任翠翠 尹相國

(山西大學理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

開放量子系統(tǒng)在一定程度上可由等效的非厄米哈密頓量來描述,因此探究非厄米系統(tǒng)的耗散作用有許多重要的現(xiàn)實意義.本文研究了開邊界條件下一維非厄米系統(tǒng)中與耗散強度相關的動力學規(guī)律,發(fā)現(xiàn)耗散可誘導邊緣爆發(fā)重新出現(xiàn).粒子在開邊界條件下的一維非厄米耗散晶格系統(tǒng)中進行含時演化后,系統(tǒng)存在邊緣爆發(fā)即在邊緣處有較大的粒子損失概率,而增大胞內躍遷強度后邊緣爆發(fā)消失,研究發(fā)現(xiàn)若增大或者減小耗散強度,邊緣爆發(fā)會重新出現(xiàn).這種重現(xiàn)的與原先的邊緣爆發(fā)有所不同,主要表現(xiàn)為粒子的損失概率分布由邊緣分布趨向于體分布,這是由于兩種情況下粒子運動方向的概率不同;更深層的原因與非厄米系統(tǒng)遠離宇稱-時間對稱破缺點有關.另外還研究了雜質勢壘對非厄米動力學中粒子損失概率分布的影響,結果表明在無耗散的A 格點上放置很小的勢壘就能明顯地阻礙粒子運動,并且當勢壘增大到一定高度后,其對粒子運動的影響趨于不變.

1 引言

在量子力學中,一般采用厄米哈密頓量描述理想情況下的封閉量子系統(tǒng),但在現(xiàn)實中物理系統(tǒng)與環(huán)境密切相關,而耦合于環(huán)境的開放量子系統(tǒng)在一定程度上可由等效的非厄米哈密頓量來描述,故在現(xiàn)實生活中非厄米物理廣泛應用于各領域,例如有損失和增益的光學系統(tǒng)[1-3]、開放量子系統(tǒng)[4-6]和具有有限壽命的準粒子等[7-9],探究非厄米物理具有重要意義.在非厄米物理的研究中,發(fā)現(xiàn)了許多區(qū)別于厄米體系的獨特性質,其中一個重要的物理現(xiàn)象是非厄米趨膚效應(non-Hermitian skin effect,NHSE),即在開邊界條件下本征態(tài)一般是以指數衰減的形式局域在系統(tǒng)的邊界附近.非厄米趨膚效應帶來了大量的討論和探究[10-14],發(fā)展出了非厄米相關理論: 系統(tǒng)中的體-邊對應被破壞,需要在非布洛赫能帶理論下定義廣義布里淵區(qū),在此基礎上計算新的拓撲不變量非布洛赫纏繞數以恢復體-邊對應[10,15].其中,體-邊對應是指體系在周期性邊界條件下的拓撲不變量和開邊界條件下邊緣態(tài)的個數之間存在著對應關系.如今,在各領域中非厄米物理的研究依然很活躍,實驗與理論方面的探索展現(xiàn)出了非厄米體系許多新奇的物理現(xiàn)象和規(guī)律[16-21].

對于存在耗散的非厄米開放量子系統(tǒng)而言,探究體系的動力學有助于我們理解現(xiàn)實情況下量子系統(tǒng)變化的過程[22-24].采用量子行走這一種普遍的量子模擬方案可研究具有耗散的一維非厄米體系的動力學問題[25],并且量子行走這一方案已經在許多的物理環(huán)境實驗中[26-32]實現(xiàn).最近,王利課題組[33]在有耗散的非厄米系統(tǒng)的動力學研究中發(fā)現(xiàn)了邊緣爆發(fā)現(xiàn)象即在邊緣處有明顯的粒子損失概率峰,并對此進行了深入的探究.Xue 等[34]研究表明邊緣爆發(fā)產生的原因是兩個非厄米特性的共同作用: 非厄米趨膚效應與周期性邊界條件下能譜虛帶隙閉合,并提出了發(fā)生邊緣爆發(fā)時體上的損失概率和邊緣處損失概率之間存在一定規(guī)律的觀點.眾所周知,耦合于環(huán)境的耗散強度與非厄米量子系統(tǒng)動力學性質的關系十分密切,邊緣爆發(fā)也將受到其影響,因此研究耗散如何影響粒子損失具有重要的現(xiàn)實意義.

