、c、v分別表示基板、約束層和阻尼層,h表示每層的厚度。相較對于一般線性單元材料,當阻尼材料受到?jīng)_擊或振動時其內(nèi)部會產(chǎn)生一定的變形,其變形圖如圖1(b)所示。等作用力消失后,彈性體內(nèi)的受到的機械能會暫時存儲起來,阻尼結(jié)構(gòu)將會受到振動沖擊,隨后機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能消耗能量,阻尼結(jié)構(gòu)的振幅也隨之降低,因此對阻尼結(jié)構(gòu)本構(gòu)關(guān)系建模是必要的。

圖1 約束阻尼結(jié)構(gòu)Fig.1 Constraint damping structure

1.1 本構(gòu)關(guān)系復(fù)數(shù)模型

在力學上約束阻尼材料應(yīng)變遲滯后于應(yīng)力產(chǎn)生的遲滯現(xiàn)象,可通過復(fù)常數(shù)模量模型的表現(xiàn)形式表示其特性,材料本構(gòu)關(guān)系表達式如式(1)所示:

E=E′+iE″=E′(1+iη)

(1)

η=E″/E′

(2)

鑒于粘彈性材料阻尼特性,在受到不同激勵以及不同溫度下對材料有不同的力學性能影響,故本文采用的模型影響較小的復(fù)常數(shù)模型,且為提高計算效率本文不考慮頻率和溫度等相關(guān)材料特性。

1.2 粘彈性材料有限元模型

本文采用約束阻尼板其有限元模型示意圖如 圖2 所示,板殼結(jié)構(gòu)采用四節(jié)點二維單元離散,每個節(jié)點有7個自由度,分別是基層的位移ub和vb、約束層的位移w以及法向分別繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)位移θx和θy其節(jié)點位移表達式如式(3):

(3)

圖2 約束阻尼有限元模型Fig.2 Constrained damping finite element model

式(3)中:

(4)

在阻尼板中可由節(jié)點單元4個位移矢量的插值得到任意點位移:

{ucvcubvbwθxθy}T={NucNvcNubNvbNwNθxNθy}Tue

(5)

其中Nuc、Nvc、Nub、Nvb、Nw、Nθx、Nθy分別為uc、vc、ub、vb、w、θx、θy對應(yīng)的形函數(shù)。

1.3 彈性材料動力學模型

在使用有限元方法對帶有粘彈性阻尼材料的結(jié)構(gòu)進行分析時,根據(jù)Hamilton原理建立無阻尼結(jié)構(gòu)振動的運動微分方程為:

Mü+Ku=0

(6)

式中:u為節(jié)點位移矢量;M和K分別是全局質(zhì)量矩陣和全局剛度矩陣,其表現(xiàn)形式為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中i=b,c,v表示基層、約束層和阻尼層,Ei、Bi、Ni分別為每層的應(yīng)變勢能、應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣以及形函數(shù),Di表示每層的彈性常數(shù)矩陣,為其表現(xiàn)形式為:

(12)

由于粘彈性阻尼材料的阻尼系數(shù)較小,因此可以假設(shè)阻尼結(jié)構(gòu)具有與無阻尼結(jié)構(gòu)相似的共振頻率和模態(tài),故本文采用模態(tài)應(yīng)變能法[21]。其中結(jié)構(gòu)的總模態(tài)應(yīng)變能為:

(13)

式中K為復(fù)合結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,基于模態(tài)應(yīng)變能法求出第r階模態(tài)阻尼比近似為:

(14)

式中:Ebr、Evr、Ecr分別是基層、阻尼層和約束層第r階模態(tài)應(yīng)變能。

2 優(yōu)化數(shù)學模型及靈敏度分析

通過對約束阻尼結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析后,需要分析粘彈性阻尼材料在結(jié)構(gòu)中的分布。在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中,根據(jù)目標函數(shù)對設(shè)計變量進行靈敏度分析是核心環(huán)節(jié),通過靈敏度分析可以確定設(shè)計變量對目標函數(shù)的影響程度,目標函數(shù)自動尋優(yōu)確定最終最優(yōu)拓撲構(gòu)型,獲得最佳的阻尼材料分布。

2.1 優(yōu)化數(shù)學模型

本文以約束阻尼材料用量為約束條件,模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標函數(shù),從而達到抑制振動的目的?；诿芏确?約束阻尼拓撲優(yōu)化模型如下:

(15)

