江蘇省南京江北新區(qū)浦口外國語學(xué)校(210031)高凱亮

類比一詞源自于古希臘,原來是指“比例、比重”的含義,隨著語言的發(fā)展,被翻譯為具有等比重關(guān)系類似地事物. 所謂類比,是指兩種類似地事物根據(jù)一種事物的性質(zhì)或特征推理出另一種事物也具有相同(相似)的性質(zhì)或特征,它是合情推理的重要方式之一,也是教學(xué)中常用的方法. 下文將蘇科版教材七上“角”模塊的內(nèi)容進(jìn)行整合,類比線段的學(xué)習(xí)過程構(gòu)建出角的研究路徑,“課前、課中、課后”逐步滲透類比思想. 在知識層面上,讓學(xué)生自主認(rèn)識到線段、角兩種基本平面圖形定義方式所存在的“異”;在學(xué)習(xí)方法層面上,引領(lǐng)學(xué)生體會線段、角兩種基本平面圖形研究路徑的“同”;幫助學(xué)生建立具有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識體系[1].

1 整體視角下“角”的教學(xué)內(nèi)容分析及思考

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 版)》指出需要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,幫助學(xué)生從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容[1].“角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容在蘇科版教材七上第六章,教材預(yù)計兩個課時完成,但是在實際教學(xué)中,往往需要3 個課時才能完成. 筆者執(zhí)教前將該模塊內(nèi)容整合成以下3 個課時,第1 課時教學(xué)內(nèi)容為類比線段的學(xué)習(xí)路徑構(gòu)建出角的學(xué)習(xí)路徑并展開研究,第2 課時教學(xué)內(nèi)容為角的綜合計算,第3 課時教學(xué)內(nèi)容為做一個角等于已知角. 整合教學(xué)內(nèi)容的目的有兩個,第一,體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容;第二,為類比線段研究角提供有力載體;在此過程中讓學(xué)生感悟到知識的整體性與連續(xù)性,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“圖形與幾何”模塊內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

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2 “前測”內(nèi)容設(shè)計說明及數(shù)據(jù)分析

2.1 “前測”內(nèi)容設(shè)計說明

小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“線段、角”這兩種基本平面圖形, 該內(nèi)容在蘇科版教材四年級上冊第八章垂線與平行線,學(xué)習(xí)的順序仍是先認(rèn)識線段再認(rèn)識角,小學(xué)階段“角”的學(xué)習(xí)內(nèi)容如下: (1)會用量角器度量角的大小；(2)了解角的分類(銳角、直角、鈍角)；(3)了解特殊角(直角、平角、周角)；(4)能用三角板畫15°倍數(shù)的角. 有見及此,筆者執(zhí)教前給全班45位學(xué)生做了一份“前測”. 第1 題是考察學(xué)生能否從宏觀角度自主構(gòu)建出角的研究路徑;第2 題是考察學(xué)生對銳角、直角、鈍角的認(rèn)識,是否能用角的組成元素或角的動態(tài)形成過程給角下定義;第3 題是考察學(xué)生是否能將比較線段大小的方法(度量法、疊合法)類比遷移至比較角的大小; 第4 題是考察學(xué)生是否能將數(shù)線段的方法類比遷移至角中;第5 題是考察學(xué)生是否能自主將線段的題目改編成角的題目. 綜上分析,前測的目的主要是有兩個,第一,檢測學(xué)生對于角的認(rèn)識到達(dá)哪一個結(jié)構(gòu)層次;第二,能否將線段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗自主地遷移至角的研究中.

2.2 “前測”數(shù)據(jù)統(tǒng)計及分析

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通過收集、統(tǒng)計、整理“前測”數(shù)據(jù),獲得每一題不同答題表征及班級人數(shù)占比,從第1 題來看,能類比線段的學(xué)習(xí)路徑從宏觀角度構(gòu)建出角的研究路徑人數(shù)占比為37.8%,所占比例不高;筆者分析后認(rèn)為,線段是學(xué)生初中階段“圖形與幾何”模塊第一個從宏觀與微觀兩個視角研究的基本平面圖形,學(xué)生僅經(jīng)歷一次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)基本平面圖形(線段),沒有形成一個固定研究幾何圖形的“套路”,這應(yīng)該屬于正常現(xiàn)象. 從第2 題來看,學(xué)生能準(zhǔn)確區(qū)分銳角、直角、鈍角的正確率高達(dá)100.0%,但是對于從靜態(tài)(角的組成元素)描述角的正確率較低,甚至沒有學(xué)生從動態(tài)的視角描述角.

