鄧 杰, 尹潔昕,2,*, 楊 賓

(1. 信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院, 河南 鄭州 450001;2. 國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心, 河南 鄭州 450002)

0 引 言

無線信號(hào)定位技術(shù)根據(jù)定位系統(tǒng)所接收的信號(hào)來源可以分為無源定位和有源定位兩大類。在進(jìn)行傳統(tǒng)的無源定位時(shí),往往采用先從信號(hào)數(shù)據(jù)中提取用于定位的相關(guān)參數(shù)(例如波達(dá)方向[1]、到達(dá)時(shí)間差、到達(dá)頻率差[2-4]、多普勒頻差[5]、能量接收比等),然后根據(jù)不同準(zhǔn)則進(jìn)行位置解算的兩步定位模式。由于在初始信號(hào)和最終定位結(jié)果之間增加了處理環(huán)節(jié),丟失了部分信息導(dǎo)致其得到的為次優(yōu)解,影響了最終的估計(jì)精度并存在數(shù)據(jù)與輻射源關(guān)聯(lián)問題。學(xué)者提出了新型的直接定位(direct position determination, DPD)方法[6-7],其主要思想是從原始信號(hào)中采樣,經(jīng)過相應(yīng)處理得到與目標(biāo)位置有關(guān)的代價(jià)函數(shù)直接確定輻射源的位置信息。文獻(xiàn)[8-9]表明DPD算法具有更高的定位精度和更低的分辨門限,這一優(yōu)勢(shì)在低信噪比(signal to noise ratio, SNR)和小樣本數(shù)條件下更為突出,并且DPD算法在誤差干擾情況下具有“去蕪存菁”的內(nèi)在特性[10-11]。由于DPD算法涉及原始信號(hào)處理伴隨計(jì)算量較大的問題,目前已有研究[12-13]利用稀疏重構(gòu)等原理來改善算法定位效率。文獻(xiàn)[14]則提出了一種基于小生境粒子群優(yōu)化算法的DPD快速算法來降低計(jì)算復(fù)雜度。

DPD方法可以結(jié)合信號(hào)的波形特征信息,進(jìn)一步提高目標(biāo)定位性能[15]。一直以來非圓信號(hào)在衛(wèi)星和現(xiàn)代通信系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用,例如有二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying, BPSK)、多進(jìn)制幅移鍵控(amplitude shift keying, ASK)、脈沖振幅調(diào)制(pulse amplitude modulation, PAM)等調(diào)制信號(hào)。非圓信號(hào)的實(shí)部和虛部不是獨(dú)立的隨機(jī)變量,利用陣列接收數(shù)據(jù)橢圓協(xié)方差矩陣不為零的性質(zhì),可以對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展增加可用信息,達(dá)到孔徑擴(kuò)展和性能提升的目的。近些年來,結(jié)合信號(hào)非圓特性的處理算法已經(jīng)應(yīng)用于空間譜測向[16-17],陣列誤差校正[18]、目標(biāo)DPD等領(lǐng)域[19-20]。文獻(xiàn)[21]通過中心對(duì)稱交叉陣列(centro-symmetric cross array, CSCA)并結(jié)合信號(hào)的非圓特性來解決三維定位問題。文獻(xiàn)[22]利用信號(hào)的非圓特性和衛(wèi)星軌道誤差分布的先驗(yàn)信息設(shè)計(jì)了一種單步衛(wèi)星地理定位算法。

