梁玉峰, 趙景朝, 劉旺魁, 王 雷, 王世鵬, 阮仕龍

(1. 大連理工大學航空航天學院, 遼寧 大連 116024; 2. 北京空天技術研究所, 北京 100074;3. 沈陽飛機設計研究所, 遼寧 沈陽 110035)

0 引 言

隨著信息化的快速推進,無人作戰(zhàn)飛機在現(xiàn)代軍事戰(zhàn)爭中的應用也越來越廣泛,而無人機的空戰(zhàn)導引則是衡量其現(xiàn)代化作戰(zhàn)的一個重要指標。空戰(zhàn)導引關系到多個平臺相互通信與合作,首先要根據指揮系統(tǒng)的導引指令或機載設備搜索目標所獲得的信息,以給定的指標,自動將攜帶制導武器的戰(zhàn)機按照規(guī)劃的軌跡導引到目標區(qū)域,為實施攻擊提供必要的條件[1]。但在真實作戰(zhàn)環(huán)境下中會遇到各種不穩(wěn)定的情況,如平臺信息的不確定,目標、環(huán)境和戰(zhàn)場態(tài)勢的變化等。在這種復雜、不穩(wěn)定的條件下作戰(zhàn),無人機不能僅依賴于地面平臺的控制,必須具備自主導引作戰(zhàn)的能力。

目前,國內對無人機空戰(zhàn)導引方法的研究主要集中在傳統(tǒng)導引律和現(xiàn)代空戰(zhàn)智能導引兩類方向[2]。其中,傳統(tǒng)導引律以比例導引法為主,主要建立在空空導彈的經典比例導引基礎之上[3-4],并根據導彈導引方法演化為無人機的攻擊導引方法,主要有比例導引法[5-6]、追蹤法[7-8]、平行接近法[9]等。比例導引法具有簡單可靠的優(yōu)點,對機動較小的目標有較好的導引效果。后來還出現(xiàn)了擴展比例導引律[10-14]以及比例導引-神經網絡復合導引律[15]等對經典比例導引進行改進的導引方式。由于現(xiàn)代空戰(zhàn)環(huán)境更加趨向于動態(tài)化和復雜化,目標具有更高的機動性能,經典的比例導引及其改進形式對于高機動目標難以獲得理想的攔截效果。因此,針對高動態(tài)下的無人機導引作戰(zhàn)問題,出現(xiàn)了現(xiàn)代空戰(zhàn)智能導引方法,如矩陣對策法[16]、微分對策法[17-18]、梯度優(yōu)化法[19]和專家系統(tǒng)[20]方法等。但是,目前針對目標不確定機動的導引研究仍處于發(fā)展階段,因此能夠快速在工程上進行應用的導引方法是未來研究的重點。

本文針對無人機空戰(zhàn)的導引問題,首先由導引數(shù)學模型建立相對運動方程。接著,提出了一種基于高斯偽譜法的導引軌跡滾動優(yōu)化與軌跡線性化跟蹤方法。其中,軌跡優(yōu)化方法以時間為性能指標,快速將無人機導引到目標區(qū)域,當目標進行機動時,及時對目標軌跡進行預測并重新優(yōu)化。最后,針對某型作戰(zhàn)無人機進行空戰(zhàn)環(huán)境下的導引對比仿真實驗,驗證了對不確定性機動目標的攔截能力。

1 導引數(shù)學模型

1.1 導引幾何關系

由于無人機的導引在水平面和垂直面相互獨立,因此在同一高度平面內對導引問題進行研究[21]。無人機在二維平面的追蹤導引幾何關系如圖1所示。

圖1 導引幾何關系Fig.1 Relation of guidance geometry

圖1中,P為無人機;T為目標;R為無人機與目標的相對距離;θ為無人機與目標間的視線角(line of sight, LOS);Vp、Vt分別表示無人機和目標的速度;qp、qt分別表示無人機和目標的速度方向與視線方向之間的夾角,稱為前置角;ap表示飛行器的過載。定義雙方前置角位于視線角右側時為正。

