陳 煒, 鮮大權(quán), 蒲志強(qiáng)

(1. 西南科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 四川 綿陽 621010; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 四川 綿陽 621010)

0 引言

非線性演化方程(NLEEs)精確解的研究在非線性科學(xué)領(lǐng)域具有重要科學(xué)意義[1].由它們推導(dǎo)出的孤波[2]、怪波[3]、Lump波[4]、Lump-Stripe混合波[5]等科學(xué)地解釋了相關(guān)物理現(xiàn)象.對(duì)非線性演化方程精確解的研究發(fā)展了很多重要的非線性數(shù)學(xué)物理方法,如反散射法、Lie群法、B?cklund變換法、Hirota雙線性法[6-8]、Bell多項(xiàng)式法[9]、CRE法、變量分離法、CKdV法等[10-11].

本文考慮如下形式的(3+1)維Yu-Toda-Sasa-Fukuyama(簡(jiǎn)稱YTSF)方程

(-4ut+φ(u)uz)x+3uyy=0,

(1)

其中,u=u(t,x,y,z)是尺度空間坐標(biāo)x、y、z和時(shí)間坐標(biāo)t的解析函數(shù).YTSF方程是由Ablowitz和Musslimani構(gòu)造的Bogoyavlenshii-Schiff方程的推廣形式[12],該方程描述了兩層液體的界面波[13].YTSF方程已經(jīng)有很多研究,已有的研究發(fā)現(xiàn)該方程顯示了縱橫方向的兩類色散性[14],有豐富的強(qiáng)脈沖動(dòng)力學(xué)行為[15],存在類孤子解[16]、Lump解[17-18]、有理同宿解[19]、一般高階怪波解[20]和周期孤子解[21]、交叉孤波[22]和雙周期波解[23]、非行波解[24]、多波解[25]、孤子類解[26]、指數(shù)函數(shù)解、雙曲函數(shù)解[27]、三角函數(shù)解[28]、周期類孤波解[29]、Lump波解[30]、非行波精確解[31-32]等.

本文將應(yīng)用Lie群方法尋求方程的Lie點(diǎn)對(duì)稱,針對(duì)對(duì)稱約化方程的不同特點(diǎn),分別采用Jacobi橢圓函數(shù)展開法、CRE展開法和分離變量法求解對(duì)稱約化方程,進(jìn)一步應(yīng)用計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像技術(shù)分析所得原方程的非行波動(dòng)力學(xué)行為的局域激發(fā)模式.

1 方程的Lie點(diǎn)對(duì)稱

首先,將變換u=vx代入方程(1)并對(duì)x積分一次,取積分常數(shù)為零,則得YTSF方程(1)的勢(shì)形式(pYTSF)如下:

vxxxz+4vxvxz+2vxxvz+3vyy-4vxt=0.

(2)

設(shè)方程(2)的Lie點(diǎn)對(duì)稱為σ=σ(t,x,y,z,v,vt,vx,vy,vz,…),依據(jù)Lie群理論,σ滿足以下方程

σx3z+4σxvxz+4σxzvx+2σxxvz+σzvxx+

σyy-4σxt=0.

(3)

設(shè)

σ=f1vx+f2vy+f3vz+f4vt+f5v+f6,

(4)

其中,fi(i=1,2,…,6)為變量t、x、y、z的待定光滑函數(shù),v=v(t,x,y,z)滿足方程(2).將(4)式連同方程(2)代入方程(3),則有

f1zvx4+f2zvx3y+f4zvx3t-(3f1xz+f5z)vx3+

3f4xvx2zt+3f2xvx2yz+3f3xvx2z2+…=0.

(5)

基于函數(shù)v對(duì)t、x、y、z的各階導(dǎo)數(shù)的線性無關(guān)性可獲得

f3=p3(t),f4=λ,f5=0,

(6)

將(6)式代入(4)式,則得方程(2)的Lie點(diǎn)對(duì)稱如下:

p2(t)vy+p3(t)vz+λvt+

(7)

其中,pi(t)(i=1,2,3,4,5)是時(shí)間變量t的任意光滑函數(shù).