傳統(tǒng)的DPD算法大多是基于二階統(tǒng)計(jì)特性的陣列處理方法實(shí)現(xiàn)的,主要包括基于最大似然準(zhǔn)則和基于子空間數(shù)據(jù)融合(subspace data fusion, SDF)兩大類。前者是利用最大似然準(zhǔn)則推導(dǎo)代價(jià)函數(shù)而后進(jìn)行搜索實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位[23-24],后者利用類多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)的方法推導(dǎo)代價(jià)函數(shù),通過多維搜索實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位[25-26]。在信號(hào)和噪聲的分布能夠被二階矩完全描述時(shí),其性能能夠滿足定位需求。實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)通常不符合高斯分布,二階矩不能夠完全描述信號(hào)的特性,相關(guān)算法的性能也會(huì)急劇惡化。此外,基于二階特性的處理方法難以應(yīng)用于信源個(gè)數(shù)大于陣元數(shù)的復(fù)雜環(huán)境。利用高階累積量(higher-order cumulant, HOC)的盲高斯性和孔徑擴(kuò)展特性進(jìn)行估計(jì),可以更好地區(qū)分噪聲子空間和信號(hào)子空間,抑制加性白噪聲和色噪聲。但是,在此基礎(chǔ)上得到的四階累積量矩陣存在較多冗余數(shù)據(jù),運(yùn)算量較大。

本文考慮單個(gè)移動(dòng)觀測陣列被動(dòng)接收多窄帶輻射源信號(hào)的定位場景。在文獻(xiàn)[27-28]的基礎(chǔ)上結(jié)合信號(hào)的非圓特性提出一種基于四階累積量的DPD新方法。通過設(shè)計(jì)重新構(gòu)造四階累積量矩陣,避免了孔徑擴(kuò)展中重復(fù)的平移過程,快速提取無冗余數(shù)據(jù),降低了矩陣運(yùn)算維度,在充分?jǐn)U展陣列孔徑提高定位精度的同時(shí)有效提升了算法的效率。最后,將本文的方法和前面的方法進(jìn)行了比較驗(yàn)證。

1 信號(hào)及陣列模型

1.1 非圓信號(hào)的定義

現(xiàn)有有關(guān)非圓信號(hào)的研究大多將信號(hào)的非圓性定義為矩非圓特性,就是考慮信號(hào)的一階和二階矩是否有相同的統(tǒng)計(jì)特性,即旋轉(zhuǎn)不變性。若一個(gè)復(fù)隨機(jī)信號(hào)s滿足如下等式:

E[sejφ]=E[s]

(1)

E[sejφ(sejφ)*]=E[ss*]

(2)

E[sejφsejφ]=E[ss]

(3)

則稱其為圓信號(hào),否則為非圓信號(hào)。由此可見,非圓信號(hào)的協(xié)方差矩陣E[ssH]和橢圓協(xié)方差矩陣E[ssT]均不為零,滿足以下等式:

E[s2]=ρejφE[|s|2]

(4)

式中:ρ(0≤ρ≤1)為信號(hào)的非圓率;φ為信號(hào)的非圓相角。因此,可以利用橢圓協(xié)方差矩陣中額外包含的信號(hào)信息提升定位性能并且增加有效的陣元個(gè)數(shù)。

一個(gè)信號(hào)的非圓特性可以用ρ和φ來描述,其中非圓率ρ的大小由信號(hào)的調(diào)制方式?jīng)Q定。當(dāng)ρ=1時(shí)為最大非圓率信號(hào),也可以稱之為狹義非圓信號(hào),BPSK、MASK等調(diào)制信號(hào)都是常見的最大非圓率信號(hào),此外很多信號(hào)經(jīng)過預(yù)處理也能夠轉(zhuǎn)換為最大非圓率信號(hào)。最大非圓率信號(hào)具有一個(gè)重要性質(zhì),即其均能夠由實(shí)信號(hào)通過移相得到,相應(yīng)的非圓相角為初相的兩倍:

s=s0e-jφ/2

(5)

式中:s0為信號(hào)的實(shí)部。根據(jù)該性質(zhì),在后續(xù)計(jì)算協(xié)方差矩陣、橢圓協(xié)方差矩陣、四階累積量矩陣以及變形時(shí)可以得到額外的等式關(guān)系,進(jìn)而能夠?qū)﹃嚵锌讖竭M(jìn)行虛擬擴(kuò)展,目前很多測向定位算法都是針對(duì)最大非圓率信號(hào)進(jìn)行研究,因此本文主要針對(duì)其展開研究。

