徐文豐, 李穎暉, 裴彬彬, 禹志龍

(1. 空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038; 2. 空軍工程大學(xué)研究生院, 陜西 西安 710038)

0 引 言

變體飛機(jī)是一類能夠在不同的飛行環(huán)境和飛行任務(wù)中主動(dòng)或被動(dòng)地改變外形結(jié)構(gòu)的飛行器[1],其通過構(gòu)型的改變保證了在不同飛行階段下?lián)碛凶顑?yōu)飛行的性能,從而滿足多任務(wù)需求。近些年來,隨著材料、控制、計(jì)算機(jī)等技術(shù)的進(jìn)步以及對(duì)擴(kuò)展飛行包線,優(yōu)化飛行性能需求的不斷增大,變體飛機(jī)又一次受到了航空設(shè)計(jì)師們的關(guān)注[2]。

當(dāng)前,飛機(jī)變體技術(shù)還未發(fā)展成熟,仍有許多工作有待完善,仍需多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的突破[3],如材料、飛行控制、氣動(dòng)建模、非剛體動(dòng)力學(xué)等。在飛行控制領(lǐng)域中,現(xiàn)有的研究成果大多集中于預(yù)先設(shè)定變形過程的穩(wěn)定性控制問題[4-9]。將變形機(jī)構(gòu)作為控制量,協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)控制量的成果較少。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)主要有以下三大難題:① 變形產(chǎn)生額外的慣性力和氣動(dòng)參數(shù)的變化,給系統(tǒng)帶來了時(shí)變效應(yīng)和較大不確定性,增加了維持系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性的難度。② 變形作為控制輸入改變了飛機(jī)的慣性參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù),在動(dòng)力學(xué)方程中為非仿射形式,這給變形控制器設(shè)計(jì)帶來較大的難度。③ 將變形作為控制輸入,應(yīng)當(dāng)考慮控制變量的幅值速率飽和問題。與此同時(shí),變形給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性帶來較大不確定性,變體飛機(jī)的狀態(tài)應(yīng)與常規(guī)飛機(jī)相比更容易超出安全限制。因此,輸入約束和狀態(tài)約束是變體飛機(jī)控制器設(shè)計(jì)中所必須加以考慮的問題,然而這是大多數(shù)基于模型的控制方法無法解決的。

在現(xiàn)有的協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)與飛控系統(tǒng)的理論成果中,通常是先對(duì)期望的力和力矩進(jìn)行控制律設(shè)計(jì),然后采用控制分配法將控制效能分配到各個(gè)舵面和變形機(jī)構(gòu)[10-11]。這樣處理簡(jiǎn)單高效,一定程度上具有處理輸入受限的能力,但是這種方法通常無法處理狀態(tài)受限問題,且沒有充分利用變形這一額外的控制自由度優(yōu)化飛行性能。在當(dāng)前,仍沒有理論成果能夠在全面考慮變體飛機(jī)的狀態(tài)和輸入約束的條件下對(duì)變形機(jī)構(gòu)、舵面和發(fā)動(dòng)機(jī)推力進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。

在其他背景下的航空航天飛行控制研究中,常在反推控制的框架下引入輔助系統(tǒng)以補(bǔ)償輸入飽和,并使用李亞普諾夫障礙函數(shù)處理狀態(tài)約束[12-13],但這種方法存在較大的局限性,其參數(shù)設(shè)置較為困難,需要對(duì)虛擬控制率上界進(jìn)行提前估計(jì),且無法處理速率約束問題。另一種可行的方法是在反推控制的框架下引入指令濾波器對(duì)控制輸入和狀態(tài)變量進(jìn)行限制[14-15],這種方法簡(jiǎn)單容易實(shí)施,能夠較為方便地引入速率約束,但其僅僅能夠適用于約束較為寬松的情形,這是因?yàn)樵诳刂坡试O(shè)計(jì)的過程中使用指令濾波器直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行限制容易破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control, MPC)方法為這類約束問題的解決提供了一個(gè)可行的框架,其最大的優(yōu)勢(shì)就是能夠靈活地處理各種輸入約束與狀態(tài)約束。MPC方法中蘊(yùn)含著最優(yōu)化的思想[16],通過滾動(dòng)時(shí)域法實(shí)時(shí)對(duì)預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,使用最優(yōu)化的方式“平衡”控制性能和輸入狀態(tài)限制。MPC方法能夠?qū)ο到y(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè),因此能夠在控制率解算時(shí)充分考慮輸入和狀態(tài)飽和給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性帶來的影響,具有前瞻性地給出最優(yōu)控制輸入。MPC方法已經(jīng)成功應(yīng)用于多個(gè)行業(yè)的工業(yè)控制之中[17-24],并引起了航空業(yè)的廣泛關(guān)注[25-32]。

