高 山, 智永鋒, 張 普, 左 軒

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

隨著計算機仿真技術(shù)的發(fā)展,以高超聲速飛行器為代表的復(fù)雜航天產(chǎn)品的研制與實驗逐漸由以物理樣機和地面試驗為主要方式的傳統(tǒng)模式,轉(zhuǎn)變?yōu)橐詳?shù)字樣機和計算機仿真試驗為主要方式的數(shù)字化模式。為保證航天產(chǎn)品性能樣機的可靠性,其校核、驗證與確認(verification, validation and accreditation, VV&A)是性能樣機研制過程中的重點。在航天產(chǎn)品性能樣機的研制過程中,VV&A應(yīng)該貫穿性能樣機的整個生命周期,而在所有VV&A階段中,仿真結(jié)果驗證是至關(guān)重要的一環(huán)[1-3]。進行仿真結(jié)果驗證最直接的手段是檢驗仿真系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)與實際系統(tǒng)試驗數(shù)據(jù)的一致性[4]。

灰色關(guān)聯(lián)分析(grey relational analysis, GRA)法因其計算簡便且對樣本容量要求較小而被廣泛應(yīng)用于仿真結(jié)果一致性驗證[5-7]。但由于經(jīng)典的鄧氏關(guān)聯(lián)分析模型在應(yīng)對某些特殊情況時存在較大的誤差和一定的局限性,多年來許多國內(nèi)外學(xué)者都采取了各種方法對其進行改進與提升。文獻[8]采用線性變換的方法重新定義了灰色關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻[6]采用兩屬性合成的方法改進了關(guān)聯(lián)度模型;文獻[9]基于層次分析法與樣本距離對GRA法進行了改進;文獻[10]用向量夾角余弦確定指標權(quán)重;文獻[11]用歐氏距離法對關(guān)聯(lián)模型進行了改進;文獻[12]引入歐幾里得貼近度改進灰色關(guān)聯(lián)模型;文獻[13]將曲線形狀與數(shù)值相結(jié)合構(gòu)造關(guān)聯(lián)模型;文獻[14]將GRA與灰色綜合評價結(jié)合應(yīng)用;文獻[15]在灰色關(guān)聯(lián)模型中引入了一階及二階斜率差;文獻[16-18]定義了新的關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻[19-24]分別用不同方法對關(guān)聯(lián)系數(shù)進行賦權(quán)從而改進GRA法;文獻[25-26]用向量投影方法對GRA進行了改進;文獻[27]應(yīng)用線性變換定義新的關(guān)聯(lián)系數(shù);文獻[28]應(yīng)用形狀與數(shù)值相似性改進了灰色關(guān)聯(lián)模型;文獻[29]提出一種新的分辨系數(shù)量化方法;文獻[30]定義了三種新的灰色關(guān)聯(lián)度;文獻[31]應(yīng)用差因子和商因子對GRA進行改進;文獻[32]在文獻[31]的基礎(chǔ)上加入了曲線距離分析;文獻[33]定義了因變量與主變量來改進GRA;文獻[34]利用斜率代替差值來構(gòu)造灰色關(guān)聯(lián)模型。

現(xiàn)有的研究雖然都對灰色關(guān)聯(lián)模型進行了改進,但由于應(yīng)用的領(lǐng)域和具體對象不同,所采用的方法的原理和思路也各不相同。如文獻[35]用改進的GRA研究不同合金的工藝參數(shù)關(guān)系;文獻[36]用改進的GRA不同部門對中國海陸經(jīng)濟的影響;文獻[37]分析防災(zāi)基礎(chǔ)設(shè)施的承災(zāi)能力;文獻[38]將改進GRA應(yīng)用于構(gòu)建彈藥航空適應(yīng)性的研究;文獻[39]用于優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短期負荷預(yù)測,等等。這些應(yīng)用領(lǐng)域中對灰色關(guān)聯(lián)模型的改進更集中于關(guān)聯(lián)系數(shù)的計算與評價指標權(quán)重的計算。文獻[5-7,15,28,31-32]將GRA應(yīng)用于仿真模型驗證或數(shù)據(jù)一致性分析,與本文的研究應(yīng)用目標類似,但由于數(shù)據(jù)來源不同、數(shù)據(jù)類型不同或研究對象不同,關(guān)注的側(cè)重點及改進的思路也有所不同。