本文討論了耗散強度對一維非厄米格點系統(tǒng)動力學性質的影響,發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象和規(guī)律: 在邊緣處本無粒子損失的系統(tǒng)中增大或者減小耗散強度可重新誘導出較明顯的損失概率,將這一現(xiàn)象稱為耗散誘導的非厄米邊緣爆發(fā)重現(xiàn).具體來說,在有耗散的一維非厄米格點系統(tǒng)中放入隨時間演化的粒子(量子行走者),其以一定的概率從體系中損失掉,通過數值計算得到粒子的損失概率分布,可以發(fā)現(xiàn)粒子在邊緣處有較大的概率損失掉也就是存在邊緣爆發(fā)現(xiàn)象;當增大胞內躍遷強度邊緣爆發(fā)消失[33].在無邊緣爆發(fā)的體系中增大耗散強度,預想為在耗散增強后初始位置附近的損失概率會變得更大,且不會影響到邊緣處無粒子損失的這一特征,但結果卻是粒子在邊緣處相較于初始位置出現(xiàn)了明顯的損失,并發(fā)現(xiàn)在較弱的耗散作用下有類似的重現(xiàn)現(xiàn)象.同時,研究發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)的與原先的邊緣爆發(fā)在粒子損失概率分布上有所不同.原先邊緣處的損失概率是一個孤立的峰,而在較強或較弱的耗散作用下,粒子損失概率從邊緣處向體內逐漸擴展且初始位置右側也變得有損失.研究得到造成此現(xiàn)象的原因是兩種情況下粒子做量子力學演化時運動方向的概率不同,進一步分析表明其運動方向的概率產生差異的深層原因與體系是否靠近宇稱-時間(parity-time,PT)[22,35]對稱破缺點有關.最后分析了添加雜質勢壘對粒子損失概率分布的影響.

第2 節(jié)介紹了純耗散的一維非厄米格點模型及理論方法,3.1 節(jié)展示了邊緣爆發(fā)重現(xiàn)并對其特征進行了描述;3.2 節(jié)確認了耗散作用可誘導邊緣爆發(fā)重現(xiàn);3.3 節(jié)分析了兩種邊緣爆發(fā)中粒子損失概率由邊緣分布趨向于體分布的深層原因;3.4 節(jié)考察了勢壘對粒子損失的影響,最后在第4 節(jié)中進行總結.

2 模型與方法

考慮一維非厄米耗散晶格模型,如圖1 所示,哈密頓量寫作:

圖1 一維非厄米耗散晶格模型,每個原胞由A 和B 兩個子格點組成Fig.1.One-dimensional non-Hermitian dissipative lattice model,and each unit cell consists of two sublattices A and B.

由薛定諤方程 i ?(d/dt)|ψ(t)〉=H|ψ(t)〉 得到量子行走者的運動方程:

右側求和中的每一項對應了各原胞的B格點在不同時間下的損失速率.當演化時間無窮大后粒子從此系統(tǒng)中完全損失到外界環(huán)境.若將原胞上的損失速率 2γ|(t)|2對所有時間進行積分可計算得到各原胞上的損失概率:

3 一維非厄米耗散系統(tǒng)中的動力學

3.1 耗散作用誘導邊緣爆發(fā)重新出現(xiàn)

在具體計算中,假設粒子在初始時刻位于第x0個原胞的A格點,即,取總原胞數L=50 及初始位置x0=25 .粒子按照運動方程(2)進行演化,可得到每個原胞上波函數模方的時間演化過程,如圖2第2 列;由于粒子在B格點上損失,故也關注B格點上波函數模方的時間演化過程 |(t)|2,如圖2第3 列;第4 列放大了第3 列中粒子在邊緣處演化的細節(jié);并由(3)式得到粒子損失概率分布Px,如圖2 第1 列.