MPC方法可分為非線性MPC和線性MPC兩種,其中非線性MPC涉及非凸優(yōu)化問題,往往難以進(jìn)行求解。因此,在工程應(yīng)用中,通常采用線性MPC方法[25],然而線性模型只能在局部描述非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,為了使得線性MPC方法適用于復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)模型,多模型切換的MPC方法應(yīng)運(yùn)而生[26]。模型切換保證了MPC方法使用的線性模型能夠在整個(gè)狀態(tài)空間中較好地描述非線性動(dòng)態(tài),但模型的高頻切換可能引起狀態(tài)顫振,影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。同時(shí),模型切換的方法增大了飛控計(jì)算機(jī)的運(yùn)算負(fù)擔(dān),在解算的實(shí)時(shí)性上面臨更大的挑戰(zhàn)。

本文以縱向運(yùn)動(dòng)的變體飛機(jī)為目標(biāo),使用小擾動(dòng)線性化的方法獲取了不同平衡點(diǎn)下的變體飛機(jī)離散小擾動(dòng)方程,并為之設(shè)計(jì)了一種新型的多模型切換的MPC控制器。該控制器將變形機(jī)構(gòu)作為控制輸入,能夠協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu),升降舵和發(fā)動(dòng)機(jī)推力對(duì)變體飛機(jī)的飛行性能進(jìn)行優(yōu)化控制,且具備處理控制器輸入幅值速率約束及飛行器的狀態(tài)約束的能力。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:

(1) 將多模型切換的MPC方法應(yīng)用于縱向運(yùn)動(dòng)的變體飛機(jī)飛控系統(tǒng)與變形機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)控制問題中。解決了變體飛機(jī)控制中關(guān)鍵的輸入和狀態(tài)受限問題,且能夠通過協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)、發(fā)動(dòng)機(jī)推力、升降舵優(yōu)化飛行性能。

(2) 在控制器設(shè)計(jì)過程中,提出了一種基于廣義歐式距離的模態(tài)判別方法,以確保MPC控制器解算所需的小擾動(dòng)線性模型盡可能準(zhǔn)確地反映變體飛機(jī)非線性模型的動(dòng)力學(xué)特性。

(3) 在控制器求解過程中,將二次規(guī)劃的約束條件靈活設(shè)計(jì)為時(shí)變形式,較好地處理了狀態(tài)變量的幅值速率約束問題;并引入松弛變量保證了二次規(guī)劃問題的可解性;設(shè)計(jì)了最小駐留時(shí)間機(jī)制提高控制器的穩(wěn)定性能和求解效率。

1 模型建立

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[33]中的結(jié)果,變體飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為如下矢量形式:

(1)

式中:×為向量積運(yùn)算;F,M分別為合外力與合外力矩;m為飛機(jī)的質(zhì)量;S,J分別為飛機(jī)關(guān)于本體系Fb坐標(biāo)原點(diǎn)Ob的一階矩和二階矩;ω=[p,q,r]T為角速度矢量;v=[u,v,w]T為速度矢量;ρi=[ρxi,ρyi,ρzi]T為飛機(jī)質(zhì)量微元相對(duì)于本體系原點(diǎn)Ob的位置矢量。各運(yùn)動(dòng)矢量及飛機(jī)本體坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 變體飛機(jī)運(yùn)動(dòng)矢量與本體坐標(biāo)系Fig.1 Vector and body frame of the morphing aircraft

(2)

假設(shè)飛機(jī)只進(jìn)行對(duì)稱變形與縱向運(yùn)動(dòng),則

p=r=v=0

(3)

