孫志國, 王 杰, 孫溶辰, 白永珍, 李齊衡

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號處理領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一,也是當(dāng)前研究熱點(diǎn),其目的是確定空域信號到達(dá)方向角等參數(shù)的估計(jì)[1-5]。DOA估計(jì)從20世紀(jì)40年代開始形成,經(jīng)過幾十年的快速發(fā)展,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于通信、地震預(yù)測、醫(yī)療、雷達(dá)等領(lǐng)域[6-10]。為了能夠更好地適應(yīng)當(dāng)前日益復(fù)雜的電磁環(huán)境,應(yīng)該考慮能適用于更加復(fù)雜條件下的DOA估計(jì)方法。相比窄帶信號,寬帶信號抗干擾能力更強(qiáng)、信息傳輸量更大,因此被廣泛應(yīng)用。根據(jù)入射信號源之間是否相干,寬帶信號DOA估計(jì)方法被分為兩類:非相干信號子空間方法(incoherent signal-subspace method, ISSM)[11]和相干信號子空間方法[12](coherent signal-subspace method, CSSM)。這兩類方法以及各種改進(jìn)方法的核心思想是在頻域內(nèi)將寬帶平均分為不同頻點(diǎn)的窄帶模型,通過各種組合操作,最后運(yùn)用各種窄帶信號方法,比如多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法等[5,13-15],進(jìn)行DOA估計(jì)。ISSM僅能處理非相干信號且在高信噪比時(shí)簡單有效,但在低信噪比時(shí)估計(jì)精度較差[16]。CSSM可以通過對協(xié)方差矩陣聚焦操作進(jìn)行相干信號DOA估計(jì)并且具有較高估計(jì)精度,但大多需要角度預(yù)估且算法較復(fù)雜[17-18]。文獻(xiàn)[19]通過協(xié)方差矩陣構(gòu)造聚焦矩陣,雖然避免了角度預(yù)估計(jì)帶來的誤差且降低復(fù)雜度,但是算法的估計(jì)精度和穩(wěn)健性降低。文獻(xiàn)[20]提出信號子空間聚焦(focusing signal subspace, FSS)算法,利用信號子空間向量構(gòu)成的矩陣建立新的觀測模型并且利用Frobenius范數(shù)構(gòu)建聚焦矩陣,該算法分辨率高,無需進(jìn)行角度預(yù)估計(jì),但在低信噪比下算法性能較差。

傳統(tǒng)的高分辨率算法一般假設(shè)在高斯白噪聲背景下,但是在實(shí)際環(huán)境中大多數(shù)存在的是色噪聲。消除色噪聲的DOA估計(jì)方法主要有:參數(shù)化法、四階累積量法、協(xié)方差矩陣差分法[4,21-22]。上述方法大多只適用于色噪聲環(huán)境下窄帶信號的DOA估計(jì)。針對色噪聲下的寬帶相干信號DOA估計(jì)方法,研究者提出了一些算法。文獻(xiàn)[23]提出相關(guān)噪聲下差分和特征分解(differrencing and eigen decomposition,DED)算法和其改進(jìn)算法,但該算法僅適用于入射信源相干組中含有兩個(gè)相干信號的條件下。文獻(xiàn)[24]提出的差分相干傳播方法(differencing coherent propagation method, DCPM)也只能用于入射信源相干組中僅有偶數(shù)個(gè)信源的場景。大多數(shù)運(yùn)用差分矩陣方法的算法只能估計(jì)相干組中相干信源數(shù)為偶數(shù)的情況,應(yīng)用面不廣,實(shí)用性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[25]提出迭代去噪的寬帶相干信號DOA估計(jì)方法,該算法能夠估計(jì)信源數(shù)不受限制,但運(yùn)算過程中需要多次迭代,計(jì)算量大,在低信噪比下算法性能較差。在近幾年中,文獻(xiàn)[26]提出了一種寬帶相干信源超分辨率DOA估計(jì)方法,該算法在較小間隔下有較好的分辨率;文獻(xiàn)[27]提出色噪聲下基于差分聚焦的寬帶信號DOA估計(jì),該算法在低信噪比下有良好的性能;文獻(xiàn)[28]提出了一種在寬帶相干信號背景下,該算法無需角度預(yù)估計(jì);但沒有人將三者結(jié)合起來進(jìn)行研究。

