金妤茜

【摘 要】義務教育階段數(shù)學體系的完整建構離不開小初銜接，如何圍繞數(shù)學學科核心素養(yǎng)的進階發(fā)展，助力學生在小學畢業(yè)之后更加順利地適應初中的學習是數(shù)學學科小初銜接工作中的核心問題。作為小學教師，要著眼素養(yǎng)進階，關注素養(yǎng)斷層問題，尋求有效措施，為小學數(shù)學與初中數(shù)學的有效銜接賦能。

【關鍵詞】小初銜接 素養(yǎng)銜接 代數(shù)推理

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）將九年義務教育作為一個整體，有意模糊初中與小學之間的界限，同時指出遵循學生身心發(fā)展規(guī)律，加強一體化設置，促進學段銜接，體現(xiàn)數(shù)學課程的階段性、整體性和“小初一體”的思路，這就要求義務教育階段的數(shù)學教師們應該全面了解不同學段的數(shù)學課程內容和學業(yè)質量要求，熟悉義務教育階段數(shù)學課程的整體安排和銜接關系。但事實上，學生在經(jīng)歷了小學六年的數(shù)學學習后，仍然不能很好地將所學知識遷移到中學階段，尤其在有關代數(shù)方面的學習上表現(xiàn)出明顯的認知困難，如不習慣使用符號表達的代數(shù)語言，不能理解代數(shù)結構與相應的數(shù)量關系，等等。細思原因，造成這些學習困難的背后除了小學和中學教材在內容安排上存在算術與代數(shù)相對割裂的問題，更為關鍵的是小學階段的部分教師在教學“數(shù)與代數(shù)”領域內容時忽視了對學生代數(shù)推理意識的培養(yǎng)，從而產(chǎn)生了素養(yǎng)斷層的問題。

《課程標準》在“教材編寫建議”中指出，課程內容特別強調的代數(shù)推理要體現(xiàn)出螺旋上升。“推理”在小學、初中的數(shù)學教學中有著不同的目標指向，小學指向意識，初中指向能力，從推理意識到推理能力，素養(yǎng)的進階體現(xiàn)了《課程標準》對培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的一致性和階段性要求?？梢?，雖然在小學數(shù)學中以算術教學為主，沒有出現(xiàn)太多正式的代數(shù)形式，但教師可以嘗試挖掘算術背后潛藏的代數(shù)特性，鼓勵學生在可理解范圍之內嘗試進行代數(shù)推理，從而助力學生更好地適應初中階段的代數(shù)學習。代數(shù)推理，是指人們在代數(shù)觀念的系統(tǒng)作用下，從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結論，特別是推斷某一數(shù)學對象的關系或結構的思維過程。在小學數(shù)學學習中更多地指向一般化和關系性思維，因此代數(shù)推理能力的培養(yǎng)需要經(jīng)歷數(shù)字到符號的運算轉換、特殊到一般的思想轉換、程序到結構的認知轉變等，從這個角度去理解代數(shù)推理，可以發(fā)現(xiàn)小學數(shù)學學習中對于培養(yǎng)學生代數(shù)推理有著諸多可行性路徑。

一、關注基本事實，深度理解中滲透代數(shù)推理意識

在當前的小學數(shù)學教學中，作為代數(shù)知識的“式與方程”被安排在第三學段正式學習，但“數(shù)與代數(shù)”領域的教學內容編排是螺旋上升、逐步加深的，貫穿每一學段的學習，因此在第一學段早就有了代數(shù)知識的初步滲透。［1］特別是與代數(shù)有關的基本概念、基本事實的教學均是后續(xù)實施代數(shù)推理的基礎，因此我們需要重視學生對基本概念和基本事實的深度理解，為更高年級正式開展代數(shù)學習做好準備。