本文僅以更適用于航天產(chǎn)品性能樣機仿真結(jié)果驗證為目的對GRA法進行改進,在原灰色關(guān)聯(lián)模型的基礎(chǔ)上引入一種更加簡便的距離分析法,使其可以在判斷數(shù)值一致性的同時兼顧曲線距離帶來的影響,從而提高驗證結(jié)果的準確性。

1 GRA法

1.1 鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型

GRA法的原理是通過計算仿真序列與參考序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度來判斷二者的相似程度。設(shè)X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}為系統(tǒng)的參考序列,x0(k)為X0在第k點上的觀測值,Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}為系統(tǒng)的仿真序列,xi(k)為Xi在第k點上的觀測值,定義γ(x0(k),xi(k))為一個非負實數(shù),稱為x0(k)與xi(k)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。定義

(1)

式中:γ(X0,Xi)為序列X0與序列Xi的灰色關(guān)聯(lián)度,γ越大,則代表兩組序列的相關(guān)度越高。同時,γ需滿足表1內(nèi)所描述的灰色四公理。

表1 灰色四公理Table 1 The four grey axioms

鄧氏灰色關(guān)聯(lián)模型是鄧聚龍教授提出的灰色關(guān)聯(lián)度模型[40],計算方法為

γ(x0(k),xi(k))=

(2)

式中:ρ為分辨系數(shù),ρ∈[0,1],一般取0.5。

1.2 鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型的適用性分析

由式(2)可以看出,鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型是通過多條仿真序列中某一條仿真序列內(nèi)的點與其對應(yīng)的參考序列中的點之間的距離,與所有仿真序列中與參考序列距離最大的點和距離最小的點之間的關(guān)系,來判斷該仿真序列與參考序列之間的關(guān)聯(lián)度的。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)所有仿真序列與參考序列都確定時,分子是一個不變的常數(shù),分母的大小取決于|x0(k)-xi(k)|的值,且其值越大,計算所得的關(guān)聯(lián)度越小。

應(yīng)用GRA法要求仿真序列與參考序列一一對應(yīng),且擁有相同的量綱。在分析很多問題時,需要先對數(shù)據(jù)進行初值化處理與無量綱處理。但對于航天產(chǎn)品性能樣機的仿真結(jié)果序列來說,每一條仿真序列與其對應(yīng)的參考序列都有相同的量綱,因其描述的是相同飛行狀態(tài)下的同一個物理量,所以不需要對數(shù)據(jù)進行無量綱處理。只要保證仿真序列中的數(shù)據(jù)與參考序列中的數(shù)據(jù)一一對應(yīng),也不需要對數(shù)據(jù)進行初值化處理。從這個角度來看,GRA法非常適合用于性能樣機仿真結(jié)果的驗證。

但鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型在應(yīng)用于仿真結(jié)果驗證時存在一定的局限性。在比較數(shù)據(jù)序列的一致性時,如果仿真序列與參考序列恰好為等距序列或遠距序列,則容易產(chǎn)生錯誤的判斷。所謂等距序列,即所有|X0(k)-Xi(k)|都相等,此時可以算得X0與Xi的灰色關(guān)聯(lián)度為1,依據(jù)規(guī)范性有X0=Xi,但實際上,其可能是平行于參考序列的序列,或所有點都等距離分布在參考序列上方或下方的序列。若以此判定仿真序列與參考序列完全一致,則可能造成判定結(jié)果有誤。而遠距序列則是指,仿真序列與參考序列差距很大,但各仿真序列之間的數(shù)值卻非常接近,此時由于式(2)中分子與分母的取值非常接近,灰色關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果γ會很接近1,若以此判定仿真序列與參考序列一致性很高,則顯然判定結(jié)果有誤。