式中:xi是設(shè)計變量表示約束阻尼材料第i個單元的存在狀態(tài)。其中1代表結(jié)構(gòu)表面覆蓋阻尼材料和約束材料。為了避免計算時剛度矩陣出現(xiàn)奇異解,故本文最小相對密度xmin取值為0.001。n為阻尼單元的總個數(shù),ξr為第r階模態(tài)損耗因子,V是體積約束;Vi表示約束阻尼材料的體積。

2.2 密度插值模型與靈敏度分析

基于阻尼材料的本構(gòu)關(guān)系結(jié)合優(yōu)化模型,對阻尼層與約束層采用SIMP法進行設(shè)計變量懲罰,得到整體剛度矩陣與質(zhì)量矩陣:

(16)

(17)

式中:p為剛度矩陣懲罰因子,q為質(zhì)量矩陣懲罰因子。

為分析設(shè)計變量對結(jié)構(gòu)整體性能的影響,根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型,通過目標函數(shù)對設(shè)計變量求偏導,可得:

(18)

本文針對基于simp方法中常出現(xiàn)的棋盤格以及網(wǎng)格依賴等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,采用工程中廣泛應(yīng)用的Sigmund所提的敏度過濾技術(shù)[22]。該技術(shù)在確定中間單元后為其設(shè)定一個最小過濾半徑rmin,并對該單元過濾半徑之內(nèi)的各個單元引入卷積因子進行加權(quán)平均處理,從而使得在中間單元附近的單元敏度值都比較高,反之較低。在不同的區(qū)域附近有著不同的情況,即原中心單元的敏度值被過濾區(qū)域加權(quán)平均敏度值所替代,過濾后的敏度表達式,具體如下:

(19)

(20)

在更新迭代時,本文采用傳統(tǒng)OC法對優(yōu)化模型設(shè)計變量進行更新[23]。

(21)

式中:ε為拓撲變量移動極限,n是迭代的步數(shù),n=0.5,D為目標函數(shù)、體積約束對設(shè)計變量導數(shù)的比值:

(22)

3 優(yōu)化算例

綜框結(jié)構(gòu)主要由上下橫梁、左右側(cè)板、綜絲夾、穿綜桿等零部件構(gòu)成。根據(jù)高速織機綜框的設(shè)計參數(shù)要求,構(gòu)建綜框橫梁板殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計域并進行優(yōu)化設(shè)計。本算例選取幅寬為230 cm的O型綜框結(jié)構(gòu)為設(shè)計目標,橫梁的寬度120 mm,考慮綜框上下橫梁導板約束的影響,本案例僅截取導板到側(cè)擋板之間的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化,導板到側(cè)擋板之間的距離為480 cm,其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示。

圖3 綜框結(jié)構(gòu)Fig.3 Heald frame structure sketch

3.1 算例1

為驗證本方法建模與振動特性計算的準確性,與圖4典型四邊簡支模型[21]進行對比?；迮c約束板均為鋁板彈性模量均為6.89×104MPa,泊松比為0.3,密度為2700 kg/m3。阻尼層剪切模量為0.896 MPa,泊松比為0.49,密度為999 kg/m3。

圖4 典型四邊簡支模型結(jié)構(gòu)Fig.4 Structural sketch of a typical four-sided simply supported model

與該模型保持一致采取80×80的網(wǎng)格劃分,其計算結(jié)果如表1所示,可以看出本文有限元模型與文獻[21]解析解的固定頻率值基本一致,誤差保持在2.22%以內(nèi),驗證了本文有限元方法的正確性。

表1 約束阻尼板振動特性結(jié)果對比Tab.1 Comparison of vibration characteristics of constrained damping plates

3.2 算例2

本文構(gòu)建的約束阻尼板結(jié)構(gòu)簡圖如圖5所示,長度為480 mm,寬度為120 mm。為避免出現(xiàn)大量的中間密度單元獲得更精細的結(jié)構(gòu)特征,本文過濾半徑設(shè)為1.3,網(wǎng)格劃分為48×12。本案例僅以一階模態(tài)阻尼比進行優(yōu)化設(shè)計。

圖5 約束阻尼板殼結(jié)構(gòu)Fig.5 Constrained damping plate shell structure sketch

基板材料采用鋁板,其彈性模量為70 GPa,泊松比為0.3,密度為2700 kg/m3。粘彈性層采用寬溫域約束阻尼膠片,不考慮溫度等影響,其剪切模量為13.38 MPa,泊松比為0.495,密度為1450 kg/m3,約束層其彈性模量為72 GPa,泊松比為0.33,密度為2700 kg/m3。采用兩端固定形式,其具體材料參數(shù)如表2所示。