(4)

將式(1)中力的方程分解在本體坐標(biāo)系下,力矩的方程分解在速度坐標(biāo)系下[34],可得

(5)

(6)

式中:

(7)

為本體系到速度系的轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(2)～式(7)代入式(1),可化簡(jiǎn)得到變體飛機(jī)的縱向動(dòng)力學(xué)方程如下:

(8)

式中:θ為俯仰角;γ和α為航跡角和迎角;T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;ZT為推力的俯仰力臂;Hx,Hz,MF分別為變形引起的慣性力和慣性力矩,其表達(dá)式如下:

L≈Lαα+L0α=

1.2 模型線性化

采用平衡點(diǎn)線性化的方式處理非線性動(dòng)力學(xué)模型,將式(8)重新整理如下:

(9)

令式(9)左端為0,顯然有q=0,θ=α。平衡點(diǎn)的計(jì)算可化簡(jiǎn)為

(10)

本文中將速度V,高度h,后掠角ζ這3個(gè)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性影響較大的變量給定,計(jì)算α,δe和T。對(duì)V,h和ζ進(jìn)行網(wǎng)格化取值,設(shè)置其最小值分別為50 m/s,500 m,15°,最大值分別為350 m/s,8 000 m,55°。取值間隔設(shè)置為25 m/s,500 m,5°。在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)求解式(10),得到13×16×8個(gè)平衡點(diǎn):

設(shè)置離散周期Δts=0.01 s。在這些平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化,得到13×16×8組離散化小擾動(dòng)方程:

2 控制器的設(shè)計(jì)與求解

2.1 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)的平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)移的定點(diǎn)跟蹤問題,基于前文建立的線性切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)函數(shù)及約束條件如下:

(11)

2.2 控制器求解

(12)

(13)

式中:

Sx=[I5×5,A,A2,…,AN]T

則式(11)中的性能指標(biāo)函數(shù)可寫為如下形式:

(14)

式中:

符號(hào)blkdiag(·)表示將矩陣沿對(duì)角連接的算子。

將式(13)代入式(14)可得

(15)

(16)

式中:

式(11)中的約束同樣可以整理為式(12)中二次規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型,式(14)中的G0有如下形式:

式中:

G2=06N×5

G4=06N×5

式(12)中的B0有如下形式:

其中,

E0=[012N×5,-Ax,-AxA,-AxA2,…,-AxAN]T

式(12)中不等式的前6N行約束了輸入的幅值,中間6N行約束了輸入的速率,最后10(N+1)行約束了狀態(tài)的幅值。

2.3 控制器模型切換方法設(shè)計(jì)

模型預(yù)測(cè)控制方法只能參照單個(gè)的線性動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)控制律,因此必須對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行判別,獲取最接近于當(dāng)前狀態(tài)的平衡點(diǎn)以確定能夠準(zhǔn)確反映當(dāng)前系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的線性化模型用于控制器解算。結(jié)合模型切換的方法,保證控制器解算所使用的模型在能夠在整個(gè)狀態(tài)空間中刻畫非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

本文使用加權(quán)歐式范數(shù)的方法來度量當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)與各平衡點(diǎn)之間的距離,定義:

(17)

式中:W=[wh,wv,wa,wδ,wT,wζ]T為各狀態(tài)變量的權(quán)重。可見,為了保證最接近當(dāng)前系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的小擾動(dòng)模型對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)距當(dāng)前狀態(tài)的de最小,廣義歐式范數(shù)在傳統(tǒng)歐式范數(shù)的基礎(chǔ)上引入了權(quán)重向量W,該向量的設(shè)置應(yīng)當(dāng)綜合考量各狀態(tài)變量的數(shù)量級(jí)及其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響的顯著程度。例如,狀態(tài)變量h的高度的單位為m,數(shù)量級(jí)較大,而其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響并不顯著,因此應(yīng)該將wh設(shè)置為較小的值,而狀態(tài)變量α的單位為(°),數(shù)量級(jí)較小,但對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響十分顯著,因此應(yīng)將wα設(shè)置為較大的值。為了避免權(quán)重參數(shù)設(shè)置的盲目性,可將W按如下方法進(jìn)行初步設(shè)計(jì)。