1.2 導引運動方程

定義相對速度Vr=V-VT,其中Vr與視線角夾角為相對速度前置角,設為ε(以逆時針方向為正),則有:

(1)

(2)

根據矢量運算法則,有VrRr=VrRrcosε,并將Rr=[Rrcosθ,Rτsinθ]代入式(1),得到:

(3)

同樣,可以求得

(4)

則無人機和目標的前置角變化率分別為

(5)

(6)

式中:np、nt分別為無人機和目標的側向過載。

最終得到戰(zhàn)機和目標的相對運動方程:

(7)

假設戰(zhàn)機和目標速度大小不變,以各自的過載為控制量進行機動,則戰(zhàn)機對目標需滿足追蹤條件:

atmax≤apmax

(8)

式中:atmax、apmax分別為戰(zhàn)機和目標的最大過載,這表示戰(zhàn)機機動能力應高于目標機動能力。并且,當戰(zhàn)機與目標距離滿足r≤R時,認為目標攔截成功,其中R為捕獲半徑,即導彈最佳發(fā)射距離。

2 基于頂層滾動優(yōu)化和底層跟蹤的導引方法

2.1 滾動優(yōu)化與跟蹤方法

根據前面建立的相對運動方程,將敵我雙方的相對距離R、視線角θ和前置角q等作為狀態(tài)變量,無人機過載np作為控制量,使用優(yōu)化方法對導引軌跡進行優(yōu)化,最終實現(xiàn)無人機對目標的快速導引。

現(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境下目標的機動有極大的不確定性,所以必須具有在目標機動后及時對其軌跡進行預測并重新規(guī)劃路線的能力,即滾動優(yōu)化功能。因此,考慮將追蹤過程分成若干個區(qū)段,在第i段開始時,無人機對目標進行預測和優(yōu)化導引軌跡,并沿著優(yōu)化后的軌跡運動。當目標進行機動時,根據其機動方向對其軌跡重新預測和優(yōu)化,進入第i+1區(qū)段。

此外,在每一段導引軌跡優(yōu)化后,考慮到實際空戰(zhàn)環(huán)境下目標航向會偏離原軌跡,則無人機和目標之間的實際視線角會產生誤差,并對后續(xù)的滾動優(yōu)化產生干擾,因此引入底層跟蹤以修正目標偏離產生的誤差[22-23]。以優(yōu)化后的視線角θ(t)C作為標稱量,采用軌跡線性化方法跟蹤視線角,以保證其不因目標航向偏離而產生偏差。頂層滾動優(yōu)化與底層跟蹤總體流程圖如圖2所示。

在滾動優(yōu)化過程中,首先要確定雙方的初始位置,然后在每個導引區(qū)段開始時對目標軌跡進行預測,以時間最短為指標進行優(yōu)化,并對優(yōu)化后的視線角進行跟蹤。如果目標進行機動,則進入下一追蹤區(qū)段,并以此時無人機及目標的狀態(tài)為初始值進行下一次預測和優(yōu)化計算,直到滿足最終攔截距離。由于每個導引時間段較短,因此可以認為在每個時段內目標做直線運動,這樣在較小的誤差下大大減少了計算量,從而設計出符合實際應用的最優(yōu)導引律。

2.2 最優(yōu)導引問題求解

無人機導引的軌跡優(yōu)化可以看作非線性的、受約束的最優(yōu)控制問題。而目前對最優(yōu)控制問題的求解,主要分為間接法和直接法[24]。

間接法主要采用極小值原理,通過引入協(xié)態(tài)變量(Hamilton函數(shù))進行求解,但對于較為復雜的非線性問題,間接法難以進行求解[25]。而直接法是將連續(xù)函數(shù)的最優(yōu)控制問題轉換為離散形式的非線性規(guī)劃問題,再由序列二次規(guī)劃法等方法進行求解。相對于間接法,直接法使用簡便,同時計算效率更高,因此在對軌跡優(yōu)化的研究中應用廣泛[26]。其中,高斯偽譜法是目前常見的偽譜方法,相對其他的直接方法,高斯偽譜法以插值代替積分,利用離散點的設置構造雅克比矩陣,對于數(shù)值優(yōu)化算法的求解極為有利,能夠以較少的離散點、較高的速度和精度求得最優(yōu)問題的解[27-30]。

