廖鵬，張虞，劉飛，馬憲智

（中國船舶集團(tuán)有限公司 第七〇三研究所 無錫分部，江蘇 無錫 214151）

0 引言

三弧段等距型面屬于型面聯(lián)接的一種，這種聯(lián)接屬于無鍵聯(lián)接[1]。等距型面聯(lián)接的主要優(yōu)點(diǎn)：1）能夠自動定心；2）無應(yīng)力集中；3）軸、輪轂及動力傳遞部分強(qiáng)度高；4）各方向具有等尺寸性，測量方便；5）廓形曲線為圓弧，便于加工[2]。這種聯(lián)接結(jié)構(gòu)適合在高轉(zhuǎn)速、大轉(zhuǎn)矩、安裝空間要求小和振動要求高的場合使用。國外將該結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于機(jī)床、礦山機(jī)械、高速水力測功器等領(lǐng)域[3]。近年來，國內(nèi)學(xué)者對三弧段等距型面聯(lián)接做了大量研究：鄭友益等[4]對三弧段等距型面曲線方程和旋輪線型面曲線方程做了詳細(xì)推導(dǎo)，并從測量方便的角度得出三弧段等距型面曲線比旋輪線型面曲線更優(yōu)越的結(jié)論；王德勝等[5]通過幾何關(guān)系研究了三弧段等距型面型面公差配合的影響因素，并給出了選用原則；杜可可等[6]基于三弧段等距型面結(jié)構(gòu)分析，應(yīng)用CAD/CAM軟件得到了三弧段等距型面圖形、輪廓刀具路徑及NC數(shù)控加工程序，并實(shí)施了實(shí)體切削仿真；呂寶占等[7]基于等距型面工作原理，導(dǎo)出了三弧段等距型面軸強(qiáng)度近似計算方法，該方法簡單、方便，能夠滿足工程需要；王德勝等[8]介紹了三弧段等距型面工作表面擠壓應(yīng)力的計算公式與三弧段等距型面聯(lián)接擠壓強(qiáng)度的驗(yàn)算條件，并通過應(yīng)用實(shí)例分析了三弧段等距型面孔與軸的工藝性；以上研究主要集中于輪廓曲線方程推導(dǎo)、強(qiáng)度驗(yàn)算、型面公差配合選用、數(shù)控加工等方面，而對于三弧段等距型面曲線參數(shù)計算的研究很少。廖鵬等[9]提出了最大距離比較模型及最小二乘模型，采用該模型得到了某型水力測功器主軸三弧段等距型面擬合曲線及其設(shè)計參數(shù)，但參數(shù)計算過程較為繁瑣。因此，找到一種更為簡單的參數(shù)計算方法有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用前景。

本文首先分別介紹了三弧段等距型面曲線的成型原理、曲線方程，再針對某型高速水力測功器主軸三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)，通過提出的簡單參數(shù)計算方法，得到了某型高速水力測功器主軸三弧段等距型面擬合曲線及其設(shè)計參數(shù)。三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)吻合程度高，驗(yàn)證了本文提出方法的準(zhǔn)確性，為今后某型高速水力測功器主軸三弧段等距型面的加工設(shè)計提供參考。

1 三弧段等距型面曲線

1.1 三弧段等距型面曲線成型原理

如圖1所示，三弧段等距型面曲線中心位于坐標(biāo)系原點(diǎn)o，其由3組半徑為r1、r2的圓弧依次相切組成，3組圓弧圓心在半徑為7.5e（e為偏心量）的圓上，且互成120°。三弧段等距型面曲線內(nèi)切圓直徑為d3，外切圓直徑為d2，任意兩條相切于該廓形曲線的平行線之間的距離均等于d1（d1為等距值）。其中，半徑7.5e的圓稱為三弧段等距型面曲線的基圓，r1為大圓弧半徑，r2為小圓弧半徑。