1.2 陣列模型

如圖1所示,考慮以下定位場景。某個(gè)均勻直線陣列由M個(gè)陣元組成安裝在移動(dòng)觀測站上,假設(shè)有Q個(gè)窄帶獨(dú)立的遠(yuǎn)場靜態(tài)輻射源,其中pq是第q(q=1,2,…,Q)個(gè)輻射源的位置矢量。為了利用上述陣列實(shí)現(xiàn)對(duì)Q個(gè)目標(biāo)源的定位,需要天線在不同位置采集目標(biāo)輻射信號(hào),但是并不要求輻射源各個(gè)時(shí)期均要存在,滿足可觀測性即可,假設(shè)共有N個(gè)時(shí)隙,un為陣列在第n(n=1,2,…,N)個(gè)時(shí)隙中的位置。記第q個(gè)輻射源在第n個(gè)時(shí)隙的理想流型矢量為an(pq),則此時(shí)陣列輸出響應(yīng)可以表示為

圖1 移動(dòng)單站DPD場景Fig.1 DPD scenario of a single moving observer

(6)

式中:snq(t)為t時(shí)刻第q個(gè)輻射源信號(hào)在第n個(gè)時(shí)隙段的復(fù)包絡(luò);wn∈CM×1為第n個(gè)時(shí)隙內(nèi)陣列疊加的高斯噪聲矢量。對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行離散采樣,式(6)可以表示為

(7)

陣列流型矢量與輻射源信號(hào)來向密切相關(guān),均勻直線陣列對(duì)應(yīng)地可以表示為

(8)

考慮二維定位場景,θn(pq)可以表示為

(9)

此時(shí),陣列接收表達(dá)式可以簡化為

xn(k)=AnΦsn,0(k)+wn(k)

(10)

(11)

包含所有目標(biāo)的位置參數(shù)。

需要說明的是,和大多數(shù)測向定位算法一樣,本文也假設(shè)目標(biāo)信號(hào)個(gè)數(shù)已知。常用的信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)方法有信息類準(zhǔn)則,主要包括Akaike 信息論(Akaike information criterion, AIC)準(zhǔn)則和最小描述長度(minimum description length, MDL)準(zhǔn)則,其主要思想是通過某準(zhǔn)則得到一個(gè)能夠與已知觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)匹配的含參概率模型[29]。這些大多是基于二階統(tǒng)計(jì)量提出,當(dāng)實(shí)際噪聲是色噪聲時(shí),很多信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)方法都已失效。文獻(xiàn)[30]提出了一種適用于四階累積量的基于對(duì)角加載的信源數(shù)估計(jì)方法并給出了不同的判定依據(jù),可以利用該方法對(duì)本文研究的問題進(jìn)行信號(hào)個(gè)數(shù)估計(jì)。

2 結(jié)合非圓信息的四階累計(jì)量DPD算法

利用式(10)可以通過類MUSIC等方法推導(dǎo)出相應(yīng)代價(jià)函數(shù)并在可行域范圍內(nèi)進(jìn)行多維搜索實(shí)現(xiàn)DPD,其本質(zhì)是一個(gè)非線性尋優(yōu)的過程?；诙A統(tǒng)計(jì)特性的DPD算法在輻射源數(shù)量大于陣元數(shù)量的情況下無法繼續(xù)使用。四階累積量可以有效擴(kuò)展陣列孔徑并自動(dòng)抑制高斯噪聲,因此本節(jié)給出相應(yīng)的代價(jià)函數(shù)。

對(duì)于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程,其四階累積量有很多種不同的定義方式,但是不論采用何種形式都是將原來的導(dǎo)向向量進(jìn)行擴(kuò)展。本文采用如下對(duì)稱方式進(jìn)行定義,則相應(yīng)陣列接收數(shù)據(jù)的四階累積量可以表示為

(12)

在實(shí)際計(jì)算中,式(12)中的數(shù)學(xué)期望普遍采用以下進(jìn)行估計(jì):