圖2 不同耗散強度下的粒子損失概率分布圖和波函數模方的時間演化過程 (a),(e),(i),(m) 粒子損失概率分布圖;其余為波函數模方的時間演化過程.(a)—(d) v=0.3 ;(e)—(p) v=0.7 ;(a)—(h) γ=0.5 ;(i)—(l) γ=30 ;(m)—(p) γ=0.05 ;共同參數 r=0.5,L=50,x0=25Fig.2.Probability distribution diagram of particle loss and the time evolution process of wave function module square under different dissipation: (a),(e),(i),(m) Distribution of particle loss probability;the rest of the figure is the time evolution process of the norm of the wave function.(a)—(d) v=0.3 ;(e)—(p) v=0.7 ;(a)—(h) γ=0.5 ;(i)—(l) γ=30 ;(m)—(p) γ=0.05 .Common parameters: r=0.5,L=50,x0=25 .

當v≤r時,邊緣處有較大的損失概率即有邊緣爆發(fā)現(xiàn)象如圖2(a)所示;而增大胞內躍遷強度使得v＞r時在邊緣處無明顯的粒子損失概率,邊緣爆發(fā)消失如圖2(e)所示,這些現(xiàn)象已被文獻[33,34]證實過.本文研究表明耗散強度γ極大地影響了非厄米耗散系統(tǒng)的動力學,且耗散可誘導非厄米邊緣爆發(fā)重現(xiàn).當在邊緣爆發(fā)消失的圖2(e)的基礎上增大耗散強度,使γ由0.5 變?yōu)?0,發(fā)現(xiàn)在邊緣處重新出現(xiàn)了較明顯的損失概率(相較于系統(tǒng)整體的損失概率分布),如圖2(i)所示.

注意到改變耗散強度誘導的邊緣爆發(fā)與原先的邊緣爆發(fā)有所不同,具體表現(xiàn)在粒子損失概率分布圖上.原先存在邊緣爆發(fā)的系統(tǒng)在損失概率分布圖中表現(xiàn)為邊緣處是獨立的一支峰,如圖2(a)所示,而耗散誘導的邊緣爆發(fā)系統(tǒng)則是由邊緣處緩慢擴展于體內如圖2(i)所示,并且在初始位置的左右兩側都有分布.造成損失概率分布有差異的原因是粒子運動方向的概率不同,可直觀地從波函數模方的時間演化過程(圖2)中看出: 圖2(j)—(l)表明在強耗散作用γ=30 下,粒子在初始時刻有沿趨膚效應朝左和相反于趨膚效應朝右演化的概率,并且其中沿著趨膚效應方向演化的粒子運動到邊緣后做反彈運動(開邊界的本征態(tài)分布可表明趨膚效應方向,此非厄米系統(tǒng)趨膚效應的方向類似于圖3(c)中插圖所示向左).在強耗散作用γ=30 下的邊緣爆發(fā)中,粒子以上述的運動方向演化,形成圖2(i)的粒子損失概率分布.而在原先的邊緣爆發(fā)中,例如圖2(b),(d)粒子沿著趨膚效應方向運動至邊緣且“困”于邊緣附近繼而損失盡,形成圖2(a)的概率損失分布.造成邊緣爆發(fā)損失概率分布有差異的深層原因將于3.3 節(jié)中探討.

