屈婷

《用百分數(shù)解決問題》是人教版數(shù)學六年級上冊第六單元《百分數(shù)（一）》例5的內(nèi)容，旨在讓學生用百分數(shù)解決“兩次增減變化”問題，培養(yǎng)學生的探究意識，提高學生解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合，夯實審題基礎(chǔ)

提取題目中的有效信息、明晰數(shù)據(jù)所表達的意思，才能看到問題背后的數(shù)學本質(zhì)。教師可以引導學生用圖示表征題意的過程，促進學生理解問題。

課始，筆者創(chuàng)設(shè)以下問題情境：“某商品4月的價格比3月降了20%，5月的價格比4月漲了20%。張阿姨和李阿姨分別在3月和5月購買了該商品。誰買得便宜？”學生猜想結(jié)論后，筆者讓學生畫圖表征題目信息，并收集了兩件有代表性的學生作品（如下圖）。

學生認為兩件作品都表示出商品3月、4月、5月的價格，降的20%和漲的20%也表示得很清楚。筆者引導：為什么要先畫商品3月的價格？學生回答：因為3月的價格是標準，畫線段圖時要先畫標準量，再畫比較量。接著，筆者讓學生分析兩幅作品有什么不同。學生發(fā)現(xiàn)作品①沒有關(guān)注“降20%”和“漲20%”的線段長度，而作品②將表示3月價格的線段平均分成5份，其中1份與表示“降20%”的線段一樣長。然后，筆者引導學生討論“降20%”是誰與誰比、這部分線段是不是隨便畫多長都可以，并讓學生思考哪幅作品能更準確地表示商品4月的價格比3月降低20%。學生討論后明確：“降20%”表示“4月與3月相比，商品價格少了，少的數(shù)量是3月商品價格的20%”，用分數(shù)表示是五分之一，這部分線段的長短不能隨意畫，作品②的畫法更準確。最后，筆者引導學生思考表示“漲20%”與“降20%”的線段長度是否一致，怎樣確定“漲20%”的線段畫多長。通過交流，學生發(fā)現(xiàn)：“漲20%”表示“5月與4月相比，商品的價格漲了，漲的數(shù)量是4月商品價格的20%”，畫圖時需要把表示4月價格的線段平均分成5段，其中一段的長度就是“漲20%”對應(yīng)的長度；由于比較的標準不一樣，“降20%”與“漲20%”的線段長度是不同的。

二、理順關(guān)系，強化思路分析

本課要解決的是多步復(fù)合應(yīng)用題，學生既要以兩次增減的百分數(shù)的意義作支撐來建立數(shù)量關(guān)系，又要借助假設(shè)法輔助思考。教師要關(guān)注學生解決問題的思維路徑，幫助學生理順信息之間的邏輯關(guān)聯(lián)，理清數(shù)量關(guān)系。

課堂上，筆者先引導學生解決列算式解決問題時會遇到的具體價格不明的問題。對此，學生提出借鑒解決工程問題的做法，假設(shè)一個價格。筆者追問：要假設(shè)商品幾月的價格？假設(shè)成多少合適？學生提出要假設(shè)3月的價格，可以假設(shè)成50元、100元、1000元等方便計算的數(shù)。筆者讓學生列算式解決問題，而后呈現(xiàn)以下兩種方法：

①50×（1-20%）=40（元）? 40×（1+20%）=48（元）

②50-50×20%=40（元）? 40+40×20%=48（元）

筆者提問：方法①和方法②有什么相同點和不同點？學生回答：兩種方法都是把商品3月的價格假設(shè)成50元，分別算出4月和5月的價格；不同的是方法①先算4月價格占3月價格的百分率，方法②先算4月比3月降低的具體錢數(shù)。筆者追問：為什么都要先算出4月的價格？學生回答：5月的價格是以4月的價格為標準變化的，只有先求出4月的價格，才能求出5月的價格。

接著，筆者呈現(xiàn)方法③：100×（1-20%）=80（元），80×（1+20%）=96（元）。筆者問學生方法③與前兩種方法比有什么不同，它可以跟哪種方法歸為一類。學生認為方法③和方法①是同一類，都是先算商品4月的價格是3月的百分之幾，只是假設(shè)的3月價格不同。