2 方程(2)的Lie點(diǎn)對(duì)稱約化

由于(7)式中含有5個(gè)t的任意函數(shù),該對(duì)稱的內(nèi)涵很豐富,由它可得到方程(2)的一系列對(duì)稱約化方程.基于約化方程的可積性,本文考慮其中的如下3種情況.

1) 取

λ=1,p1(t)=p2(t)=p4(t)=p5(t)=0,

p3(t)=p′(t).

(8)

將(8)式代入(7)式,則有

σ=p′(t)vz+v

(9)

求解方程σ=0,得方程(2)的一個(gè)Lie點(diǎn)對(duì)稱變換如下:

ξ=z-p(t),

(10)

其中f(x,y,ξ)為待定函數(shù).將變換(10)代入方程(2),則方程(2)約化為如下的關(guān)于函數(shù)f(x,y,ξ)的2+1維常系數(shù)非線性偏微分方程:

2fxxfξ+4fξxfx+3fyy+fξxxx=0.

(11)

2) 取

λ=1,p1(t)=0,

p2(t)=0,p3(t)=0.

(12)

將(12)式代入(7)式得

σ=v

(13)

方程σ=0的解是

v=-yp4(t)-p5(t)+f(x,y,z).

(14)

將(14)式代入方程(2),則方程約化為如下的關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的2+1維常系數(shù)非線性偏微分方程:

fxxxx+4fxfxz+2fxxfz+3fyy=0.

(15)

3) 取

λ=1,p1(t)=p(t),p2(t)=3t,

p3(t)=p4(t)=p5(t)=0.

(16)

將(16)式代入(7)式有

σ=2vxy+vxp′(t)+3tvy+vt+2zp″(t).

(17)

方程σ=0有解:

v=-2zp′(t)+

(18)

12fξfξz+6fξξfz-36ηfξξ+3fξξξz+4fηη=0.

(19)

以上應(yīng)用方程(2)的Lie對(duì)稱(7)式的3種情況(8)、(12)和(16)式,分別將方程(2)對(duì)稱約化成了低一維的非線性偏微分方程(11)、(15)和(19)式.針對(duì)這3個(gè)約化方程的不同特點(diǎn),下面分別采用Jacobi橢圓函數(shù)展開法、CRE展開法和分離變量法求解這3個(gè)對(duì)稱約化方程.

3 對(duì)稱約化方程求解

3.1 Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解方程(11)取波變換

f=p(η),η=αx+βy+γξ,

(20)

其中α、β、γ為待定非零波參數(shù),將(20)式代入方程(11),得函數(shù)p(η)滿足的四階非線性常微分方程如下:

6α2γp″(η)p′(η)+α3γp(4)(η)+

3β2p″(η)=0.

(21)

方程(21)對(duì)η積分一次,取積分常數(shù)為B有

3α2γp′(η)2+α3γp(3)(η)+

3β2p′(η)+B=0.

(22)

3α2γq(η)2+α3γq″(η)+

3β2q(η)+B=0.

(23)

α3γq′(η)2+2α2γq3(η)+3β2q2(η)+

2Bq(η)+2C=0.

(24)

3.1.1Jacobi橢圓正弦函數(shù)展開 設(shè)

q(η)=a1sn2(bη,m)+a0,

(25)

其中sn為Jacobi橢圓正弦函數(shù),模m∈(0,1),a0、a1、b為待定常數(shù),a1b≠0.將(25)式代入方程(24),取sn的各次冪項(xiàng)系數(shù)為零,得待定常數(shù)滿足的非線性代數(shù)方程組如下:

當(dāng)取積分常數(shù)為

時(shí),方程組(26)有解:

a1=-2αb2m2.