本文使用高斯偽譜法對無人機導引軌跡進行優(yōu)化,首先將無人機導引問題轉化為以時間為性能指標的最優(yōu)控制問題。

其中,性能指標函數(shù)為

(9)

其動力學約束:

x=f(x(t),u(t),t),t∈[t0,tf]

(10)

邊界約束:

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(11)

路徑約束:

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(12)

基于高斯偽譜法的軌跡優(yōu)化算法在離散點處構造全局拉格朗日插值多項式來近似狀態(tài)變量和控制變量,并以多項式的導數(shù)代替動力學方程中對時間的導數(shù),在一系列高斯配點上滿足動力學方程的約束,從而將微分方程約束轉化為代數(shù)方程約束。其狀態(tài)變量與控制變量用拉格朗日多項式近似,終端約束用高斯積分近似后,接著通過離散化將軌跡優(yōu)化問題最終轉為非線性規(guī)劃(nonlinear programming,NLP)問題[31]。

2.2.1 狀態(tài)量離散化

選擇高斯離散點τ1,τ2,…,τn,是Legendre多項式的根。已知狀態(tài)量在這N個點處的值為X(τ1),X(τ2),…,X(τn),采用格朗日插值多項式近似的狀態(tài)變量如下:

(13)

式(13)可以簡寫為

(14)

而要求得狀態(tài)量在離散點τ1,τ2,…,τn處的導數(shù),對式(14)進行求導,得到在高斯離散點處的導數(shù)值:

(15)

(16)

則式(10)中微分方程變?yōu)?/p>

(17)

2.2.2 性能指標離散化

性能指標函數(shù)的積分部分采用高斯求積的方法,其數(shù)值積分的表達形式如下:

(18)

其中,wk為高斯權重:

(19)

因此,式(9)中性能指標可以寫為

(20)

邊界條件φ(x0,u0,-1;xn,un,1)=0,表示如下:

(21)

最終,將連續(xù)函數(shù)的最優(yōu)控制問題轉換為離散形式的NLP問題如下:

(22)

將式(22)化成NLP問題的簡化數(shù)學模型:

(23)

式中:f(x)為目標函數(shù);hi(x)和gj(x)分別為等式約束和不等式約束。因此,將最優(yōu)控制問題轉化為常見的非線性約束問題,進而可以采用序列二次規(guī)劃法等方法對該NLP問題進行求解。

3 仿真驗證

3.1 針對機動目標導引的對比仿真

在導引坐標系下,設置無人機最大速度VP=600 m/s,其與目標初始視線角θ=30°,初始距離R0=200 km,捕獲區(qū)域為10 km。并假設目標在發(fā)現(xiàn)無人機的追蹤后,進行多次機動并提高其飛行速度,以試圖擺脫追擊,其運動態(tài)勢如表1所示。

表1 不同階段目標機動態(tài)勢Table 1 Target maneuver situation at different stages

滾動優(yōu)化過程中無人機狀態(tài)量約束如表2所示。

表2 無人機狀態(tài)量約束Table 2 States constraints of unmanned aerial vehicle

無人機在每一階段的開始對目標運動軌跡進行預測,并沿著優(yōu)化后的軌跡導引,在目標機動后,進入下一階段并重新進行優(yōu)化。最終導引軌跡如圖3(a)所示,導引視線角變化如圖3(b)所示,控制量和相對距離曲線如圖3(c)和圖3(d)所示。

圖3 頂層滾動優(yōu)化導引仿真Fig.3 Simulation of top rolling optimization guidance

在整個導引過程中以優(yōu)化后的視線角θ(t)C作為標稱量進行底層跟蹤,各段視線角跟蹤曲線和導引軌跡跟蹤情況如圖4和圖5所示?？梢钥闯?經過優(yōu)化的控制量np在每一段開始快速接近峰值,這表明無人機在完成目標軌跡預測后,以最大過載快速轉彎對準截獲航向,之后再進行調整以消除導引誤差。而從階段3開始,目標速度增大,預測攔截區(qū)域更遠,因此無人機增大過載進行攔截。