然后，筆者呈現(xiàn)方法④：1×（1-20%）=0.8，0.8×（1+20%）=0.96。筆者設(shè)疑：這種方法與前面的方法相同嗎？學生認為方法④與方法①、方法③相同，只是沒寫單位名稱，并提出前面的方法假設(shè)的是具體價格，方法④中的“1”表示商品3月的價格對應(yīng)的分率，直接算分率不用寫單位名稱。筆者肯定了學生的想法，并進一步引導：小剛用“1”表示商品3月的價格，列出算式“1-20%+20%=1”，有道理嗎？學生回答：線段圖中漲的20%和降的20%不一樣長，不能直接加或減。筆者引導學生結(jié)合線段圖思考：如果用“1”表示商品3月的價格，商品4月的價格怎樣表示？學生討論后認為，用“1×（1-20%）”和“1-20%”表示都對。筆者繼續(xù)引導：商品5月的價格由幾部分組成？加的20%是“1”的20%嗎？學生恍然大悟：加的應(yīng)該是商品4月價格的20%，而“（1-20%）×20%”等于16%，所以應(yīng)該用“1-20%+16%”計算。

最后，筆者引導學生算出5月與3月相比的降價幅度，并提問：為什么假設(shè)的數(shù)據(jù)不同，結(jié)果卻相同？學生發(fā)現(xiàn)降價幅度是一個百分率，降價錢數(shù)與假設(shè)錢數(shù)的關(guān)系是不變的，所以結(jié)果相同。

以上教學，學生體會到不論用哪種方法解題，都要先算商品4月的價格，它是“漲20%”的標準，這個隱藏較深的單位“1”是正確解題的關(guān)鍵。

三、題組對比，助力模型建構(gòu)

教師構(gòu)建變式題組，引導學生對比理解同類題目的數(shù)學本質(zhì)，掌握這類問題的基本結(jié)構(gòu)，有利于學生明確解決復(fù)雜百分數(shù)問題的一般方法與策略。

筆者先呈現(xiàn)第一組題，讓學生獨立解答。

（1）某商品4月的價格比3月降了10%，5月的價格比4月漲了10%。5月的價格和3月相比，是漲了還是降了？

（2）某商品4月的價格比3月漲了10%，5月的價格比4月降了10%。5月的價格和3月相比，是漲了還是降了？

學生列式計算，發(fā)現(xiàn)兩道題的結(jié)果相同。筆者引導學生觀察算式，思考“先降再漲”和“先漲再降”結(jié)果相同的原因。學生發(fā)現(xiàn)兩道題都有乘（1-10%）和（1+10%），只不過先后順序不同。筆者引導學生把分步算式改寫成綜合算式，從新的角度觀察。學生改寫后發(fā)現(xiàn)：兩個綜合算式中，只是帶括號算式的位置不同，只要降和漲的百分率一樣，不論是先降再漲還是先漲再降，5月的價格都比3月的價格低，因為降10%的單位“1”的量比漲10%的單位“1”的量大。

然后，筆者呈現(xiàn)第二組題，引導學生猜一猜哪些題目的結(jié)果可能相同。

（1）某商品的價格是a元，4月的價格比3月漲了25%，5月的價格比4月降了20%。5月的價格和3月相比，是漲了還是降了？

（2）某商品的價格是a元，4月的價格比3月降了25%，5月的價格比4月漲了20%。5月的價格和3月相比，是漲了還是降了？

（3）某商品的價格是a元，4月的價格比3月降了20%，5月的價格比4月漲了25%。5月的價格和3月相比，是漲了還是降了？

有的學生認為3道題中降的百分率與漲的百分率不同，結(jié)果未必相同；有的學生認為第（1）題和第（3）題都是“漲25%”“降20%”，只是順序發(fā)生了變化，結(jié)果可能相同。筆者引導學生驗證猜想，助推學生根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出含有未知數(shù)（字母a）的式子。經(jīng)過探究，學生發(fā)現(xiàn)：第（1）題和第（3）題與第一組題的規(guī)律相同，算得的結(jié)果都是a；第（2）題的算式“a×（1-25%）×（1+20%）”所得結(jié)果是0.9a，與漲和降的百分率相同的情況相比，漲的百分率少，降的百分率多，5月的價格會更低。通過對比分析，學生逐步理解了多種假設(shè)法的合理性及其內(nèi)在一致性。

（作者單位：宜城市窯灣小學）

責任編輯? 劉佳