余夢婷, 賈文志

(西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 四川 成都 610031)

波導(dǎo)QED系統(tǒng)是研究單光子水平上光與物質(zhì)相互作用的重要平臺,在最近十多年來備受關(guān)注.這類系統(tǒng)是將一個或多個原子耦合到一維波導(dǎo)中,使原子與受限一維的連續(xù)光子模式相互作用,從而實現(xiàn)原子與光子之間的強耦合或遠距離原子間的長程相互作用[1].經(jīng)過多年研究,波導(dǎo)QED的應(yīng)用已經(jīng)得到多方面探討,包括單光子開關(guān)和原子鏡[2-3]、關(guān)聯(lián)光子散射[4-5]、自組原子晶格[6-7]、波導(dǎo)誘導(dǎo)的長程糾纏[8-9]以及量子門[10-11]等.實驗上,波導(dǎo)QED系統(tǒng)可以通過將超導(dǎo)人工原子耦合到微波傳輸線[12-13]、將量子點耦合到光子晶體波導(dǎo)[14]或?qū)⑻烊辉玉詈系焦饫w[15]來實現(xiàn).如果將波導(dǎo)設(shè)計為帶寬有限且具有非線性色散關(guān)系的結(jié)構(gòu),如由緊束縛模型描述的腔陣列,由于非線性色散和帶邊效應(yīng)的影響,散射譜將表現(xiàn)出與線性波導(dǎo)不同的現(xiàn)象[10,16-17].

隨著微加工技術(shù)的發(fā)展,一些人工量子系統(tǒng)(如transmon量子比特[18])可以通過多個連接點與一維波導(dǎo)中的玻色模式耦合,其耦合點間距與波長相當(dāng),這類系統(tǒng)稱為巨原子[19].由于光子在巨原子耦合點間傳播的時間不可忽略,且由于巨原子幾個耦合點間干涉效應(yīng)的影響,導(dǎo)致巨原子與波導(dǎo)耦合將產(chǎn)生與小原子不同的現(xiàn)象,包括頻率依賴的衰減率[20]、蘭姆位移[21-22]和非馬爾科夫動力學(xué)[23]等.

巨原子在線性波導(dǎo)中的單光子散射問題已經(jīng)得到許多研究[22,24-25].最近,巨原子耦合到有限帶寬波導(dǎo)系統(tǒng)中的光與物質(zhì)相互作用引起了廣泛關(guān)注[26-29].當(dāng)單個巨原子與一維腔陣列波導(dǎo)耦合時,由于巨原子結(jié)構(gòu)的影響,其散射譜表現(xiàn)出與小原子不同的行為[26].但是之前的研究限于巨原子和波導(dǎo)所有連接點耦合強度都相等的情形.基于以上背景,本文研究了單個巨原子通過2個耦合點非對稱耦合到一維腔陣列波導(dǎo)時系統(tǒng)的單光子散射特性,根據(jù)推導(dǎo)出的散射系數(shù),討論了不同參數(shù)條件下反射譜的線型特征.本文的結(jié)果表明,由于巨原子超越偶極近似的特點,除了耦合點間距外,耦合強度的分布也會對系統(tǒng)的單光子輸運特性產(chǎn)生顯著影響.

1 系統(tǒng)模型和哈密頓量

圖1 單巨原子非對稱耦合到腔陣列波導(dǎo) QED系統(tǒng)的示意圖

H=Hc+Ha+HI,

(1)

其中,腔陣列的哈密頓量

(2)

原子的哈密頓量

Ha=ωa|e〉〈e|,

(3)

相互作用的哈密頓量

(4)

式中,c?j和cj分別是格點j處光子模式的產(chǎn)生和消滅算符,σ+=|e〉〈g|和σ-=|g〉〈e|分別是原子的升算符和降算符,ωc是波導(dǎo)的中心頻率,ωa是原子的躍遷頻率.原子耦合點m與波導(dǎo)間耦合強度為gm(m=1,2).事實上,這個公式是作了旋波近似后的結(jié)果,即已經(jīng)假設(shè)了條件ωc?ωa和ωc,ωa?J,gm.

在單激發(fā)子空間中,系統(tǒng)本征態(tài)可以寫為

(5)

其中,φj和fa分別表示第j個腔和原子的激發(fā)振幅.由緊束縛模型描述的腔陣列波導(dǎo)具有本征能量

ωk=ωc-2Jcos(k),

其中,k∈[-π,π].將上述公式代入薛定諤方程

H|ψ〉=E|ψ〉,

可以得到方程組:

(ωk-ωc)φ0+J(φ-1+φ1)-g1fa=0,

(6)

(ωk-ωc)φN+J(φN-1+φN+1)-g2fa=0,

(7)

(ωk-ωa)fa-(g1φ0+g2φN)=0.

(8)

假設(shè)光子從波導(dǎo)左端入射,光子激發(fā)振幅可以假設(shè)為

φ

(9)

將連續(xù)性條件φj-=φj+和上述光子激發(fā)振幅(9)代入方程組(6)～(8),可以得到反射振幅和透射振幅分別為:

r=

(10)

t=

(11)

其中,δk=ωk-ωa為入射光子與原子間的頻率失諧.根據(jù)(10)和(11)式可以得到系統(tǒng)的反射率和透射率分別為R=|r|2和T=|t|2,且由于光子數(shù)守恒,二者滿足條件R+T=1.