針對色噪聲背景下寬帶相干信號DOA估計(jì)存在的上述問題,本文提出基于噪聲圓形特性去噪和Toeplitz矩陣重構(gòu)解相干的寬帶相干信號DOA估計(jì)方法。首先,在求取信號協(xié)方差矩陣上,與傳統(tǒng)的方法不同,對接收信號乘以其轉(zhuǎn)置而非共軛轉(zhuǎn)置的方法來構(gòu)建協(xié)方差矩陣,在此過程中利用噪聲的圓形特性,達(dá)到消除色噪聲的目的,相比于傳統(tǒng)差分去噪的方法更加簡單,不會帶來偽峰的問題,同時(shí)在高斯白噪聲環(huán)境下同樣適用;為達(dá)到用Toeplitz矩陣解相干的目的,將協(xié)方差矩陣相乘構(gòu)造新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣,之后利用Toeplitz矩陣重構(gòu)來解相干,再用旋轉(zhuǎn)信號子空間(rotational signal ubspace,RSS)準(zhǔn)則構(gòu)造聚焦矩陣,計(jì)算聚焦平滑后的矩陣,利用傳播算子(propagator method,PM)算法進(jìn)行DOA估計(jì),以減少計(jì)算量。理論分析及仿真結(jié)果表明,該算法空間譜收斂性好、估計(jì)精度高、穩(wěn)健性較好,不受相干組中含有奇數(shù)或偶數(shù)個(gè)相干信源的約束,并且該算法在高斯白噪聲下同樣適用。

1 陣列信號模型

本文采用均勻線陣作為接收陣列,陣元數(shù)為M,陣元間距為d。假設(shè)空間中存在K個(gè)遠(yuǎn)場寬帶相干信號s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]分別從θ=[θ1,θ2,…,θK]入射到各向同性的接收陣列,且信號與噪聲之間相互獨(dú)立,并假設(shè)空間噪聲場為各向同性圓形或柱形場。則第k個(gè)陣元接收信號xk(t)表達(dá)式如下:

(1)

式中:nk(t)表示第k個(gè)陣元接收噪聲;τk,i為第k個(gè)陣元相對于第一個(gè)接收信號si(t)的時(shí)間延遲,τk,i=(k-1)dsinθi/c,c為電磁傳播速度。

將一定觀測時(shí)間內(nèi)陣列接收信號分為若干子段,利用離散傅里葉變換,在頻域內(nèi)平均得到J個(gè)窄帶信號。則寬帶陣列接收信號的頻域表達(dá)形式如下:

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,2,…,J

(2)

X(fj)=[Xk(fj),Xk+1(fj),…,XK(fj)]

(3)

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θK)]

(4)

S(fj)=[S1(fj),S2(fj),…,SK(fj)]

(5)

N(fj)=[N1(fj),N2(fj),…,NM(fj)]T

(6)

式中:A(fj,θ)表示頻點(diǎn)fj處的陣列流型。

2 本文算法

假設(shè)空間噪聲為同性圓形或柱形場且噪聲與信號之間不相關(guān),在這樣的條件下,噪聲矢量n(t)的二階矩滿足:

E[n(fj)nT(fj)]=0

(7)

式(7)也是噪聲圓形特性的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。則頻點(diǎn)fj處的陣列輸出信號協(xié)方差矩陣可表示為

R(fj)=E[X(fj)XT(fj)]=
E[(A(fj)S(fj)+N(fj))(A(fj)S(fj)+N(fj))T]=
E[A(fj)S(fj)ST(fj)AT(fj)]=A(fj)Rs(fj)AT(fj)

(8)