因此,第1 節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)角度認(rèn)識角是一個重要的教學(xué)目標(biāo). 從第3 題來看,會用量角器度量判斷圖中兩個角一樣大的人數(shù)占比高達(dá)100.0%,但是能用疊合法判斷圖中兩個角一樣大的人數(shù)占比僅11.1%,班級人數(shù)占比較低,歸根結(jié)底是沒有從動態(tài)的眼光看圖所導(dǎo)致的. 從第4 題來看,大部分學(xué)生能夠找出所有的角,但是能夠表達(dá)清楚找角的方法的人數(shù)占比有所降低,因此,后續(xù)教學(xué)中筆者需要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力以及解題方法的總結(jié)能力. 從第5題來看,學(xué)生能夠?qū)⒕€段的題目完全正確改寫為角的題目人數(shù)占比略低,部分學(xué)生能夠?qū)㈩}目完全改寫正確,但是解題過程中缺少分類討論的意識,產(chǎn)生漏解的情況. 第5 題對于學(xué)生來說有一定的難度,能將題目改寫正確的人數(shù)占比還是略低,這是學(xué)生類比遷移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗較弱導(dǎo)致的,這也正為筆者在后續(xù)教學(xué)中指引了正確的教學(xué)方向.

綜上分析,“角”模塊第1 課時制定的教學(xué)目標(biāo)如下: (1)回顧線段的學(xué)習(xí)路徑構(gòu)建“角”的研究路徑;能從靜態(tài)與動態(tài)兩個視角描述角,會用數(shù)學(xué)符號表示角;(2)能用度量法、疊合法比較角的大小(重點是疊合法,度量法學(xué)生已經(jīng)掌握);(3)能正確進(jìn)行角的和差運(yùn)算,會進(jìn)行單位換算;(4)了解角平分線的定義,能從動態(tài)的眼光認(rèn)識角平分線;(5)通過“課中、課后改題”,感悟類比思想.

“角”模塊第2 課時制定的教學(xué)目標(biāo)如下: (1) 通過改編線段題目,將“雙中點”模型類比遷移出“雙角平分線”模型,能用“因為……所以……”的方式進(jìn)行推理,弄清“因”與“果”的關(guān)系(2)通過“課前改題、課中分享、課后再改題”三個循序漸進(jìn)的環(huán)節(jié),深刻感悟類比思想的魅力.

3 教學(xué)設(shè)計

3.1 “角”第1 課時教學(xué)過程

問題1上節(jié)課我們研究了線段,本節(jié)課研究角,應(yīng)該從哪些方面對角展開研究呢?

追1從哪兒獲得的經(jīng)驗? (形成研究角的內(nèi)容框架)

問題2請畫出一個角,根據(jù)你畫出的圖形(或過程),嘗試給角下定義.

追1如果沒有方向的同學(xué)請觀察你畫的角,它們的組成元素是什么呢? (歸納出靜態(tài)角的定義)

追2生活中見過角嗎? 舉例說明.

追3用筆“比劃”一下角的形成過程,還可以怎么給角下定義呢? (歸納出動態(tài)角的定義)

追4下面,我們看看如何表示角.

問題3如何比較角的大小?

追1“前測”第3 題大部分同學(xué)是用量角器度度量出角的度數(shù),進(jìn)而比較出角的大小. 還有別的方法嗎? (疊合法)

追2從哪兒獲得的經(jīng)驗?

追3角的單位除了度以外,還有哪些呢? 一起了解一下吧.

練習(xí)0.7°=____′;78°54′=____°.

問題4圖中存在角的和差關(guān)系嗎? 若存在,請寫出.

追1若射線OB在∠AOC內(nèi)部運(yùn)動,射線OB是否存在比較特殊的位置呢?

追2如何說明射線OB運(yùn)動到∠AOC“中間”的位置就一定是∠AOC的角平分線呢?

追3用量角器度量出∠AOB和∠BOC的大小,如果兩個角的度數(shù)一樣,那么射線OB是∠AOC的角平分線.

追4還有別的方法嗎? 能從其它視角驗證嗎? (引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)視角驗證,沿射線OB翻折)

問題5請大家看前測第5 題,我們來改寫這道線段的題目.

追1線段AB在這道題目當(dāng)中處于什么地位呢? (是最長的線段)若改寫為角的題目應(yīng)該是這道題目中最大的角.

追2點C是線段AB的中點,對應(yīng)到角的題目中是什么條件呢? (射線OC是∠AOB的角平分線)

追3點D在直線CB上,且DB=2;對應(yīng)到角的題目中是什么條件呢? (∠DOB等于某個度數(shù),但不會比∠COB的度數(shù)大)

追4求線段CD長,對應(yīng)到角的題目中是什么問題呢?(求∠COD的度數(shù))

師生活動師生共同改寫好題目后,學(xué)生先嘗試獨立解決,教師分步適時介入指導(dǎo),前測完全正確的學(xué)生和教師一起在班級巡視,幫助有困難的學(xué)生.

問題6學(xué)完本節(jié)課,你有哪些收獲?

師生活動引導(dǎo)學(xué)生從宏觀視角總結(jié)出“角”的研究路徑,固化研究基本平面圖形的“套路”;小組討論總結(jié)“線段的題目”改寫為“角的題目”的心得與收獲(教師在以上教學(xué)中形成結(jié)構(gòu)化的板書).

3.2 “角”第1 課時作業(yè)設(shè)計及說明

部分作業(yè)設(shè)計請將兩道與線段相關(guān)的題目改寫成角的題目.