圖3 (a)不同初始位置時邊緣峰與最小值的相對高度比 Pedge/Pmin ;(b)不同初始位置時邊緣峰與整個體系中最大值的相對高度比 Pedge/Pmax ;(c)周期性邊界條件下能量虛部最大值的模,插圖為 γ=30 時開邊界條件下本征態(tài)的模方|ψx|2 的分布;(d)周期性邊界條件下的能量虛部最大值(γ 軸取對數),紅線為 v=r 表示胞內胞外躍遷強度相等,藍線是PT 對稱性的分界線|γ|=2v .(a)—(c)為雙對數坐標,v=0.7,L=200 ;(d)橫坐標取 l n γ,標記4 個點,γ=0.05 藍色三角形對應圖2(m);γ=0.5洋紅色十字對應圖2(e),γ=30 紅色五角星對應圖2(i),以及將圖(d)中 v=0.3,γ=0.5 標記為黑點對應圖2(a).共同參數r=0.5Fig.3.(a) Relative height ratio of edge peak to minimum Pedge/Pmin at different initial positions;(b) relative height ratio of edge peak to maximum in the system Pedge/Pmax ;(c) the modulus of the maximum imaginary part of energy under periodic boundary conditions,the inset shows the distribution of eigenstates|ψx|2 under open boundary with γ=30 ;(d) maximum energy imaginary part under periodic boundary(axis γ is logarithm),the red line indicates that the intracell and intercell hopping is equal v=r,and the blue line is the boundary of PT symmetry|γ|=2v .(a)—(c) With double logarithmic coordinates,v=0.7,L=200,(d) abscissa l n γ .Mark four points: γ=0.05 blue triangle corresponding to Fig.2(m);γ=0.5 magenta cross corresponding to Fig.2(e);γ=30 the red pentagram star corresponding to Fig.2(i);v=0.3,γ=0.5 in panel (d) is marked as a black dot corresponding to Fig.2(a).Common parameters: r=0.5 .

當v＞r時,耗散強度較小如γ=0.05 的系統(tǒng)也存在邊緣爆發(fā)現(xiàn)象,其粒子損失概率分布和波函數時間演化都類似于較大耗散γ=30 時的情況,如圖2(i)—(p)所示.但是γ取較大時B格點上波函數模方 |(t)|2的數量級遠小于γ取較小時的量級,如圖2(k),(l)與(o),(p)中顏色條的值所示.

3.2 確認耗散作用可誘導邊緣爆發(fā)重現(xiàn)

本節(jié)通過數值計算確定了改變耗散強度可誘導邊緣爆發(fā)重現(xiàn).作出邊緣峰與最小值的相對高度比Pedge/Pmin,如圖3(a)所示,其中Pmin≡min{P1,P2,···,Px0}指從初始位置到左邊緣之間最小的損失概率.若Pedge/Pmin遠大于1 則表示邊緣處有明顯的損失概率;若Pedge/Pmin比值接近1 則表示邊緣處無較明顯的損失概率.圖3(a)中x0=100和x0=150 的計算結果表明當v＞r時,耗散強度在γ=0.5 附近的Pedge/Pmin接近1,無邊緣爆發(fā);而左右兩側耗散強度γ=0.05 和γ=30 附近的比值較大,有邊緣爆發(fā).圖3(b)中Pedge/Pmax為邊緣處損失概率與整個系統(tǒng)損失概率分布中最大值的比值,若接近1 說明有邊緣爆發(fā);若遠小于1 (接近于0)時相反.圖3(b)表明當γ=0.5 時系統(tǒng)無邊緣爆發(fā),而當γ=0.05 和γ=30 時有邊緣爆發(fā).

圖3(a)和圖3(b)在3 個耗散強度參數標記點上的分析結果對應圖2(e),(i),(m)中L=50 的邊緣爆發(fā)情況,區(qū)別為圖3 取L=200 .若用長鏈系統(tǒng)x0=100 和x0=150 也可觀察到與圖2(e),(i),(m)相同的邊緣爆發(fā)情況,但此時波函數所展示的粒子運動的效果不如短鏈清晰,故選取L=50 短鏈系統(tǒng)作圖2.而短鏈系統(tǒng)尺寸的局限性會影響Pedge/Pmin的結果,影響邊緣爆發(fā)的判斷,故用圖3(a)中x0=100 和x0=150 的長鏈系統(tǒng)分析邊緣爆發(fā).L=50,x0=25 與L=200,x0=25 兩個系統(tǒng)中的Pedge/Pmin一致,也可將后者的計算結果稱為短鏈系統(tǒng)的值,將x0=100 與x0=150 稱為長鏈系統(tǒng).圖3(a)展示了短鏈系統(tǒng)的與長鏈系統(tǒng)中Pedge/Pmin的差別.