利用式(7)中噪聲的圓形特性消除噪聲影響,得到不含噪聲的協(xié)方差矩陣,其中Rs(fj)=S(fj)ST(fj)表示信號協(xié)方差矩陣。利用色噪聲信號協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz型,從而使用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行差分處理消除色噪聲的方法,由此會造成引入入射信源對應(yīng)負(fù)角度的方向矢量而出現(xiàn)偽峰的情況,但本文方法不需要考慮這種情況。對于式(7)中進(jìn)行的消除噪聲方式,其中噪聲可以是高斯色噪聲也可以是高斯白噪聲,這表明理論上本文算法在高斯色噪聲下和高斯白噪聲下都適用,不會產(chǎn)生其他分量并且復(fù)雜度低。為了達(dá)到Toeplitz矩陣重構(gòu)來解相干的目的,需要要將接收信號協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。因此,在各頻點(diǎn)上相乘構(gòu)造得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣,如下所示:

(9)

2.1 Toeplitz矩陣重構(gòu)

對于非相干信號,其接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣屬于Toeplitz型,但對相干信號,其數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣會產(chǎn)生秩虧損,造成信號特征矢量發(fā)散到噪聲子空間中去,計(jì)算出來的信號子空間的維數(shù)比實(shí)際信源數(shù)目要小,其數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣不再滿足Toeplitz型結(jié)構(gòu),需要通過某種方法使其滿足才能確保入射信號角度估計(jì)正確。恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩到信源個(gè)數(shù)的常用方法有空間平滑技術(shù)、Toeplitz矩陣重構(gòu)等方法。進(jìn)一步,通過文獻(xiàn)分析可知在常見的幾種解相干方法中[29],Toeplitz矩陣重構(gòu)方法在低信噪比條件下其穩(wěn)定性和精度綜合性能相對最佳。故本文采用Toeplitz矩陣重構(gòu)的方法來對相干信源進(jìn)行解相干。首先,利用新矩陣的第一列元素,通過矩陣重排,形成新的具有Hermitian特性的Toeplitz矩陣。對式(9)進(jìn)行Toeplitz矩陣重構(gòu),如下所示:

(10)

2.2 聚焦矩陣

本文算法利用低分辨率DOA估計(jì)方法,如常規(guī)波束形成法(conventional beam former,CBF)進(jìn)行角度預(yù)估計(jì),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)信號子空間(rotating signal subspace,RSS)算法聚焦準(zhǔn)則來構(gòu)造聚焦矩陣。假設(shè)構(gòu)造聚焦矩陣T(fj),使得各頻點(diǎn)fj的陣列流型變換后與參考頻點(diǎn)的陣列流型在Frobenius范數(shù)意義下差值最小。即T(fj)滿足

(11)

可得聚焦矩陣T(fj)的最優(yōu)解為

T(fj)=V(fj)U(fj)

(12)

式中:U(fj)和V(fj)分別是矩陣A(fj,θ)AH(f0,θ)的左奇異矢量和右奇異矢量。參考頻率f0取中心頻率,經(jīng)過聚焦之后各頻點(diǎn)的陣列協(xié)方差矩陣為

(13)

經(jīng)過平均處理后得到最終的協(xié)方差矩陣為

(14)

最后,為了降低計(jì)算量提高精度,通過PM算法[30]實(shí)現(xiàn)寬帶相干信號的估計(jì)。

將矩陣RF寫為

RF=[G,H]

(15)

式中:G和H分別是RF的前K列組成的M×K維矩陣和后M-K列組成的M×(M-K)維矩陣。接著構(gòu)建傳播算子P,則矩陣P滿足

H=GP

(16)

式中:矩陣P是K×(M-K)維PM矩陣。解得其最小二乘解為

(17)

(18)

(19)