造成鄧氏關(guān)聯(lián)度模型存在局限性的根本原因,是由于其只關(guān)心仿真序列與參考序列之間幾何形狀和變化趨勢的相似性,卻忽略了仿真序列與參考序列之間的距離。不考慮序列之間的距離在某些應(yīng)用領(lǐng)域是可行的,并不會對問題的判定結(jié)果造成太大的影響。但對于仿真結(jié)果驗證來說,同一參數(shù)同一狀態(tài)下的仿真數(shù)據(jù)應(yīng)該和參考數(shù)據(jù)有較高的一致性才能保證仿真系統(tǒng)擁有較高的可靠性,此時僅關(guān)注序列的幾何形狀顯然不足以判斷兩組序列的一致性。因此,在航天產(chǎn)品性能樣機的仿真結(jié)果驗證中,應(yīng)用GRA法必須解決其無法判斷仿真序列與參考序列間距離差異的問題。

2 改進的GRA法

本文對GRA法的改進思路即在原灰色關(guān)聯(lián)模型的基礎(chǔ)上增加對曲線距離差異的度量,從而使改進的灰色關(guān)聯(lián)模型可以同時從曲線距離和曲線形狀兩個方面來檢驗序列的一致性。改進的GRA法命名為考慮距離的GRA法,下面對其原理進行詳細介紹。

2.1 數(shù)據(jù)序列距離分析方法

為了可以在GRA法中兼顧仿真序列與參考序列間的距離,本文提出一種用于判斷數(shù)據(jù)序列曲線間距離大小的方法,稱其為距離分析方法。

設(shè)X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}為參考序列,Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}為仿真序列,X0與Xi中的元素x0(k)和xi(k)具有相同的量綱和采樣間隔,且一一對應(yīng),則X0與Xi之間的平均距離為

(3)

(4)

(5)

2.2 序列距離分析與GRA相結(jié)合

單獨的距離參數(shù)δD或灰色關(guān)聯(lián)度γ都不足以完全判斷仿真序列與參考序列之間的一致性,需要將二者結(jié)合起來。若將距離參數(shù)δD或灰色關(guān)聯(lián)度γ視作評價仿真序列與參考序列之間的一致性的兩個指標,由鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型的定義和計算方法可以知道,灰色關(guān)聯(lián)度γ∈[0,1]且越大越好,即γ是一個趨向于1的極大型指標。同理,由距離參數(shù)的定義和計算方式可以知道,距離參數(shù)δD≥0且越小越好,即δD是一個趨向于0的極小型指標。因此,只要將δD轉(zhuǎn)換成同樣趨向于1的極大型指標即可將δD與γ結(jié)合起來。定義一個新的關(guān)聯(lián)度γC,稱為一致性關(guān)聯(lián)度,其計算方法為

γC=ω1(1-δDi)+ω2γ

(6)

式中:ω1和ω2為距離參數(shù)δD與灰色關(guān)聯(lián)度γ關(guān)于兩組序列一致性的相對權(quán)重,且ω1+ω2=1。對于大多數(shù)仿真參數(shù)序列的一致性而言,距離與形狀同等重要,ω1和ω2默認取0.5。但在具體應(yīng)用中,需要根據(jù)所驗證的仿真數(shù)據(jù)本身的特點來確定,可以由主題專家根據(jù)經(jīng)驗直接確定,也可以采用層次分析法等權(quán)重計算方法進行計算,這里不做贅述。

但式(6)中存在一個問題,如果δD>1,則(1-δD)<0,此時,若|ω1(1-δD)|>ω2γ,則會出現(xiàn)γC為負數(shù)的情況,雖然γC為負說明兩組序列之間的一致性更差,關(guān)聯(lián)度更小,并不影響驗證結(jié)果的判斷,但γC<0與灰色四公理中的規(guī)范性相悖。所以,在應(yīng)用中,可先行計算δD,當(dāng)出現(xiàn)δD>1的情況時,即表示兩組序列之間的距離過大,那么不用計算γ和γC即可直接判斷兩組序列不一致。如果δD≤1,則繼續(xù)計算兩組序列的灰色關(guān)聯(lián)度。之后依據(jù)距離與曲線形狀的相對權(quán)重計算一致性關(guān)聯(lián)度。用一致性關(guān)聯(lián)度判斷仿真序列與參考序列的一致性需要提前規(guī)定一致性系數(shù)ξ,若γC≥ξ則判定兩組序列一致,反之則判定不一致。ξ的大小需要依據(jù)所驗證的仿真數(shù)據(jù)的具體情況確定。