表2 約束阻尼板各層材料幾何參數(shù)和屬性參數(shù)Tab.2 Constraint damping plate material geometry and property parameters of each layer

本文以全覆蓋的約束阻尼使用量40%、50%、60%為約束條件,以一階模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標,過濾半徑設(shè)為1.3,剛度懲罰因子與質(zhì)量懲罰因子分別設(shè)置為3和1。圖6為不同體積約束下的優(yōu)化圖,可以看出在不同體積約束下均能獲得較清晰的拓撲構(gòu)型。

圖6 不同體積約束下的優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization results with different volume constraints

由圖7可知對比優(yōu)化前的固有頻率優(yōu)化后均有所減小,但隨體積約束的增加也隨之增加,所以本方法能在不改變固有特性的前提下,結(jié)合拓撲優(yōu)化技術(shù)既能減少阻尼材料,又能達到減振的效果從而驗證本方法的有效。

圖7 不同體積約束下的優(yōu)化結(jié)果對比Fig.7 Comparison of optimization results under different volume constraints

為了進一步探究懲罰因子的選擇對優(yōu)化結(jié)構(gòu)的影響,本文以體積約束為50%設(shè)置了不同的懲罰因子組合,圖8為不同懲罰因子組合下的優(yōu)化結(jié)果。由優(yōu)化結(jié)果圖8可知,其中不同懲罰因子組合對材料的數(shù)量和位置也有一定的影響。從圖8 中可以看出質(zhì)量懲罰因子對拓撲構(gòu)型影響較小,而優(yōu)化構(gòu)型主要受剛度懲罰因子的影響。由圖8可知,當p=1幾乎沒有懲罰的效果,不便于實際工程制造。當p為其他值時,優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)有明顯的結(jié)構(gòu)模型符合實際結(jié)構(gòu)設(shè)計的要求。并且隨著剛度懲罰因子p的增大,拓撲構(gòu)型逐漸清晰緊湊,但阻尼耗因子隨之下降,且隨質(zhì)量懲罰因子q的增加結(jié)構(gòu)的損耗因子也略微下降。因此p值設(shè)置2,3都比較合適,q值可相對取小一點,其他情況根據(jù)所優(yōu)化的模型設(shè)置合適的懲罰因子,即可獲得最佳的拓撲結(jié)構(gòu)。

圖8 不同懲罰因子組合下的優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimization results with different combinations of penalty factors

圖9為圖8(d)的拓撲優(yōu)化迭代圖,可以看出整體迭代過程穩(wěn)定,隨著迭代步數(shù)的增加,灰度單元逐漸減少并最終趨于最優(yōu)分布的拓撲構(gòu)型,進一步說明本算法的有效性。

圖9 圖8(d)拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代收斂過程Fig.9 Figure 8(d) topology optimization iterative convergence process

4 結(jié) 論

拓撲優(yōu)化在各個設(shè)計領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用前景,是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化提高設(shè)計效率的有效手段。本文結(jié)合拓撲優(yōu)化技術(shù)對綜框類板殼結(jié)構(gòu)進行性能分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計,結(jié)論如下:

a)基于可變密度法對其進行優(yōu)化設(shè)計,建立拓撲優(yōu)化模型,給出了靈敏度過濾的計算方法,以阻尼損耗因子為目標函數(shù)采用不同體積約束,并得到相應(yīng)的拓撲優(yōu)化構(gòu)型,論證了設(shè)計方法的有效性。

b)根據(jù)綜框阻尼板實例探討不同剛度懲罰因子與質(zhì)量懲罰因子的組合,結(jié)果表明通過合適的懲罰因子組合,可以獲得最佳的拓撲結(jié)構(gòu)。

c)既提高計算的效率和精度又提高材料的利用率,對降低機械振動、改善車間環(huán)境、增強機械系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和可靠性具有很強的現(xiàn)實意義。但是從所獲得的優(yōu)化構(gòu)型來看,還是存在部分的灰度單元,結(jié)構(gòu)邊界不夠光滑,此外可能還有其他約束條件導致了拓撲優(yōu)化結(jié)果的差異,需要進一步尋找更佳的參數(shù)組合。