2.3 算法實(shí)現(xiàn)步驟

綜上,實(shí)現(xiàn)本文算法主要有以下5個(gè)步驟。

步驟 1將陣列接收信號的整個(gè)寬帶均勻分割為J個(gè)子帶,利用式(8)計(jì)算得到各頻點(diǎn)輸出信號協(xié)方差矩陣R(fj,θ)。

此外，“益友會亦于歲首（1907年）中旬，假座張園演劇，并商請開明會助演，益足增進(jìn)觀者興味。所入約三百金，悉數(shù)助賑”[2]54。

步驟 4利用低分辨率的空間譜估計(jì)算法(如CBF)進(jìn)行角度預(yù)估計(jì),再根據(jù)RSS聚焦準(zhǔn)則,按照式(12)求得聚焦矩陣T(fj)。

3 仿真分析

仿真實(shí)驗(yàn) 1不同高斯噪聲下算法的測向精確性

實(shí)驗(yàn)1比較所提算法與DCPM、DCSSM、文獻(xiàn)[25]算法在高斯色噪聲背景下測向的精準(zhǔn)性和本文算法在高斯白噪聲和高斯色噪聲下均方根誤差與信噪比的性能。因DCPM和DCSSM只能在信源數(shù)為偶數(shù)的條件下應(yīng)用,故將奇偶數(shù)條件下不同的空間譜估計(jì)分開進(jìn)行仿真。在上述提到的仿真條件下,在圖1(a)中設(shè)置兩個(gè)寬帶相干信源,入射角度分別是-10°和15°。在圖1(b)中設(shè)置3個(gè)寬帶相干信源,入射角度分別是-30°,10°,40°。圖2中設(shè)置3個(gè)寬帶相干輻射源,入射角度分別為-10°,15°,30°,快拍數(shù)為100,信噪比為0 dB。

圖1 高斯色噪聲下不同算法的空間譜Fig.1 Spatial spectrum of different algorithms under Gaussian color noise

圖2 高斯白噪聲下本文算法性能圖Fig.2 Performance chart of the proposed algorithm under white Gaussian noise

從圖1中可以看出,本文算法相對于其他對比算法,譜峰更加尖銳,收斂性更好,測向精度高。本文算法利用噪聲的圓形特性消除噪聲,從圖2中可以看出本文算法在高斯白噪聲下同樣有著很高的精度和穩(wěn)健性。說明該算法能夠同時(shí)適用于兩種不同噪聲環(huán)境。

仿真實(shí)驗(yàn) 2算法穩(wěn)健性分析比較

圖3 均方根誤差與信噪比性能曲線Fig.3 Root mean square error and signal to noise ratio performance curve

圖4 相干信源數(shù)為奇數(shù)時(shí)均方根誤差與信噪比曲線Fig.4 Root mean square error and signal to noise ratio curve for coherent sources with odd number

從圖5中可以看出,在信源數(shù)為偶數(shù)的條件下,本文算法與DCPM、DCSSM接近,但好于文獻(xiàn)[25]算法的性能。從圖6中可以看出,本文在信源數(shù)為奇數(shù)的情況下依然能保持良好的性能。

圖5 均方根誤差與快拍數(shù)曲線Fig.5 Root mean square error versus snapshots curve

圖6 相干信源為奇數(shù)時(shí)均方根誤差與快拍數(shù)曲線Fig.6 Root mean square error versus snapshots curve for coherent sources with odd number

4 結(jié) 論

本文提出基于噪聲圓形特性去噪和Toeplitz矩陣重構(gòu)解相干的色噪聲下寬帶相干信號DOA估計(jì)方法。該方法能在高斯色噪聲下準(zhǔn)確估計(jì)出相干寬帶信號的入射角度且不會受到入射相干信源數(shù)奇偶條件的約束。仿真實(shí)驗(yàn)表明,本文算法相較于對比算法具有更尖銳的譜峰和更好的穩(wěn)健性。同時(shí),根據(jù)去除噪聲的原理,該算法不僅適用于高斯色噪聲環(huán)境也適用于高斯白噪聲環(huán)境,在高斯色噪聲下優(yōu)于對比算法,且在低信噪比條件下仍有較好的估計(jì)性能。