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設(shè)計說明“角”第1 課時的作業(yè)盡量以基礎(chǔ)題目為主,圖形不建議過于復(fù)雜,筆者在課后作業(yè)中設(shè)計了2 個探究性問題,第1 題可改寫為角的“等量±等量”問題;第2 題可改寫為“雙角平分線”模型;目的是給學(xué)生提供課后類比線段學(xué)習(xí)的載體.

3.3 “角”第2 課時教學(xué)過程

設(shè)計說明教師講解“角”第1 課時作業(yè)基礎(chǔ)題中出現(xiàn)的典型問題. 分析如何將圖8 中線段題目改寫成角的題目,并引導(dǎo)學(xué)生對獲得的一般性結(jié)論進(jìn)行證明,用“因為……所以……”的方式進(jìn)行推理,弄清“因”與“果”的關(guān)系.

3.4 “角”第2 課時作業(yè)設(shè)計及說明

作業(yè)設(shè)計請在課本線段模塊選擇3 道題目改寫成角的題目;也可以嘗試對線段的題目進(jìn)行改編后再改寫.

設(shè)計說明教師講解“角”第2 課時作業(yè)時,盡可能多展示一些學(xué)生的作品, 并引導(dǎo)學(xué)生分析如何對題目進(jìn)行變式,例如,將問題特殊化、一般化、條件與結(jié)論互換等.

4 總結(jié)與反思

4.1 “適時”類比,把握教學(xué)時機(jī)

有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者. 教師在課堂教學(xué)中分步適時介入指導(dǎo)需要找準(zhǔn)時機(jī),達(dá)到“不憤不啟,不悱不發(fā)”的境界. 筆者在課前對教材分析時發(fā)現(xiàn),該內(nèi)容學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過,由此,給全班45 名學(xué)生做了一份前測,其目的是精準(zhǔn)定位本節(jié)課的起點、生長點與延伸點,明確在課堂上什么環(huán)節(jié)需要“啟、發(fā)”. 前測完全正確的學(xué)生和教師在班級中巡視,幫助有困難的學(xué)生,點撥過程中引導(dǎo)學(xué)生回顧是如何解決改編前的線段問題,類似角的問題應(yīng)該如何解決,教會學(xué)生如何想問題. 課堂中把握好教學(xué)的時機(jī),能大大提高課堂效率.

4.2 “適度”類比,深化知識理解

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 版)》指出教師需要在課前明確“為什么教”、“教什么”、“教到什么程度”,這能夠有助于教師實現(xiàn)“教學(xué)評”一致性. 眾所周知,從動態(tài)角度觀察圖形是“圖形與幾何”模塊中重要的觀察視角. 通過統(tǒng)計前測第2 題數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),全班所有學(xué)生對角的描述沒有動態(tài)視角,因此,教師在生成角的定義環(huán)節(jié),把從動態(tài)視角描述角作為該環(huán)節(jié)的重點,筆者執(zhí)教時通過引導(dǎo)學(xué)生從“畫角—靜態(tài)描述角—列舉生活中的角—用筆“比劃”角—動態(tài)描述角”五個循序漸進(jìn)的環(huán)節(jié)展開,讓學(xué)生對“角”有更深刻的認(rèn)識.在疊合法比較角的大小、軸對稱視角再次認(rèn)識角(角平分線環(huán)節(jié))兩個環(huán)節(jié)都有意識地放慢“腳步”,增強(qiáng)學(xué)生從動態(tài)視角觀察幾何圖形的意識.

4.3 類比思想主導(dǎo),課后設(shè)計“適量”的思維生長鏈

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說:“如果你想感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與真諦,那么歸納和類比是你的主要工具”[3]. 很多數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都用到類比思想,例如,筆者在“角”的第1 課時課后作業(yè)中設(shè)計了讓學(xué)生將線段的問題改寫成角的問題,第2 節(jié)課是第1 節(jié)課作業(yè)的延續(xù),第2 課時課后作業(yè)中設(shè)計了讓學(xué)生在課本中任選3 道線段的題目改寫成角的題目,并思考在求解過程中你有沒有什么特殊的發(fā)現(xiàn)? 發(fā)現(xiàn)的結(jié)論具有一般性嗎? 說明理由,讓學(xué)生在情境中自主的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題,線段存在的問題,猜想角是否也會存在呢? 從真正意義上做到將學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生. 從某種意義來說,設(shè)計適量類似于上文中這樣的作業(yè),不僅能夠讓知識、思維自然生長,還是對學(xué)生思考問題的方式、學(xué)習(xí)方法等諸多方面的指導(dǎo).

5 結(jié)束語

類比思想僅憑幾節(jié)課就能夠讓學(xué)生應(yīng)用自如過于理想化,教師在教學(xué)中不僅需要在課堂上給學(xué)生播下一顆如何思考問題的種子,還需要在課后作業(yè)中設(shè)計知識、思維的生長鏈;從真正意義上實現(xiàn)“教師主導(dǎo)與學(xué)生主體”的完美統(tǒng)一.