KV>Kα>Kζ>1

注意到,其在分母上的設(shè)置消除了不同物理量的量綱的影響。此外,該設(shè)計(jì)方法通過在分子上引入KV,Kα,Kζ增大了對(duì)系統(tǒng)給動(dòng)力學(xué)特性影響較大的狀態(tài)變量V,α,ζ對(duì)應(yīng)的權(quán)重。按照該方法設(shè)計(jì)的權(quán)重W基本能夠?qū)ο到y(tǒng)模態(tài)進(jìn)行合理判別,滿足控制器對(duì)模型切換準(zhǔn)確性的要求。如果仍有繼續(xù)優(yōu)化權(quán)重W的需求,可在上述初步設(shè)計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上通過反復(fù)試驗(yàn)并觀察控制器性能來最終確定使控制器性能最佳的權(quán)重參數(shù)設(shè)置。

另一方面,為了避免控制器模態(tài)在短時(shí)間內(nèi)多次切換,提高求解速度,設(shè)置控制器每個(gè)模態(tài)有最短駐留時(shí)間Te,即每間隔Te時(shí)間根據(jù)廣義歐式距離的大小更新一次小擾動(dòng)模型信息。

模型預(yù)測(cè)控制器與變體飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程式(9)的交互求解流程可總結(jié)如下。

步驟 4t=t+Δt,u=Δu0+ue,將u作為控制量輸入非線性模型,應(yīng)用四階龍格庫塔法獲取下一時(shí)刻的[xT,uT]T,每隔Te時(shí)間,執(zhí)行一次步驟2,否則執(zhí)行步驟3。

3 仿真驗(yàn)證

在本節(jié)中,通過仿真對(duì)本文提出的方法進(jìn)行比較驗(yàn)證。設(shè)置仿真的步長Ts=0.01 s,序列優(yōu)化長度N=8,控制器的模態(tài)最小駐留時(shí)間Te=5 s,加權(quán)歐式范數(shù)中各狀態(tài)變量的權(quán)重為W=[2×10-4,0.05,2.5,1,5×10-5,0.1]T,性能指標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重矩陣設(shè)置為

Q=blkdiag(0.1,5,5,1,300)

R=blkdiag(0.001,1000,1)

Rc=blkdiag(10,10,108,108,100)

設(shè)置任務(wù)目標(biāo)為從平衡狀態(tài):

轉(zhuǎn)移至平衡狀態(tài)

3.1 同現(xiàn)有MPC方法的比較

將3種控制方法與變體飛機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)模型分別組成閉環(huán)控制系統(tǒng),仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。由圖2(a)～圖2(e)可見,進(jìn)行模型切換的兩種控制方法的狀態(tài)約束得到了較好的滿足,只有α,θ略微超出了限制,造成這一現(xiàn)象的原因主要有兩點(diǎn):其一是本文在狀態(tài)約束中引入松弛變量ε以保證二次規(guī)劃問題的可解性,在理論上容許α,θ超出限制;其二是模型預(yù)測(cè)控制器基于切換線性模型進(jìn)行設(shè)計(jì),而控制輸入實(shí)際作用于非線性模型,二者略有偏差。若要保證某一合理范圍的狀態(tài)約束嚴(yán)格成立,可通過進(jìn)一步收緊該約束范圍來實(shí)現(xiàn)。不進(jìn)行模型切換的控制方法大幅度的超出了預(yù)先設(shè)定的狀態(tài)約束,這是因?yàn)槠涫褂玫膯我痪€性模型無法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài),故無法通過對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的限制。由圖3可見,3種控制方法的輸入幅值和速率約束總是能夠嚴(yán)格得到滿足,這是因?yàn)榭刂戚斎朐诙我?guī)劃求解的過程中被直接作為決策變量,不受系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響,且未引入松弛變量,在理論上能夠保證約束嚴(yán)格成立。

圖2 仿真3.1中的狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 Response of states in the simulation 3.1