以3 個標記為例說明短鏈系統(tǒng)的尺寸局限對Pedge/Pmin的影響: 文獻[34]提到有限鏈邊緣處損失概率與無窮長鏈在遠處的積累有關,γ=0.5 (洋紅色十字處參數)時短鏈系統(tǒng)的邊緣處仍有較小的損失概率(放大多倍后可觀察到),這使短鏈的Pedge/Pmin增大.而在γ=0.05 (藍色三角形參數)和γ=30 (紅色五角星參數) 時的短鏈系統(tǒng)中,由于粒子運動到左邊緣后反彈,使得Pmin經粒子反彈的積累后變大,進而Pedge/Pmin減小,如圖3(a)所示.短鏈系統(tǒng)的尺寸局限使得短鏈中Pedge/Pmin的值在γ=0.5,0.05,30的結果大致相同,無法相互區(qū)別并判斷邊緣爆發(fā)現(xiàn)象.因此依據圖3(a)中x0=100 和x0=150長鏈系統(tǒng)的Pedge/Pmin計算結果,同時結合圖3(b)中Pedge/Pmax進行分析(其在長和短鏈系統(tǒng)下都有同樣的趨勢),更好地解釋了當v＞r時γ取較大和較小時有邊緣爆發(fā)的重現(xiàn).

Xue 等[34]的研究提到出現(xiàn)邊緣爆發(fā)現(xiàn)象需要同時滿足兩個非厄米的獨特性質,即周期性邊界下能量虛部帶隙閉合與存在非厄米趨膚效應.圖3(c)的插圖表明在γ=30 的強耗散作用下存在趨膚效應,(在γ=0.05 的弱耗散作用下同樣存在趨膚效應),這滿足了邊緣爆發(fā)的其中一個條件(γ=0 或v=0時無趨膚效應,無邊緣爆發(fā)).接著探究周期性邊界條件下能量虛部與耗散作用的關系.由布洛赫哈密頓量:

計算得到周期性邊界條件下的能量本征值:

其中k∈[0,2π],σx和σz為泡利矩陣,由于是純耗散體系,能量虛部 I m(Ek)≤0,上述帶隙指能量虛部最大值與零的間距.周期性邊界條件下能量在復平面上形成了閉合的曲線這與開邊界存在趨膚效應相等價[36,37].由(5)式作出周期性邊界條件下能量虛部最大值的模隨耗散強度γ的變化情況,如圖3(c)所示.圖3(c)表明隨著耗散增強,周期性邊界下能量虛部最大值的模先增大后減小,在γ較強或較弱時能量虛部最大值接近零,滿足了出現(xiàn)邊緣爆發(fā)的另一條件.周期性邊界條件的能譜虛部最大值不為零,對應的粒子耗散率較大,即粒子很快耗散到環(huán)境中去,而不會到達邊緣,因而沒有邊緣爆發(fā);而當能譜虛部最大值接近為零時,粒子耗散率較小,容易到達邊界處,形成邊緣爆發(fā).

圖3(a)—(c)確定了邊緣爆發(fā)重現(xiàn),現(xiàn)將參數范圍擴大為圖3(d)所示,即可與圖2 相對應(圖3(d)橫坐標取 l nγ,所以v和γ從接近零的數開始).存在邊緣爆發(fā)的圖2(a)增大胞內躍遷強度后邊緣爆發(fā)消失變?yōu)閳D2(e),再增大或減小耗散強度后變?yōu)橛羞吘壉l(fā)的圖2(i)或圖2(m).將上述過程對應于圖3(d)中:v由小到大,例如從黑色點到洋紅色十字,顏色由黃色進入綠色區(qū)域,代表能量虛部最大值遠離零,對應邊緣爆發(fā)消失.接著增大或減小γ,向右或左移動重新進入右側紅色五角星處或到達左側藍色三角形處,代表能量虛部最大值接近零,對應邊緣爆發(fā)重現(xiàn).因此從圖3 可得出結論:v ＜r存在邊緣爆發(fā)(其中v≠0 且γ≠0),且較小和較大的耗散強度可以在v＞r的體系中重新誘導出邊緣爆發(fā).