(27)

將(27)式代入(25)式有

q1(η)=-2αb2m2sn2(bη,m)+

(28)

當(dāng)m→1時(shí),(28)式化為沖擊波解

q2(η)=-2αb2tanh2(bη)+

(29)

令(29)式中b=bi,i2=-1,則(29)式化為周期波解

3.1.2Jacobi橢圓余弦函數(shù)展開 設(shè)

q(η)=a1cn2(bη,m)+a0,

(31)

其中cn為Jacobi橢圓余弦函數(shù),模m∈(0,1),a0、a1、b為待定常數(shù),a1b≠0.將(31)式代入方程(24),取cn的各次冪項(xiàng)系數(shù)為零,則待定常數(shù)滿足的非線性代數(shù)方程組為:

當(dāng)取積分任意常數(shù)為

時(shí),方程組(32)有解:

a1=2αb2m2.

(33)

將(33)式代入(31)式有

q4(η)=2αb2m2cn2(bη,m)-

(34)

當(dāng)m→1時(shí),(34)式化為孤立波解

令(34)式中b=bi,i2=-1,則得周期波解

將以上所得方程(24)的解qi(η)(i=1,2,…,6)依次代入變換(20),則得約化方程(11)的解依次如下:

f1(x,y,ξ)=-2αb2m2sn2(b(αx+βy+γξ),m)+

(37)

f2(x,y,ξ)=-2αb2tanh2b(αx+βy+γξ)+

(38)

f3(x,y,ξ)=2αb2tan2b(αx+βy+γξ)+

(39)

f4(x,y,ξ)=2αb2m2cn2(b(αx+βy+γξ),m)-

(40)

f5(x,y,ξ)=2αb2sech2b(αx+βy+γξ)-

(41)

f6(x,y,ξ)=-2αbsec2b(αx+βy+γξ)+

(42)

3.2 CRE展開法求解方程(15)作變換

f=p(ξ,y),ξ=rx+sz,

(43)

其中r、s為待定非零波參數(shù).將(43)式代入方程(15),則方程(15)約化為如下1+1維非線性偏微分方程:

r4pξξξξ+6r2spξpξξ+3pyy=0.

(44)

假設(shè)

p(ξ,y)=α+βU(τ).

(45)

同時(shí)U(τ)滿足如下形式的Riccati方程:

Uτ=μ0+μ1U2,

(46)

其中,α=α(ξ,y),β=β(ξ,y),τ=τ(ξ,y)均為ξ、y的待定光滑函數(shù),μ0和μ1為待定常數(shù),μ1≠0.將(45)式連同方程(46)代入方程(44),則有

2τξβ(3μ1rτξξ+2βξ)+τξξβ2)U4+…=0.(47)

(48)

Riccati方程(46)當(dāng)μ0μ1<0時(shí)有解:

(49)

將(48)和(49)式代入(45)式,得方程(44)的解為

C2y+C1)+C).

(50)

應(yīng)用變換(43),相應(yīng)獲得約化方程(15)的解如下:

f(x,y,z)=

(51)

3.3 變量分離法求解方程(19)設(shè)該方程有如下形式的和式變量分離解:

f(z,ξ,η)=p(η,z)+q(ξ),

(52)

其中,p(η,z)是η、z的待定光滑函數(shù),q(ξ)是ξ的待定光滑函數(shù).將(52)式代入方程(19),則有

6qξξpz-36qξξη+4pηη=0.

(53)

方程(53)分離變量有

(54)

(55)

求解方程組(55)可得

(56)式代入(52)式,得方程(19)的和式變量分離解如下:

f(z,ξ,η)=C3(C5eC2η+C6e-C2η)e

其中Ck(k=1,2,…,6)均為積分常數(shù),且

對(duì)稱約化方程(11)和(15)還可用雙線性法、變量分離法等不同方法求解,因此可獲得更加豐富的不同解結(jié)構(gòu).但方程(19)是變系數(shù)非線性偏微分方程,它無行波解、行波法與變量分離法以外的其他方法可否求解值得進(jìn)一步研究.