(13)

式中:xn,m表示第n個(gè)時(shí)隙內(nèi)接收數(shù)據(jù)的第m行;xn,m,k表示第n個(gè)時(shí)隙內(nèi)接收數(shù)據(jù)的第m行第k個(gè)元素?？紤]到平穩(wěn)隨機(jī)過程充分對(duì)稱分布,上式中各個(gè)變量都可以取滿整個(gè)陣列,于是隨著變量變化總共有M4個(gè)取值,可以構(gòu)造一個(gè)M2×M2維的矩陣如下:

CX,n,1((m1-1)M+m2,(m3-1)M+m4)=
C4x,n(m1,m2,m3,m4)

(14)

由相應(yīng)文獻(xiàn)可以得到式(14)簡化形式為

(15)

考慮到所有的目標(biāo)輻射源之間都是獨(dú)立非高斯分布的,則有

(16)

式中:

(17)

(18)

類似地,結(jié)合信號(hào)的非圓特性可以構(gòu)造一個(gè)如下的擴(kuò)展四階累積量矩陣:

(19)

(20)

在可行域?qū)ζ溥M(jìn)行二維搜索即可估計(jì)出多個(gè)目標(biāo)源的真實(shí)位置,記這種未去冗余的定位算法為冗余非圓高階累積量(redundant noncircular higher-order cumulant, RNCHOC)-DPD算法。

3 去冗余的DPD算法

3.1 四階累積量擴(kuò)展陣列孔徑原理及冗余

以式(12)定義方式為例,在均勻直線陣列中利用四階累積量生成虛擬陣元擴(kuò)展陣列孔徑可以用圖2表示。其中,實(shí)心圓圈表示原始陣元,空心圓圈表示生成的虛擬陣元。

圖2 虛擬陣元生成示意圖Fig.2 Schematic diagram of virtual array generation

由式(17)可以知道對(duì)于均勻直線陣列其擴(kuò)展的陣列導(dǎo)向矢量為

(21)

βn(pq)=e-j2πdλ-1cos(θn(pq))

(22)

虛擬陣元生成如圖2所示。從圖2可以明顯看出,使用四階累積量擴(kuò)展陣列孔徑相當(dāng)于進(jìn)行了M-1次的虛擬平移,每次平移過程中僅僅產(chǎn)生了一個(gè)新的導(dǎo)向矢量元素。最后整個(gè)陣列由原始陣列和M-1次平移產(chǎn)生的虛擬陣列構(gòu)成,而導(dǎo)向矢量M2個(gè)元素中僅僅只有2M-1個(gè)不同值,其他都是這2M-1個(gè)元素的重復(fù)值。對(duì)應(yīng)于四階累積量矩陣CX,n,1中只有2M-1行和列的數(shù)據(jù)是有效的,其他行和列的數(shù)據(jù)都是冗余重復(fù)的并且是有規(guī)律的排列。因此,如果能夠省略掉中間這些重復(fù)的平移過程,結(jié)合信號(hào)非圓特性重新構(gòu)造四階累積量矩陣,就能夠快速提取無冗余數(shù)據(jù),大大降低矩陣運(yùn)算維度,減小計(jì)算量節(jié)省計(jì)算時(shí)間。這在陣元數(shù)比較多的情況下改良效果尤為明顯,下面給出面向非圓信號(hào)的去冗余DPD算法的實(shí)現(xiàn)步驟。

3.2 去冗余四階累積量矩陣的構(gòu)造

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

根據(jù)子空間相互正交的原理,有:

(28)

(29)

將式(29)代入式(28)可得

(30)

式中:

(31)

由于向量δq不為零,則式(30)等價(jià)為Gn(pq)不是滿秩矩陣,即

Qn(pq)=det{Gn(pq)}=0

(32)

由文獻(xiàn)[32]可知,對(duì)于獨(dú)立的最大非圓率信號(hào),其噪聲子空間的投影矩陣可以分解表示為

(33)

