毛 毅, 段永勝, 黃中瑞, 張峻寧

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

無源定位技術(shù)不需要自身發(fā)射電磁信號,通過利用接收站截獲由目標(biāo)發(fā)射或反射的信號來確定目標(biāo)位置,也稱為被動定位技術(shù)。無源定位技術(shù)具有成本低、抗干擾能力強等優(yōu)點,在水面艦艇定位[1]、海域監(jiān)測[2]、地面非法入侵[3]等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價值。

無源定位通常是通過兩步法實現(xiàn)的,即先完成與目標(biāo)位置有關(guān)的參數(shù)估計,如到達時差[4-5]、到達角[6-7]、到達頻差[8-9]等,再通過定位解算得到目標(biāo)的位置估計。在兩步法的第一步定位參數(shù)估計的過程中,一些方法忽略了接收信號來自于同一目標(biāo)的前提[10]。例如,各接收站使用文獻[11]中的方法對時差和多普勒定位參數(shù)進行估計時,忽略了所有接收信號都來自于同一目標(biāo)的約束。在這種條件下進行第二步定位解算,無法保證其能夠獲得最優(yōu)的定位結(jié)果[12-13]。

為了解決兩步法的缺點,提高定位精度,Weiss[12]提出了直接定位(direct position determination, DPD)方法,即直接使用觀測信號而無需完成時差/頻差的估計,實現(xiàn)目標(biāo)的定位。與兩步定位算法相比,由于DPD不需要估計中間參數(shù),通常具有更好的定位性能。隨后Weiss[14]提出了基于時延和多普勒頻移的直接定位算法,利用到達信號的時延和多普勒頻移信息進行目標(biāo)的定位。在低信噪比條件下,該算法的定位性能優(yōu)于傳統(tǒng)的兩步法。Guo等人[15]在建立短基線信號檢測模型的基礎(chǔ)上,提出了一種基于最大似然DPD(maximum likelihood DPD, ML-DPD)算法,并在仿真實驗部分驗證了該算法的有效性。

然而,由于自然現(xiàn)象或者人為因素的實際影響,采集的通信信號[16]、雷達信號[17]通常包含具有明顯的尖峰脈沖特性的脈沖噪聲,比如電力線通信系統(tǒng)中的噪聲[18]、淺海水聲信道噪聲[19]等。這類噪聲的密度函數(shù)在尾部衰減的速度會小于高斯噪聲的密度函數(shù)[20],通?？梢允褂镁哂泻裢衔蔡匦缘摩?穩(wěn)定分布對其建模。α-穩(wěn)定分布由特征參數(shù)α、分散參數(shù)γ、對稱參數(shù)β、位置參數(shù)a等4個參數(shù)唯一確定。通常將α<1的脈沖噪聲稱為強脈沖噪聲[21]。然而,ML-DPD算法[22-25]通?；诟咚乖肼暯㈥P(guān)于目標(biāo)位置的似然函數(shù),并通過尋找似然函數(shù)的極大值實現(xiàn)對目標(biāo)位置的估計。本文實驗將證明,上述算法在脈沖噪聲環(huán)境下性能會明顯惡化。因此,考慮在使用α-穩(wěn)定分布建模的脈沖噪聲情況下的DPD算法具有重要的理論研究和實際應(yīng)用價值。

事實上,在脈沖噪聲環(huán)境下,已有不少文獻證明基于高斯噪聲假設(shè)的各種估計算法的性能明顯惡化[17,26-29]。例如,文獻[17]研究了脈沖噪聲環(huán)境下的基于雙基地多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達的多目標(biāo)測向算法。文獻[17]的研究結(jié)果表明,由于傳統(tǒng)的多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法使用了接收信號的二階矩,而α≠2的脈沖噪聲不存在有限的一階矩、二階矩和概率密度函數(shù),因此在脈沖噪聲環(huán)境下, MUSIC算法估計性能顯著惡化。另外,文獻[29]的研究結(jié)果表明,傳統(tǒng)時延估計算法大多是基于二階或高階統(tǒng)計量的,盡管在高斯噪聲下這些算法可以表現(xiàn)出優(yōu)良的性能,但在脈沖噪聲環(huán)境下,其性能會顯著下降。