2 非對稱耦合的散射譜特性

圖2給出了當(dāng)原子頻率位于帶心時,耦合的不對稱度對反射譜的影響.圖2(a)～(c)耦合點間距取偶數(shù)N=2和N=4,圖2(d)～(f)耦合點間距取奇數(shù)N=1和N=3;圖2(a)、(d)取耦合強度為g1=0.5J和g2=0.05J,圖2(b)、(e)取耦合強度為g1=0.5J和g2=0.25J,圖2(c)、(f)取耦合強度為g1=g2=0.5J;各圖均取ωc=ωa=20J.

首先,對于耦合點間距N為偶數(shù)(N=2和N=4)的情形,無論2個耦合點的耦合強度相同與否,反射譜均為對稱線型,除去原子波導(dǎo)脫耦的情形,反射極大R=1總是出現(xiàn)在帶心處,表明原子并未因為與波導(dǎo)耦合而出現(xiàn)頻率移動,如圖2(a)～(c)所示.同時,對于頻率接近帶邊δk=±2J的光子,由于非線性色散關(guān)系引起的帶邊效應(yīng),也會出現(xiàn)全反射現(xiàn)象,如圖2(a)～(c)所示.當(dāng)N=2時,隨著非對稱度減小,反射譜線寬逐漸減小,并在完全對稱(即g1=g2)時徹底消失,在共振點δk=0處出現(xiàn)零反射現(xiàn)象,如圖2(a)～(c)實線所示.這表明耦合點之間的相位延遲為π時,波導(dǎo)與原子之間的有效耦合隨著不對稱度的減少而減少,直至對稱情形兩者完全脫耦,光子出現(xiàn)完全透射現(xiàn)象;而當(dāng)N=4時,則有相反規(guī)律,隨著非對稱度減小,反射譜線寬逐漸增大,在共振點δk=0處始終有R=1,如圖2(a)～(c)虛線所示.

對于耦合點間距N為奇數(shù)(N=1和N=3)的情形,反射譜呈現(xiàn)出非對稱線型.如圖2(d)～(f)所示,當(dāng)原子非對稱耦合到波導(dǎo)時,原子對應(yīng)的反射峰值位置并未出現(xiàn)在帶心,其偏移量取決于原子與波導(dǎo)耦合產(chǎn)生的蘭姆移動.從圖2(d)～(f)還可以看出隨著原子耦合的非對稱度減小,原子的蘭姆位移不斷增加,譜線的不對稱程度也不斷增大.此外,對于N為奇數(shù)情形,耦合的對稱與否會產(chǎn)生光子不同的帶邊行為:對于不對稱耦合情形,在上下帶邊δk=±2J處均會出現(xiàn)全反射R=1;當(dāng)巨原子對稱耦合時,在上帶邊δk=2J處出現(xiàn)零反射現(xiàn)象,而在下帶邊出現(xiàn)全反射現(xiàn)象,如圖2(d)～(f)所示.

此外,當(dāng)巨原子耦合的非對稱度較大時,反射譜線型隨著耦合點間距增大變化不明顯,呈現(xiàn)出和小原子散射譜類似的特征,如圖2(a)和2(d)所示;而當(dāng)非對稱度較小或?qū)ΨQ耦合時,隨著耦合點間距增大,反射譜呈現(xiàn)出與小原子截然不同的線型,如圖2(b)、(e)、(c)和(f)所示.

為進一步理解巨原子耦合的非對稱度和巨原子結(jié)構(gòu)對散射譜的影響,圖3以偶數(shù)耦合點間距為例,作出了不同非對稱度下耦合點間距對反射譜的影響.圖3(a)耦合強度取為g1=0.5J和g2=0.05J,圖3(b)取為g1=0.5J和g2=0.25J.當(dāng)巨原子耦合的非對稱度較大時,N=2和N=10兩種耦合點間距對應(yīng)的散射譜在共振點δk=0附近幾乎完全重合,線型和小原子類似,如圖3(a)所示.但對于較大的耦合點間距N=10,在較大失諧區(qū)域,由于相位累積效應(yīng),反射譜偏離小原子的線型,如圖3(a)虛線所示.而當(dāng)非對稱度較小時,如果耦合點間距較大,巨原子2個耦合點間干涉效應(yīng)和光子在耦合點間傳播的時間延遲效應(yīng)的影響變得明顯,導(dǎo)致反射譜呈現(xiàn)出與耦合點間距較小時完全不同的線型,除了在共振點附近出現(xiàn)全反射現(xiàn)象,在失諧較大時也會出現(xiàn)多個反射率極大值點和極小值點,如圖3(b)虛線所示.

3 結(jié)論

本文研究了一個巨原子通過2個連接點非對稱耦合到腔陣列波導(dǎo)時系統(tǒng)的單光子散射問題.當(dāng)巨原子與波導(dǎo)耦合的非對稱度較大時,散射譜隨著耦合點間距增大變化不明顯,原子表現(xiàn)得更像小原子;而當(dāng)非對稱度較小甚至對稱耦合時,巨原子結(jié)構(gòu)對散射譜的影響變得明顯,必須考慮光子在耦合點之間傳播的干涉效應(yīng)和時延非馬爾科夫效應(yīng);如果耦合足夠強,散射譜還會受到非線性色散的影響.以上因素使巨原子的散射譜呈現(xiàn)出與小原子不同的線型.這些結(jié)果對于單光子器件和量子通信等方面有潛在應(yīng)用價值.