史寧中教授在解讀《課程標準》時指出，在“數(shù)與代數(shù)”板塊需要增加兩個基本事實，一是傳遞性：a=b，b=c→a=c；二是等式性質：a=b→a+c=b+c。有了這兩個基本事實，在義務教育階段開展代數(shù)推理證明就成為了可能。但是學生面對“=”，往往將它視為運算結果的輸出符，而忽視了“=”同時也承擔著已知數(shù)與未知數(shù)的橋梁作用、數(shù)量之間的等價關系等重要價值。例如，一年級學生在練習中得出5=1+4、5=2+3，教師可作進一步引導：因為5=5，所以1+4=2+3；學生在練習中得出5+5=2+8、2+8=3+7時，教師進一步引導他們比較發(fā)現(xiàn)5+5=3+7，從而幫助學生感受等式的傳遞性，滲透代數(shù)推理意識。教師還可以引導學生不計算出結果，僅靠觀察和思考等號兩邊的數(shù)字特征，通過等值推理做出解答。如在8+2=□+□這個等式中，如果加數(shù)8加上1，則另一個加數(shù)2就得減去1，才能使得等式仍然成立。這其中便隱含著a+b=（a+1）+（b-1）這樣的代數(shù)關系，還可以進一步引申為a+b=（a-1）+（b+1）乃至a+b=（a-c）+（b+c）。當然，這種感受對學生來說，并不需要十分深刻，但經(jīng)過教師不斷點撥啟發(fā)，可促成學生不斷積累和感悟“=”左右兩邊的量（式）之間的相等、對稱、等價的關系，從而感受“=”的多重價值和含義，感悟平衡與相等關系的代數(shù)核心思想，使小初銜接中算術走向代數(shù)的過渡更為自然和順暢。

在代數(shù)推理意識培養(yǎng)階段，教師可以從數(shù)學符號入手，從數(shù)學符號含義的認識層面引導學生在算術思維基礎上形成對隱藏的代數(shù)關系和結構的感知與理解，從而培養(yǎng)代數(shù)思維。

二、注重整體聯(lián)系，法理并重中訓練代數(shù)推理方法

史寧中教授曾對代數(shù)推理作了如下解說：代數(shù)推理在小學階段指說理，是通過簡單的歸納或類比，發(fā)現(xiàn)和提出一些初步的結論；感悟從特殊到一般的有邏輯的說理過程，在說理的過程中理解算理，歸納算法，最后建立計算模型。［2］《課程標準》在“數(shù)與代數(shù)”領域的教學提示中提到，數(shù)的運算教學應讓學生感知數(shù)的加減運算要在相同數(shù)位上進行，體會數(shù)的運算本質上的一致性，同時也要感悟數(shù)的運算之間的關系，從而發(fā)展運算能力和推理意識。［3］可見，在具體數(shù)字運算中進行發(fā)現(xiàn)、總結、理解與應用算理也是進行代數(shù)推理的可行路徑。

小學數(shù)學的運算對象主要有整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，這三類數(shù)的四則運算看似不同卻具有一致性，本質均為計數(shù)單位的個數(shù)參與運算。其中同一類數(shù)的同種運算，其算理和算法更是相融相通的。因此面對同一模塊的運算教學，可以讓學生大膽猜想，以舊引新，從舊知遷移類推出新知，這個過程不僅有效打通了運算內容之間的聯(lián)系，更是促進了學生推理意識的發(fā)展。例如，蘇教版四年級下冊的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，作為小學階段最后一節(jié)整數(shù)乘法課，教學時可先讓學生回顧“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理和算法，緊接著鼓勵學生在此基礎上進行類比推理，思考三位數(shù)乘兩位數(shù)又該如何計算。在學生自主探索、明晰算理、掌握算法之后進而抽象概括得出結論：整數(shù)乘法，不管是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以用拆數(shù)轉化、分別相乘和合并乘積的方法來計算，其背后的原因也是一致的——位值計數(shù)思想和乘法分配律。在此基礎上，教師引導學生大膽推理四位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乃至五位數(shù)筆算的算理與算法，縱橫溝通、以舊習新，歸納出多位數(shù)乘法的運算方法，實現(xiàn)了多位數(shù)筆算乘法的整體建構。