圖4 LOS跟蹤曲線Fig.4 Curve of LOS tracking

圖5 軌跡跟蹤情況Fig.5 Trajectory tracking situation

圖4和圖5中,采用軌跡線性化跟蹤視線角的方法,最終能夠很好地跟上頂層優(yōu)化導引軌跡。跟蹤結束時,視線角誤差小于0.1°,無人機與目標距離9.98 km,用時184.3 s。

為驗證本文所提出的無人機導引軌跡優(yōu)化方法,在上述滾動優(yōu)化條件下,與經典比例導引法進行對比仿真實驗。最終導引軌跡對比如圖6所示,相對距離對比如圖7所示。

圖6 導引軌跡對比Fig.6 Comparison of guidance trajectory

圖7 相對距離對比曲線Fig.7 Comparison curve of relative distance

由圖6可以看出,本文采用的滾動優(yōu)化方法在目標機動后能靈活控制過載進行追蹤。而比例導引法的過載由于與相對視線角有關,變化較為緩慢,因此導引距離更長,最終用時202.6 s。相較于比例導引,采用滾動優(yōu)化的方法導引時間更短。

3.2 目標航向拉偏跟蹤

在對導引軌跡優(yōu)化后,考慮到空戰(zhàn)環(huán)境下目標運動的不確定性。假設目標實際航向發(fā)生偏離,則無人機和目標之間的實際視線角會偏離優(yōu)化的視線角,產生誤差,對后續(xù)滾動優(yōu)化的進行造成干擾。因此,進行目標航向拉偏下的視線角跟蹤仿真,以保證視線角不因航向改變而發(fā)生偏離。

假設目標初始航向角偏離5°,采用視線角跟蹤方法對階段1優(yōu)化出的視線角進行跟蹤控制,結果如圖8和圖9所示。

圖8 跟蹤LOSFig.8 Tracking of LOS

由圖8的跟蹤曲線可以看出,在對目標進行導引軌跡優(yōu)化的同時,采用底層跟蹤方法,能夠實現(xiàn)對視線角的跟蹤校正,消除了目標偏離產生的誤差。

在表3中,導引結束后跟蹤視線角誤差0.94°,誤差小于2%。而未進行軌跡跟蹤時偏差達到10.78°,無法實現(xiàn)對目標的攔截。

表3 最終LOS對比Table 3 Comparison of final LOS (°)

跟蹤仿真結果表明,針對實際作戰(zhàn)環(huán)境下目標航向偏離的情況,在軌跡優(yōu)化后引入跟蹤環(huán)節(jié),通過視線角跟蹤控制能夠修正偏離誤差,改善了在復雜條件下的攔截精度。

4 結 論

針對現(xiàn)代空戰(zhàn)中目標的不確定性機動問題,本文以高斯偽譜法為基礎,采用滾動優(yōu)化導引的方法,在每個導引區(qū)段開始時對目標軌跡進行預測,并以時間最短為指標優(yōu)化導引軌跡。采用這種滾動預測分段優(yōu)化的方式,可以實現(xiàn)對不確定性機動目標的攔截,并避免了間接法依賴目標準確軌跡及傳統(tǒng)導引方法耗時長、計算量大的缺點。此外,引入對優(yōu)化視線角跟蹤的環(huán)節(jié),保證了對目標的攔截精度。

最后的對比仿真實驗結果表明,本文采用的滾動優(yōu)化方法導引時間更短,并且底層視線角跟蹤的引入消除了實際作戰(zhàn)環(huán)境中目標偏離航線造成的誤差。在現(xiàn)代空戰(zhàn)時間短、目標機動能力強,并可能發(fā)生航向偏離的情況下,本文采用的頂層滾動優(yōu)化與底層跟蹤相結合的方法可以快速完成對機動目標的導引及修正,能夠有效地應用于現(xiàn)代無人機空戰(zhàn)導引。