式中:Πn1為Hermitian矩陣;Πn2為復(fù)對(duì)稱矩陣。將式(33)代入式(31)可以進(jìn)一步得到

(34)

式中:

(35)

于是式(32)等價(jià)為

(36)

僅計(jì)算一個(gè)時(shí)隙內(nèi)的代價(jià)函數(shù)會(huì)帶來多解問題,對(duì)于輻射源位置的估計(jì)應(yīng)該結(jié)合多個(gè)時(shí)隙。因此,總的代價(jià)函數(shù)可以寫成

(37)

根據(jù)以上思路,本文提出的DPD算法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟 3在定位范圍內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)格劃分,按照式(37)計(jì)算代價(jià)函數(shù)。對(duì)其進(jìn)行Q次譜峰搜索,空間譜圖中極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置就是估計(jì)的目標(biāo)輻射源位置。

將本文算法記作非圓高階累積量(noncircular higher-order cumulant, NCHOC)-DPD算法。

3.3 算法計(jì)算復(fù)雜度的比較

為了得到四階累積量矩陣的準(zhǔn)確估計(jì)值,快拍數(shù)K很大,通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于陣元數(shù)M。因此,本文NCHOC-DPD的計(jì)算量近似為未去冗余的DPD方法的一半,隨著陣元數(shù)的增加,節(jié)省計(jì)算時(shí)間效果越明顯。

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文提出的NCHOC算法性能的優(yōu)越性,通過數(shù)值仿真將本算法的定位性能與基于子空間數(shù)據(jù)融合(subspace data fusion, SDF)的DPD算法以及基于高階累積量HOC的DPD算法進(jìn)行對(duì)比,并給出了非圓信號(hào)DPD性能界[15]的曲線作為參照?？紤]二維空間,有一個(gè)移動(dòng)觀測站在11個(gè)時(shí)隙內(nèi)從[-1.5,-8]Tkm勻速運(yùn)動(dòng)到[1.5,-8]Tkm觀測目標(biāo)輻射信號(hào)。觀測站上裝有M=3均勻直線陣列,陣元間隔與波長比為0.5?？臻g中存在3個(gè)輻射源同時(shí)發(fā)射窄帶非高斯的最大非圓率信號(hào),其非圓相角分別為φ1=π/6 rad、φ2=π/3 rad、φ3=π/4 rad。各個(gè)輻射源信號(hào)相互獨(dú)立,其位置分別為[-1.2,-0.5]Tkm、[1.5,1]Tkm、[1,0.5]Tkm。計(jì)算目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差(root mean square error, RMSE)采用下式:

(38)

4.1 可分辨信源數(shù)的仿真

設(shè)定信噪比為20 dB,每個(gè)時(shí)隙內(nèi)信號(hào)快拍數(shù)為200,蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)為200次。分別計(jì)算基于SDF、NCHOC的DPD算法的代價(jià)函數(shù)值。圖3和圖4分別給出了兩種算法的位置空間譜圖。

圖3 基于SDF-DPD的空間譜圖Fig.3 Spatial spectrum based on SDF-DPD

圖4 基于NCHOC-DPD的空間譜圖Fig.4 Spatial spectrum based on NCHOC-DPD

通過比較兩幅圖可以看出基于SDF的DPD算法在陣元數(shù)等于輻射源數(shù)的情況下無法實(shí)現(xiàn)對(duì)第3個(gè)目標(biāo)的定位,但是本文提出的算法可以清楚地分辨出3個(gè)目標(biāo),并且后者的譜峰更為尖銳,這是由于采用四階累積量并結(jié)合信號(hào)非圓特性后,陣列流型矢量擴(kuò)展,算法可以分辨的輻射源數(shù)量也隨之增加。