圖3 仿真3.1中的控制輸入Fig.3 Control inputs in the simulation 3.1

由圖2(a)和圖2(b)可知,兩種多模型切換的方法的收斂速度相似,均優(yōu)于單模型非切換的方法。觀察圖2(c)～圖2(e)和圖3(b)可知,當(dāng)控制器模型發(fā)生切換時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)需要一定的時(shí)間建立新的平衡過程,所以此時(shí)的狀態(tài)變量會(huì)出現(xiàn)一定程度的震蕩,其主要體現(xiàn)在α,θ,q變量?；诳刂浦芷谇袚Q的方法可能會(huì)在快速響應(yīng)時(shí)進(jìn)行高頻的模型切換,由圖2(e)和圖3(b)中0～30 s的綠色線可見,這導(dǎo)致了控制器和狀態(tài)變量的高頻顫振,該現(xiàn)象在工程實(shí)際中是較為不利的。而基于最小駐留時(shí)間切換的方法則很大程度上緩解了這一現(xiàn)象。

圖4中給出了3種控制方法的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比?？梢?本文提出的基于最小駐留時(shí)間切換的多模型MPC方法與不進(jìn)行模型切換的單模型MPC方法的求解速度相近,遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于基于控制周期切換的多模型MPC方法。這是因?yàn)榛诳刂浦芷谇袚Q的方法需要頻繁更新平衡點(diǎn)信息,在每一個(gè)控制周期步長需要完成更多的運(yùn)算。因此,同基于控制周期切換的方法相比,基于駐留時(shí)間切換的方法具有更高的運(yùn)算效率。

圖4 仿真3.1中的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Fig.4 Comparison of running time in simulation 3.1

3.2 同基于傳統(tǒng)歐式距離模態(tài)判別法的比較

將按照兩種不同的模態(tài)判別方法進(jìn)行模型切換的多模型MPC控制器與變體飛機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)模型組成閉環(huán)系統(tǒng),仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 仿真3.2中的狀態(tài)響應(yīng)Fig.5 Response of states in the simulation 3.2

圖6 仿真3.2中的控制輸入Fig.6 Control inputs in the simulation 3.2

由圖5(a)和圖5(b)可見,使用加權(quán)歐式距離的多模型MPC控制器跟蹤參考信號(hào)的速度更快,具有更好的收斂性。由圖5(c)～圖5(e)可知,基于傳統(tǒng)歐式距離的模型切換方式?jīng)]有較好的描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)大幅度超出了狀態(tài)約束,且造成了閉環(huán)系統(tǒng)嚴(yán)重的狀態(tài)震蕩。而使用加權(quán)歐式距離的切換率則較好的避免了這一問題,各狀態(tài)約束得到了很好的滿足。系統(tǒng)狀態(tài)震蕩的幅度和頻率也遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)歐式距離的方法。從圖6中可見,兩種方法都能使得系統(tǒng)的輸入約束得到滿足,且基于加權(quán)歐式距離方法設(shè)計(jì)的控制器相比傳統(tǒng)歐式距離方法具有更加平滑的控制輸入。

4 結(jié) 論

(1) 本文將基于線性模型的設(shè)計(jì)的MPC控制器通過多模型切換的方式成功應(yīng)用于變體飛機(jī)這以一具有較強(qiáng)非線性特征的非線性模型中,有效處理了狀態(tài)和控制輸入受限問題,體現(xiàn)了模型預(yù)測(cè)控制算法的特有優(yōu)勢(shì)。

(2) 本文中設(shè)計(jì)了一套基于廣義歐式距離的系統(tǒng)模態(tài)判別方法與基于駐留時(shí)間的模型切換機(jī)制,有效提高了多模型MPC控制器的控制性能與計(jì)算效率。

(3) 本文的方法仍有一定不足之處:一是控制器進(jìn)行模型切換時(shí)需要重新建立平衡狀態(tài),從而產(chǎn)生一個(gè)振蕩的過程,這在工程應(yīng)用中是應(yīng)當(dāng)盡量避免的;二是控制器的解算速度仍有較大優(yōu)化空間。

后續(xù)的研究將針對(duì)彌補(bǔ)這兩點(diǎn)不足展開,設(shè)計(jì)一種更為平滑的切換方式解決模型切換過程中的振蕩問題;并基于顯式模型預(yù)測(cè)控制理論探索模型預(yù)測(cè)控制器的解析解,提高控制器解算速度。