注意到在v＞r區(qū)間γ從零增大到非常小參數值時邊緣爆發(fā)為從無到有,是連續(xù)變化的過程.由于本征能量和其對γ的一階以及高階導數隨著γ變化都是連續(xù)(圖5(a)的能量虛部),不存在發(fā)散行為,故系統(tǒng)從γ=0 到非常小值的轉變是連續(xù)的,不存在量子相變.當γ由零到非常小的值時,對應系統(tǒng)由無損失到損失概率在空間中大體呈現(xiàn)均勻分布(γ非常小時只有在初始位置有一個小峰,而邊緣處沒有出現(xiàn)峰值).當γ從非常小變?yōu)檩^小時損失概率分布在空間上不再均勻,在邊緣處慢慢出現(xiàn)了峰值,同時初始位置的峰值越發(fā)明顯,如圖2(m)γ=0.05所示.

3.3 兩種邊緣爆發(fā)中粒子損失概率分布有差異的深層原因

在 3.1 節(jié)提到的現(xiàn)象即在耗散誘導邊緣爆發(fā)的系統(tǒng)中,粒子損失概率為邊緣向體內擴展分布產生的深層原因.發(fā)現(xiàn)粒子運動方向的概率不同與體系是否遠離某特定轉變點有關.圖4 為初始位置右側第3 到6 個原胞處(x=x0+3,x0+4,x0+5,x0+6)的粒子損失概率,在同一參數下從初始位置越向右粒子損失概率越小.同時分析發(fā)現(xiàn)在耗散強度γ取某值時初始位置右側的損失概率為零,即粒子無向右運動的概率,而遠離此γ值時,初始位置右側的損失概率增大,該點在后面中被證明此轉變點為PT 對稱破缺點,具體為|γ|=2v(這里考慮v ＞0).故當在轉變點附近,粒子向右運動概率較小,且因存在趨膚效應粒子朝左運動到邊緣后“困”于邊緣處,并隨著演化完全損失到體系外形成單獨的損失峰,如圖2(a)所示;而遠離轉變點時向右的運動概率較大,初始位置向左右兩個方向運動,且向左運動的粒子到達邊緣處反彈向右運動,形成圖2(i),(m)中粒子損失概率分布圖所呈現(xiàn)的由邊緣向體內擴展且初始位置右側也有分布的特點.因此耗散作用重新誘導出的邊緣爆發(fā)與原先的邊緣爆發(fā)在粒子損失概率分布圖上不同的深層原因是:體系遠離了PT 對稱破缺點.

圖4 初始位置右側原胞的損失概率隨耗散強度的變化.右側原胞位置x 分別取 x0+3,x0+4,x0 +5,x0 +6,其中 v=0.7,L=50,x0=25,r=0.5Fig.4.Loss probability of the right cell at the initial position varies with the dissipation intensity.Right cell position x is taken as x0+3,x0+4,x0 +5,x0 +6 respectively with v=0.7,L=50,x0=25,r=0.5 .

在存在邊緣爆發(fā)v≤r的系統(tǒng)中,初始位置右側原胞的損失概率隨耗散強度的變化類似于圖4,其在較大和較小的耗散強度區(qū)間上的粒子損失概率也類似于v＞r時的分布,為向體內擴展型分布(除無耗散γ=0 參數,因為無邊緣爆發(fā)).綜上所述,先在3.2 節(jié)中由產生邊緣爆發(fā)的兩個非厄米特性條件判斷得到存在邊緣爆發(fā)的區(qū)間,得到圖3(d),然后在3.3 節(jié)中進一步由體系靠近或遠離PT 對稱破缺點解釋邊緣爆發(fā)系統(tǒng)的粒子損失概率為邊緣分布或向體內擴展分布.