4.2 不同噪聲環(huán)境下定位精度隨信噪比變化的仿真

根據(jù)第一組的仿真結(jié)果,選擇第一個(gè)目標(biāo)輻射源統(tǒng)計(jì)其定位誤差。每個(gè)時(shí)隙內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)為200,將本文算法定位RMSE隨SNR變化情況與基于SDF和未結(jié)合非圓信息的HOC的DPD算法以及傳統(tǒng)兩步定位算法進(jìn)行對(duì)比。圖5和圖6分別仿真了高斯白噪聲和高斯色噪聲兩種情況?？梢悦黠@看出,不論是白噪聲還是色噪聲條件下,DPD算法定位精度都比兩步定位算法有較大提升。此外,本文算法的定位精度高于另外幾種算法,尤其在低SNR條件下優(yōu)勢(shì)更為明顯;同時(shí)在色噪聲條件下,SDF-DPD算法以及傳統(tǒng)兩步定位算法性能都顯著惡化,而本文的算法還具有良好的性能。這是因?yàn)殛嚵猩肼晽l件下,前兩種算法陣元之間接收噪聲不再相互獨(dú)立,對(duì)應(yīng)于噪聲協(xié)方差矩陣對(duì)角線之外的元素不為零,影響了兩個(gè)子空間的分離導(dǎo)致定位性能嚴(yán)重下降。而四階累積量對(duì)于高斯過程不敏感,經(jīng)過處理其結(jié)果仍然是個(gè)很小的值,因此基于四階累積量的DPD算法在此條件下仍能實(shí)現(xiàn)有效定位。此外,隨著SNR的增大,本算法定位RMSE可以逐漸接近性能界,但是由于子空間類算法僅能夠獲得次優(yōu)估計(jì),所以其定位RMSE與CRB還有一定距離。

圖5 白噪聲下定位RMSE隨SNR的變化情況Fig.5 Variation of position determination RMSE versus SNR under white noise

圖6 色噪聲下定位RMSE隨SNR的變化情況Fig.6 Variation of position determination RMSE versus SNR under color noise

4.3 定位精度隨樣本數(shù)變化的仿真

固定SNR為2 dB,令每個(gè)時(shí)隙內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)從100變?yōu)? 000,將各種算法的定位RMSE曲線作對(duì)比,結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?在整個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)區(qū)間,本文提出的算法定位精度都高于另外幾種算法。

圖7 定位RMSE隨快拍數(shù)的變化情況Fig.7 Variation of position determination RMSE versus the number of beats

4.4 算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

固定SNR為2 dB,令每個(gè)時(shí)隙內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)為200,將各種算法的平均運(yùn)行時(shí)間作對(duì)比,運(yùn)行200次仿真的平均時(shí)間如表1所示。

表1 不同算法的平均運(yùn)行時(shí)間Table 1 Average runtime of different algorithms s

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出,DPD算法由于涉及位置空間的網(wǎng)格搜索,運(yùn)行的時(shí)間較兩步定位算法更長,計(jì)算量更大。本文提出的NCHOC算法通過重新構(gòu)造快速提取了無冗余數(shù)據(jù),計(jì)算量較未去冗余的NCHOC DPD算法明顯降低,大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。由于引入了四階累積量和信號(hào)的非圓特性,增加算法運(yùn)算量的同時(shí)也提升了定位精度,隨著硬件性能的提升,算法的運(yùn)行時(shí)間會(huì)進(jìn)一步減少,優(yōu)勢(shì)更加明顯。

5 結(jié) 論

本文提出了一種面向非圓信號(hào)的去冗余四階累積量DPD方法。該算法利用四階累積量的性質(zhì)結(jié)合信號(hào)的非圓特性實(shí)現(xiàn)了陣列孔徑的充分?jǐn)U展,提升了DPD的自由度和定位精度,適用于輻射源數(shù)大于或者等于陣元數(shù)的復(fù)雜環(huán)境。同時(shí),利用四階累積量矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),通過重新構(gòu)造快速提取了無冗余數(shù)據(jù),大大減少了計(jì)算量,提升了算法定位效率。最后,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了NCHOC算法能夠以較小的計(jì)算量,實(shí)現(xiàn)更高的定位精度和更低的分辨門限。