2.3 改進GRA模型的實施步驟

考慮序列距離的GRA驗證方法的實施步驟如圖1所示,實施的具體步驟如下。

圖1 考慮序列距離的GRA步驟Fig.1 Steps of the distance-considered GRA

步驟 1獲取參考序列X0與仿真序列Xi,參考序列與仿真序列需滿足相同的采樣條件。

步驟 2對比各序列長度是否相等,若不相等則需先進性長度一致性處理,各序列中的點需一一對應(yīng)。

步驟 3依據(jù)式(3)～式(5)計算各仿真序列Xi的距離參數(shù)δDi。

步驟 4判斷距離參數(shù)δDi是否大于1,若δDi>1則直接判定該仿真序列與參考序列不一致,若δDi≤1,則進行步驟5。

步驟 5依據(jù)式(2)計算仿真序列與參考序列的灰色關(guān)聯(lián)度γi。

步驟 6確定曲線距離與曲線形狀對序列一致性的影響權(quán)重ω1和ω2,在沒有特殊要求時,一般取ω1=ω2=0.5。

步驟 7依據(jù)式(6)計算仿真序列與參考序列的一致性關(guān)聯(lián)度γCi。

步驟 8依據(jù)提前確定的一致性系數(shù)ξ判斷序列的一致性,若γCi≥ξ則判定兩組序列一致,反之則判定兩組序列不一致。

2.4 改進GRA模型的性質(zhì)

在第2.2節(jié)中已經(jīng)論證過,δD>1時可以直接判定兩組序列不一致,因此在分析考慮距離的灰色關(guān)聯(lián)模型性質(zhì)的時候,僅討論0≤δD≤1時的情況。

(1) 規(guī)范性

當(dāng)0≤δD≤1時,0≤1-δD≤1,因為0≤γ≤1,0≤ω1≤1,0≤ω2≤1,所以0≤γC≤1。

當(dāng)Xi=Xj時,δD=0,γ=1,所以γC=1。

當(dāng)Xi≠Xj時,1-δD<1,γ<1,所以γC<1。

因此,考慮距離的GRA模型滿足規(guī)范性。

(2) 整體性

因此,考慮距離的GRA模型滿足整體性。

(3) 偶對稱性

因為δDi的大小僅與Xi有關(guān),而與Xj無關(guān);同理δDj的大小僅與Xj有關(guān),而與Xi無關(guān)。因此,只要γ滿足偶對稱性,則γC亦滿足偶對稱性。

(4) 接近性

3 數(shù)值算例分析

為了更直觀地對比考慮距離的GRA法與GRA法在判斷序列一致性時的準確度,本文采用構(gòu)造典型數(shù)值算例的方法來對兩種模型進行比較分析。

3.1 等距序列算例分析

算例 1設(shè)參考序列為X0,仿真序列分別為X1、X2、X3,X0={30,32,31,28,29,30,33,35,31,32},且X1、X2、X3滿足如下條件:

X1(i)=X0(i)-10

(7)

(8)

X3(i)=X0(i)+10

(9)

得到3條仿真序列的數(shù)值如表2所示,將所有序列繪制成曲線圖如圖2所示。

圖2 算例1中各序列曲線圖Fig.2 Curves of the data series in example 1

表2 序列X1、X2、X3取值Table 2 Values of series X1, X2,X3

分別用經(jīng)典GRA法與本文提出的考慮距離的GRA法計算序列X1、X2、X3的鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度γ和一致性關(guān)聯(lián)度γC,ω1和ω2取0.5,隨后對數(shù)據(jù)一致性進行判斷,ξ取0.9,計算結(jié)果與判斷結(jié)論如表3所示。