下面是關于上述轉變點|γ|=2v為體系PT 對稱點的討論.其中,PT 對稱破缺點的含義闡述如下: 1998 年,Bender 和Boettche[38]發(fā)現(xiàn)在非厄米系統(tǒng)中,哈密頓量在空間和時間反演的共同作用下不發(fā)生改變的系統(tǒng)具有PT 對稱性,在一定參數區(qū)間內開邊界能譜為純實數,對應系統(tǒng)處于PT 對稱相,改變參數后能譜為一對共軛的復數,對應系統(tǒng)處于PT 破缺相,兩個相的臨界處即為PT 對稱破缺點[22,39].本文的一維非厄米耗散系統(tǒng)在Lee 模型[22]的基礎上整體平移 -iγ/2,但兩種系統(tǒng)的轉變點位置不變,故將此處也稱為PT 對稱破缺點.非厄米物理中關于PT對稱的研究在不斷地發(fā)展,可以參考文獻[39-45]了解最近的動態(tài).圖5(a)表明開邊界能譜的虛部在|γ|＜2v的區(qū)間內能量虛部為-γ/2處于PT 對稱相中,此結果與Lee[22]研究提到的PT 對稱性相同.根據非布洛赫能帶理論可知本文模型的廣義布里淵區(qū)是半徑的圓形,作出半徑R隨γ的變化,如圖5(b)所示.發(fā)現(xiàn)在γ＞0 時R＜ 1 而在γ＜0 時R＞ 1,對應趨膚效應是向左或向右[37,46],當γ=±2v時半徑R為零或無窮大.進一步可由非布洛赫能帶理論得到開邊界條件下的能量,利用廣義布里淵區(qū)是半徑為R的圓這一特征,從理論上計算得到PT 對稱性的臨界位置|γ|=2v.

圖5 (a)開邊界條件下能量本征值虛部隨耗散強度的變化,L=50 ;(b)廣義布里淵區(qū)的半徑 R,黑色直線為 R=1 代表布里淵區(qū)半徑.共同參數 r=0.5,v=0.6Fig.5.(a) Change of imaginary part of energy eigenvalue with dissipation intensity under open boundary condition with L=50 ;(b) R the radius of the generalized Brillouin zone,the black line represents the radius of Brillouin zone with R=1 .Common parameters: r=0.5,v=0.6 .

非互易Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[10]哈密頓量為

在數學上可等價為Lee 模型.在此模型中胞內躍遷有兩個方向,強度分別為 (v+γ/2) 和 (v-γ/2),胞間躍遷強度為r.當γ=±2v時僅有一側的胞內躍遷強度不為零,粒子沿某一方向運動;γ在此參數附近時同樣朝一個方向的運動概率大,對應本文模型中損失概率的單側分布,如圖2(a),(e)所示.當γ取值很小或很大時胞內兩個方向的躍遷強度的大小接近相等,粒子向兩側運動對應本文中損失概率的雙側分布,如圖2(i),(m)所示.

3.4 勢壘對非厄米動力學的影響

在此系統(tǒng)中添加雜質勢壘,探究勢壘對損失概率產生的影響.將雜質勢壘設置于第10 個原胞,相應的哈密頓量寫作:

其中VA,B分別表示在A或B格點上的勢壘強度.

首先,僅在A格點處放置勢壘,如圖6(a)所示,勢壘增大的過程中邊緣上粒子損失概率P1迅速降低后緩慢變化;含勢壘的雜質原胞及其右側相鄰原胞處的損失概率P10與P11的值從零迅速升高到一定高度后緩慢變化,最終P1,P10和P11形成3 個平臺.取圖6(a)中勢壘最大值V=0.15 作出圖6(d)粒子損失概率分布,其中3 個損失峰與圖6(a)中3 個平臺相對應,并發(fā)現(xiàn)僅有少部分粒子通過雜質原胞到達邊緣,表明A格點處設置勢壘會明顯地影響粒子運動.其次,在B格點上放置勢壘,見圖6(b).圖6(b)表明P1值較大且不隨耗散強度明顯變化,P10逐漸接近于零,P11有略微增大.圖6(e)中B格點上勢壘V=0.15,表明B格點上的勢壘不會明顯地影響粒子損失概率分布,粒子主要還是在A格點通道運動.最后,在第10 個原胞的A和B格點處同時加入等大的勢壘,如圖6(c)所示,隨著勢壘升高,P1減小,P10先增大后減小;P11逐漸增大隨后緩慢變化形成一個平臺.在勢壘為0.15 時雜質原胞的右側形成一個損失峰P11,見圖6(f),此勢壘相當于將邊界移到第10 個原胞處,對應圖6(c)的平臺.結果表明,在不存在耗散的A格點上加很小的勢壘就會明顯阻礙粒子運動,且當勢壘增大到一定高度后其對粒子運動的影響趨于不變.