圖1 三弧段等距型面曲線圖

圖1中各參數(shù)存在如下關(guān)系：

1.2 三弧段等距型面曲線方程

建立xoy坐標(biāo)系，如圖2所示，三弧段等距型面曲線方程[10]為:

圖2 三弧段等距型面曲線方程

式中：R為平均半徑；e為偏心量；φ為角參數(shù)，即三弧段等距型面曲線上任意一點(diǎn)m的法線與x軸之間的夾角，0≤φ≤2π。

以o為原點(diǎn)，ox為極軸，則三弧段等距型面曲線的極坐標(biāo)方程為：

對于三弧段等距型面曲線，其基本參數(shù)為R和e，R主要影響廓形曲線的輪廓大小，e主要影響廓形曲線的形狀。

2 三弧段等距型面曲線擬合

2.1 三弧段等距型面曲線設(shè)計參數(shù)計算

已知某型大功率高速水力測功器主軸三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)，如圖3所示，現(xiàn)需確定該軸三弧段等距型面曲線參數(shù)。根據(jù)式（1），三弧段等距型面曲線內(nèi)切圓直徑d3與外切圓直徑d2可通過作圖求出，偏心量e按式（4）計算得到：

圖3 三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)

通過式（1）計算得到等距值d1，平均半徑R計算公式為

計算結(jié)果如表1所示。

表1 參數(shù)計算結(jié)果

至此，三弧段等距型面曲線設(shè)計參數(shù)均已獲得。

2.2 三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)數(shù)據(jù)處理

由三弧段等距型面曲線極坐標(biāo)方程可以看出，對于任意給定的角參數(shù)φ，都能計算得到相應(yīng)的極角θ和極徑ρ，極角θ和極徑ρ存在一一對應(yīng)的關(guān)系，但無法直接給出極徑ρ關(guān)于極角θ的方程。這給三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)的比較帶來了困難。因此，有必要對三弧段等距型面曲線的實(shí)際測點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

通過三坐標(biāo)測量儀，可以得到某型大功率高速水力測功器主軸三弧段等距型面曲線（任意截面）實(shí)際測點(diǎn)，得到的數(shù)據(jù)是各個測點(diǎn)的平面坐標(biāo)值（x，y），三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極徑ρ1和極角θ1計算公式為：

式中，極角θ1計算結(jié)果在［-π/2，π/2］范圍內(nèi)變化。而式（3）中極角θ的變化范圍為［0，2π］，因此需要讓三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極角θ1也在［0，2π］范圍內(nèi)變動。根據(jù)正切函數(shù)y=tan x的曲線特點(diǎn)，將三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)按所在象限分為A、B、C三組，通過編程實(shí)現(xiàn)將三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極角θ1在［0，2π］范圍內(nèi)變動。

由于某型大功率高速水力測功器主軸在使用過程中出現(xiàn)局部變形或機(jī)械加工偏差過大，三弧段等距型面曲線（任意截面）實(shí)際測點(diǎn)所形成的軌跡趨勢與理論曲線趨勢會存在一定偏差，這種偏差導(dǎo)致通過三弧段等距型面曲線（任意截面）實(shí)際測點(diǎn)計算得到的極角會出現(xiàn)失真的情況，即：在第一象限內(nèi)，隨著三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)坐標(biāo)x值的減小，極角反而減小。因此需要排除這些失真測點(diǎn)。在得到三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)極角θ1的情況下，通過編程將三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)極角θ1中的失真測點(diǎn)排除。

由式（3）可知，三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極角、極徑方程屬于關(guān)于參數(shù)φ的參數(shù)方程，由于該方程不管是通過極徑還是極角都難以直接求解參數(shù)φ，若想通過參數(shù)φ在三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)之間建立聯(lián)系將顯得非常困難，因此需要尋求其它的方法來解決這一難題。這里，由于目前已經(jīng)得到三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極徑、極角值，而三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)的極徑、極角值可以通過更改計算步長的辦法得到，為了保證三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)的極徑、極角值能夠覆蓋三弧段等距型面曲線實(shí)際測點(diǎn)的極徑、極角值，計算步長的取值可以盡可能地小，這里取0.001。當(dāng)找到三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)相同的極角值時，兩者對應(yīng)的極徑差值即可求出。在尋找三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)的相同極角值時，需要設(shè)定一個誤差范圍，保證能夠收斂，并且這個誤差范圍是可以接受的，這里我們?nèi)≌`差范圍delta的值小于0.000 014。通過編程篩選出三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)的相同極角值。