采用GRA法計算序列X0與序列X1、X2、X3的灰色關(guān)聯(lián)度均為1,由規(guī)范性可知,X0=X1=X2,顯然這與實際不符。從圖2可以清晰地看出,這3條序列是互不相同的。同時,由于ξ為0.9,γ>ξ,判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0一致,這顯然也是錯誤的。

采用考慮距離的GRA法計算得到3組序列一致性關(guān)聯(lián)度為0.84,ξ為0.9,γC<ξ,可以判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0不一致,與實際情況相符合。

3.2 遠距序列算例分析

算例 2設(shè)參考序列為X0,仿真序列分別為X1、X2、X3,各序列的數(shù)值如表4所示,將所有序列繪制成曲線圖如圖3所示。

在形勢風(fēng)云變幻的市場上，用戶需求是一直在變化的。黃總認為，很多時候客戶甚至并不知道自己需要什么樣的產(chǎn)品解決方案?！坝捎诖蠖鄶?shù)客戶對物流設(shè)備制造業(yè)其實并不了解，他們并不知道市面上有什么樣的產(chǎn)品解決方案可以解決他們遇到的問題。因此我們要明明白白地告訴客戶，你的企業(yè)需要什么樣的產(chǎn)品和服務(wù)，我們又能提供給你哪些方案?！背藶榭蛻籼峁┬畔⒆稍兗敖ㄗh外，牧星還針對一些規(guī)模較小的客戶提供了第三方倉儲物流服務(wù)?！斑@就使得我們可以為客戶提供更好的服務(wù)，進一步控制他們的物流成本，使得他們免除后顧之憂，將更多的精力放在企業(yè)發(fā)展上?！?/p>

圖3 算例2中各序列曲線圖Fig.3 Curves of the data series in example 2

表4 序列X0、X1、X2、X3取值Table 4 Values of series X0,X1,X2, X3

分別用經(jīng)典GRA法與本文提出的考慮距離的GRA法計算序列X1、X2、X3的鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度和一致性關(guān)聯(lián)度,ω1和ω2取0.5,隨后對數(shù)據(jù)一致性進行判斷,ξ取0.9,計算結(jié)果與判斷結(jié)論如表5所示。

表5 算例2中各序列的γ和γC計算結(jié)果Table 5 Results of γ and γC of series in example 2

采用GRA法計算序列X1、X2、X3的灰色關(guān)聯(lián)度分別為0.92、0.91和0.92,由于ξ=0.9,γ>ξ,判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0一致。從圖3可以清楚地看到,序列X1、X2、X3均與參考序列X0相差非常大,故判斷結(jié)果與實際不符。

采用考慮距離的GRA法計算得到序列X1、X2、X3的一致性關(guān)聯(lián)度分別為0.60、0.59與0.60,ξ為0.9,γC<ξ,可以判定仿真序列X1、X2、X3均與參考序列X0不一致,與實際情況相符合。

通過算例1和算例2可以證明,考慮距離的GRA法可以很好地彌補GRA法在分析等距序列與遠距序列時存在的缺陷,從而提高仿真結(jié)果一致性驗證的準確性。

4 結(jié)束語

本文以更好地應(yīng)用于航天產(chǎn)品性能樣機的仿真結(jié)果驗證為目標對鄧氏灰色關(guān)聯(lián)模型進行改進,提出一種序列距離分析方法并將其與GRA法相結(jié)合,形成了考慮序列距離的GRA法,且用一致性關(guān)聯(lián)度代替灰色關(guān)聯(lián)度來判斷仿真序列與參考序列之間的一致性。最后,通過兩組數(shù)值算例驗證了考慮序列距離的GRA法在分析等距序列與遠距序列時可以很好地彌補GRA法存在的缺陷,從而提高了驗證結(jié)果的準確度。

本文雖然證明了考慮序列距離的GRA法的有效性,但該方法依然存在不足之處。如序列距離與序列形狀的相對權(quán)重與判斷序列一致性的一致性系數(shù)的取值,在一定程度上更依賴于驗證人員的經(jīng)驗與主觀判斷,使得考慮序列距離的GRA法不能做到完全客觀。在后續(xù)的研究中,希望可以解決這個問題。