4 YTSF方程(2)的非行波新解

1) 將(37)～(42)式分別代入變換(10)依次獲得:

βy+γ(z-p(t))),m)+ω1,

(58)

2αb2tanh2b(αx+βy+γ(z-p(t)))+ω2, (59)

βy+γ(z-p(t)))+ω3,

(60)

βy+γ(z-p(t))),m)-ω4,

(61)

βy+γ(z-p(t)))-ω5,

(62)

βy+γ(z-p(t)))+ω6,

(63)

其中

2) 將(51)式代入變換(14)有

v7=-yp4(t)-p5(t)+

C2y+C1)+C).

(64)

3) 將(57)式代入變換(18)有:

(a)C0=C7=0,C5C6=C3=τ=1時(shí),有

2(2t3-2ty-p(t)+x)2+

C1(2t3-2ty-p(t)+x).

(65)

(b)C0=C7=0,C3=τ=1,C5C6=-1時(shí),有

C1(2t3-2ty-p(t)+x)+C0.

(66)

5 方程(2)的動(dòng)力學(xué)行為局域激發(fā)模式

本節(jié)以(64)式為代表分析方程的動(dòng)力學(xué)行為局域激發(fā)模式.

1) 取C=-1,r=1,s=1,C1=1,C2=-3,p4(t)=sin(t),p5(t)=sech(t)和x=X,y=X,z=X,則在(X,t,v)空間的局域激發(fā)模式如圖1所示.

(a) C3=0.1 (b) C3=1 (c) (X,t)面的等高線

圖1中,沖擊波與對(duì)數(shù)波在X方向復(fù)合,在時(shí)間t方向周期演化,隨參數(shù)C3的增大,演化出的周期明孤子向X軸正向的沖擊波波峰方向移動(dòng).

(a) C2=3 (b) C2=3.5 (c) (X,t)面的等高線

在圖2(a)中,在X=-4.5左側(cè)為明孤子,在X∈[-4,-2]演化為沖擊波,隨參數(shù)C2的增大波能量沿X軸正向增加,在X∈[-4.5,-4]演化出奇異波,發(fā)生能量聚集現(xiàn)象.C2=3.5時(shí)則在X∈[-3.5,-3]時(shí)才出現(xiàn)能量聚集現(xiàn)象,如圖2(b)所示.

3) 取C=-1,r=1,s=1,C1=1,C2=-3,p4(t)=sin(t),p5(t)=sech(t)和x+y-z=X在當(dāng)前(X,t,v)空間的局域激發(fā)模式如圖3所示.

(a) C3=0.1 (b) C3=1 (c) (X,t)面的等高線

圖3(a)中,沖擊波與對(duì)數(shù)波在X軸方向復(fù)合演化,在t軸方向周期演化.C3=1時(shí)在周期沖擊波的X=0附近演化出周期孤子,如圖3(b)所示.

6 結(jié)束語

本文獲得了含有5個(gè)關(guān)于時(shí)間t的任意函數(shù)的Lie點(diǎn)群對(duì)稱(7),在3種情況下求得了YTSF方程的對(duì)稱約化方程(11)、(15)和(19).用Jacobi橢圓函數(shù)展開法求解方程(11),獲得了非行波周期解、孤子解等6個(gè).用CRE展開法求解方程(15),獲得相容Riccati方程解1個(gè).用變量分離法求解了變系數(shù)方程(19),獲得和式變量分離解2個(gè).應(yīng)用計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像技術(shù)分析了函數(shù)v8所蘊(yùn)涵的YTSF方程的動(dòng)力學(xué)局域激發(fā)模式.本工作的全新結(jié)果表明了YTSF方程可積性及其動(dòng)力學(xué)行為特性的豐富多樣性,實(shí)證了多種非線性數(shù)學(xué)方法有機(jī)結(jié)合的有效性.

該方程基于對(duì)稱(7)的更多對(duì)稱約化方程的可積性及相應(yīng)動(dòng)力學(xué)行為特征有待進(jìn)一步研究.

致謝西南科技大學(xué)校級(jí)教改項(xiàng)目(20GJZX14)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.