通過上述得到的三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)的極徑值，可以得到三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑ρ0與實(shí)際測點(diǎn)極徑ρ差值隨角度θ變化的關(guān)系曲線（如圖4），以及三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑ρ0相對誤差ε隨角度θ變化的關(guān)系曲線（如圖5）。三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑ρ0相對誤差ε計算公式為

圖4 擬合曲線與測點(diǎn)極徑差值隨角度變化曲線

圖5 擬合曲線極徑相對誤差隨角度變化曲線

從圖4可以看出，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)基本吻合，兩者極徑差值隨角度在-0.09～0.02 mm范圍內(nèi)變化。角度在0°～60°范圍內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值隨著角度的增大而增大；角度在60°～250°范圍內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值隨角度的增大而呈減小趨勢，在160°～180°范圍內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值隨角度的增大而增大，原因可能是某型高速水力測功器主軸三弧段等距型面在180° 位置附近由于受力變形或者加工偏差過大；角度在250°～360°范圍內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值隨角度的增大而增大。理論上，對于一根未投入使用的三弧段等距型面軸而言，擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值與角度呈周期性變化關(guān)系，在圖4中，添加ρ0－ρ=0.035水平線，圖4曲線近似呈周期性變化，因此，本文針對三弧段等距型面參數(shù)計算所采用的方法準(zhǔn)確，可為今后某型大功率高速水力測功器主軸三弧段等距型面的加工設(shè)計提供參考。

從圖5可以看出，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑相對誤差基本控制在0.09%以內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑相對誤差的變化趨勢與圖4曲線變化趨勢基本一致，誤差滿足工程需要，進(jìn)一步說明本文采用的參數(shù)計算方法準(zhǔn)確可靠，所得到的參數(shù)可以作為某型高速水力測功器三弧段等距型面曲線的設(shè)計參數(shù)。

3 結(jié)語

本文介紹了三弧段等距型面曲線的成型原理、曲線方程，選取某型大功率高速水力測功器主軸三弧段等距型面曲線測點(diǎn)作為研究對象，提出一種簡單的參數(shù)計算方法，通過該方法得到了三弧段等距型面曲線偏心量、等距值等設(shè)計參數(shù)，再通過極坐標(biāo)方程得到三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)。

經(jīng)與實(shí)際測點(diǎn)對比分析，得出如下結(jié)論：1）得到了某型大功率高速水力測功器三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)及其設(shè)計參數(shù)，以期為高速水力測功器主軸的加工設(shè)計提供參考；2）三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)基本吻合，兩者極徑差值隨角度在-0.09～0.02 mm范圍內(nèi)變化，變化趨勢呈先增、后減、再增，曲線近似呈周期性變化，說明本文采用的方法準(zhǔn)確可靠；3）在160°～180°范圍內(nèi)，三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)與實(shí)際測點(diǎn)極徑差值隨角度的增大而增大，原因可能是某型高速水力測功器主軸三弧段等距型面在180°位置附近受力變形或加工偏差過大；4）三弧段等距型面擬合曲線理論坐標(biāo)點(diǎn)極徑相對誤差基本控制在0.09%以內(nèi)，變化趨勢與極徑差值曲線基本一致，誤差滿足工程需要，說明本文采用的參數(shù)計算方法準(zhǔn)確可靠，所得到的參數(shù)可以作為某型高速水力測功器三弧段等距型面曲線的設(shè)計參數(shù)。