在運算教學中，教師可以在學生積累了大量活動經(jīng)驗的基礎上，引導他們從推理的角度將算法從特殊到一般進行歸納總結，感受代數(shù)推理的一般方法，順利實現(xiàn)從“個”到“類”的提升，同時也可以找準契機實現(xiàn)從“類”到“類”的遷移，從而培養(yǎng)學生的歸納推理和類比推理的能力，使小學的算術課堂蘊含豐富的代數(shù)特質。

三、聚焦核心內容，問題解決中發(fā)展代數(shù)推理能力

“一般化”和“符號化”是代數(shù)思維的核心，代數(shù)思維在小學階段的學習中有著諸多體現(xiàn)。最為明顯的便是小學數(shù)學第三學段的“用字母表示數(shù)”“正比例”等內容，這些內容向學生展現(xiàn)了代數(shù)初步的主要內容，這也正是小學階段代數(shù)推理的核心內容。此部分內容的學習指向初中階段“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”等內容，為后續(xù)的進階學習奠定了良好的基礎。

蘇教版教材中“用字母表示數(shù)”的內容，看似是作為方程的鋪墊知識，實則有著豐富的代數(shù)內涵?！坝米帜副硎緮?shù)”的教學除了引導學生知道用字母可以表示某個未知量或變量，更重要的是讓學生理解字母所具有的“概括”價值，字母可以將數(shù)量關系和變化規(guī)律以符號的形式簡明地表示出來，且通過符號運算和推理得到的結果具有一般性，而正是這個一般性可以幫助我們說明更多復雜的數(shù)學問題。例如，在蘇教版五年級下冊學習“3的倍數(shù)特征”時，以往教學采用的是通過觀察、舉例、不完全歸納等方式得出結論，這樣的學習過程沒有真正培養(yǎng)學生的代數(shù)思維。此時可以聯(lián)系在五年級上冊學過的用字母表示數(shù)，以代數(shù)推理的方式來說明“3的倍數(shù)特征”。我們可以用字母符號來表示一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，如一個數(shù)是abcd，則abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），因為999a+99b+9c=9（111a+11b+c）=3×3×（111a+11b+c），所以999a+99b+9c是3的倍數(shù)。因此，要想abcd是3的倍數(shù)，只需a+b+c+d是3的倍數(shù)。由此可知，一個數(shù)各個數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。問題解決的過程正是代數(shù)推理的過程，是其得以發(fā)展的契機。

用符號表示數(shù)量、數(shù)量關系和一般規(guī)律，并且借助符號推理得出一般結論是代數(shù)推理的基礎，體現(xiàn)出了初步的一般化與符號化，這方面的要求會在初中階段逐步增強。因此，小學階段需要教師切實掌握好如“用字母表示數(shù)”“正比例”等與初中數(shù)學學習有著直接聯(lián)系的小學數(shù)學知識及其本質，盡可能地創(chuàng)造機會引導學生感悟符號表示的一般性，感受符號使用是數(shù)學表達和思考的重要形式，從而實現(xiàn)小學數(shù)學學習向初中數(shù)學學習的平穩(wěn)過渡。

在《課程標準》加強了學段銜接的背景之下，小學數(shù)學教師應該立足小學，胸懷九年，擁有教小學、想初中的意識，了解學生學習的知識基礎。同時，還需要“登高眺遠”，知曉學生學習的下一站，做好知識和方法的鋪墊，積極關注數(shù)學核心素養(yǎng)的進階培養(yǎng)，努力尋找小初銜接教學的平衡點，既不缺位，也不越位，這就是最好的“銜接”！

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學校 本專輯責任編輯：王彬）

參考文獻：

［1］陳靜. 兒童早期代數(shù)思維的滲透與培養(yǎng)——中美小學數(shù)學教學比較研究［J］. 教育研究與評論（小學教育教學），2018（02）：8-13.

［2］陳杰. 變革育人方式，落實核心素養(yǎng)——2022年版義務教育數(shù)學課程標準內容新變化［J］. 山東教育，2022（28，29）：30-32.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.04.

本文系江蘇省中小學教學研究課題第十四期重點課題“‘完整學習視域下培養(yǎng)小學生推理意識的實踐研究” （課題編號：2021JYJC14-ZB20）的研究成果。