圖6 在第10 個原胞不同格點處放置勢壘的粒子損失情況 (a)—(c)在邊緣處、雜質原胞處以及雜質原胞相鄰原胞上的損失概率 P1,P10 和 P11,圖(b)中插圖為 P10 和 P11 隨勢壘變化的細節(jié);(d)—(f)勢壘強度 V=0.15 時3 種勢壘設置下的粒子損失概率分布.(a) VA=V ,VB=0 ;(b) VA=0,VB=V ;(c) VA=VB=V ;(d) VA=0.15 ,VB=0 ;(e) VA=0,VB=0.15 ;(f) VA=VB=0.15 .共同 參數 v=0.3,r=0.5,L=50,x0=40,γ=0.5Fig.6.Particle loss of the barrier placed at different lattice points of the tenth cell: (a)—(c) Loss probability at the edge,the impurity cell and the adjacent cell of the impurity cell P1,P10 and P11,the inset in panel (b) is the detail of P10 and P11 changing with the barrier;(d)—(f) the probability distribution of particle loss under the three barrier settings with the barrier V=0.15 .(a) VA=V,VB=0 ;(b) VA=0,VB=V ;(c) VA=VB=V ;(d) VA=0.15 ,VB=0 ;(e) VA=0,VB=0.15 ;(f) VA=VB=0.15 .Common parameters v=0.3,r=0.5,L=50,x0=40,γ=0.5 .

4 結論

本文在一維非厄米有耗散的系統(tǒng)中改變耗散強度和勢壘強度,通過數值計算考察了粒子損失概率分布和波函數的時間演化過程,研究了其動力學性質,結果展示出了豐富而有趣的現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn)耗散作用可以誘導邊緣爆發(fā)重現(xiàn),與原先的邊緣爆發(fā)粒子損失概率分布為邊緣分布不同,重現(xiàn)的邊緣爆發(fā)粒子損失為體分布,原因是粒子運動方向的概率不同,深層原因與非厄米體系是否遠離PT 對稱性破缺點有關.在重新誘導出的邊緣爆發(fā)下粒子由初始位置向左右兩方向運動,左側到達邊界后反彈運動,形成了邊緣處有較明顯的損失概率,并逐漸向體區(qū)域遞減且初始位置右側也存在損失概率的分布情況.而在原先的邊緣爆發(fā)下,粒子僅向左運動概率較大,“困”在邊緣處至完全耗散,形成在邊緣處有一支獨立損失峰的分布情況.當v＞r時體系在PT 對稱破缺點附近時粒子幾乎僅沿著趨膚效應方向運動;遠離PT 對稱破缺點時粒子有更大的朝與趨膚效應相反方向運動的相對概率,這是兩種邊緣爆發(fā)差異的深層原因.最后,本文關于勢壘的研究表明在無耗散的A格點上放置很小的勢壘就會對此一維非厄米耗散系統(tǒng)的動力學產生明顯的影響,當勢壘增大到一定高度后,其對粒子運動的影響趨于不變,而耗散B格點處的勢壘對動力學影響較小.目前非厄米的拓撲和動力學方向的研究仍然很活躍,本次研究僅關注了一部分,玻色子費米子多體的動力學等問題會展示更多有趣的現(xiàn)象.

感謝山西大學王利和陳立提供有益的討論,作者對非厄米的物理現(xiàn)象和理論有了更深刻的理解.