近年來,在使用α-穩(wěn)定分布對脈沖噪聲建模的基礎(chǔ)上,基于相關(guān)熵理論的參數(shù)估計算法有助于提高脈沖噪聲環(huán)境下的參數(shù)估計性能[28,30-31]。佟祉諫[28]提出的以相關(guān)熵為基礎(chǔ)的時延估計算法在脈沖噪聲環(huán)境下具有優(yōu)異的估計精度和抗噪性能?；谙嚓P(guān)熵的概念,蔡睿妍等人[30]提出的相干分布源到達方向(direction of arrival,DOA)估計在脈沖噪聲環(huán)境下具有較高的估計精度和魯棒性。該算法能夠自適應(yīng)地調(diào)整高斯核函數(shù)中的核長參數(shù),提高了脈沖噪聲環(huán)境下相干分布源中心DOA和擴散角的估計精度。為了實現(xiàn)脈沖噪聲下正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)信號有用符號時間和符號周期的參數(shù)估計,金艷等人[31]提出了一種基于相關(guān)熵的時域參數(shù)估計新方法,該算法在脈沖噪聲情況下具有良好的估計性能。

盡管目前已有不少方法能實現(xiàn)在脈沖噪聲環(huán)境下的參數(shù)估計,但在脈沖噪聲環(huán)境下無源定位方法的研究還較少。特別地,目前尚沒有脈沖噪聲環(huán)境下基于相關(guān)熵的DPD算法的相關(guān)研究。

此外,多數(shù)經(jīng)典的無源定位算法(包括DPD算法)通常假設(shè)各接收站處的高斯噪聲是獨立、一致的,即噪聲是同分布的高斯噪聲。而實際中各接收站處的噪聲盡管是獨立的,但可能不一致,比如各個接收站的噪聲均為高斯噪聲,但噪聲功率不同[32];或各個接收站的噪聲均為脈沖噪聲,但噪聲的分散參數(shù)不同;或部分接收站的噪聲是高斯噪聲,其他接收站的噪聲是脈沖噪聲。在高斯噪聲功率不一致情況下,經(jīng)典的DPD算法的定位精度會有所下降[33]。為了解決這一問題,基于極大似然估計準(zhǔn)則,鐘華等人[33]提出了高斯噪聲功率不一致情況下的DPD(簡稱為NWO-ML-DPD)算法。在接收站高斯噪聲功率不一致且發(fā)射信號為脈沖信號的情況下,與經(jīng)典的DPD算法相比,NWO-ML-DPD具有更優(yōu)的定位精度。經(jīng)驗證,在脈沖噪聲不一致環(huán)境下,該算法的定位精度下降。

本文考慮在脈沖噪聲不一致情況下的DPD算法,具體體現(xiàn)為每個接收站脈沖噪聲的分散參數(shù)不同。特別地,在使用α-穩(wěn)定分布對脈沖噪聲建模的基礎(chǔ)上,本文基于最大復(fù)相關(guān)熵(maximum complex correntropy, MCC),提出了一種在各接收站脈沖噪聲不一致情況下的DPD算法。仿真實驗表明,在強脈沖噪聲環(huán)境下,與高斯噪聲假設(shè)下的ML-DPD算法相比,本文提出的MCC-DPD算法具有更好的定位性能,且本文所提出的算法中核長參數(shù)的選取不依賴于脈沖噪聲的先驗信息;在脈沖噪聲不一致情況下,本文所提算法的定位精度也優(yōu)于文獻[33]算法的精度。

1 脈沖噪聲的建模和相關(guān)熵理論

1.1 脈沖噪聲

脈沖噪聲通?？捎忙?穩(wěn)定分布[34-35]建模。其存在統(tǒng)一的特征函數(shù)[35]:

φ(u)=exp{jau-γ|u|α[1+jβsgn(u)ω(u,α)]}

(1)

式中:

(2)

sgn(·)為符號函數(shù)。

注意到,α-穩(wěn)定分布由α、β、γ、a4個參數(shù)唯一確定,故可記為Sα(γ,β,a)。其中,特征參數(shù)α(0<α≤2)描述α-穩(wěn)定分布的脈沖特性程度;對稱參數(shù)β(-1≤β≤1)描述α-穩(wěn)定分布的對稱程度;分散參數(shù)γ(γ>0)描述α-穩(wěn)定分布的離散程度,也稱為廣義功率[34];位置參數(shù)a(-∞

圖1 不同特征參數(shù)情況下的α-穩(wěn)定分布的近似概率密度函數(shù)Fig.1 Approximate probability density function of α-stable distribution with different characteristic factors

1.2 相關(guān)熵

相關(guān)熵對于信號中使用α-穩(wěn)定分布建模的脈沖噪聲不敏感,有助于實現(xiàn)脈沖噪聲環(huán)境下的信號處理[36]。兩個隨機變量之間的相似程度可以用相關(guān)熵[37]來衡量。本文中主要介紹復(fù)相關(guān)熵理論。關(guān)于相關(guān)熵的詳細討論可以參考文獻[38-40]。

復(fù)隨機變量X和Y的復(fù)相關(guān)熵[41](下面簡稱為相關(guān)熵)定義為

(3)

相關(guān)熵的主要性質(zhì)如下:

(4)

對于相關(guān)熵的樣本估計,可以在樣本空間中定義相關(guān)熵誘導(dǎo)度量(correntropy induced metric, CIM)來衡量樣本之間的相關(guān)性:

(5)

樣本數(shù)據(jù)可以看成N維空間的兩個點(x1,x2,…,xN)和(y1,y2,…,yN)。圖2給出了核長參數(shù)σ=1時二維樣本空間中CIM(X,0)的等高線示例。從圖2中可以看出,當(dāng)兩點的L2距離較小時(在本例中小于1),CIM表現(xiàn)出L2范數(shù)的效果,將此區(qū)域稱為歐氏區(qū)域;而當(dāng)兩點的L2距離較大時(在本例中大于1),CIM表現(xiàn)出L1范數(shù)或L0范數(shù)的效果[40],將此區(qū)域稱為非歐氏區(qū)域。除此以外,還可以看到當(dāng)兩點L2距離較大時,CIM的大小還與方向有關(guān)。歐氏區(qū)域的大小受核長參數(shù)的影響:核長參數(shù)越大,歐氏區(qū)域越大,非歐氏區(qū)域則越小[40]。

圖2 二維樣本空間中CIM(X,0)的等高線圖Fig.2 Contour of the two-dimensional sample space of CIM(X,0)

根據(jù)CIM[41],可以得到最大相關(guān)熵準(zhǔn)則:

(6)

式中:e=X-Y。

本文將基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則構(gòu)造DPD問題的代價函數(shù)。

2 信號模型

基于文獻[12,14,43],假設(shè)空間中存在一個靜止輻射源目標(biāo)和L個速度已知的接收站,每個接收站在其運動軌跡進行K個時隙的信號截取,每個時隙的觀測時間為T。

假設(shè)目標(biāo)的位置為p,第l個接收站在第k次截取信號時的位置和速度不變,分別為pl,k和vl,k,l=1,2,…,L;k=1,2,…,K。設(shè)在第k個時隙中輻射源的發(fā)射信號是sk(t)ej2πfct,其中sk(t)是輻射源在第k個時隙發(fā)射信號的包絡(luò),帶寬為W(W?fc),fc是載頻。

考慮時延、多普勒頻移及信道加性噪聲的影響,以載頻fc做下變頻處理后第l個接收站第k次截取的基帶觀測信號為

rl,k(t)=sk(t-τl,k)ej2πfl,kt+zl,k(t),

0

(7)

式中:τl,k為第k個時隙的發(fā)射信號從目標(biāo)傳播到第l個接收站的傳輸時延;τl,k(p)1/c‖p-pl,k‖,c為光速;fl,k為第k個時隙的發(fā)射信號從目標(biāo)傳播到第l個接收站產(chǎn)生的多普勒頻移;zl,k(t)為第k個時隙中第l個接收站處的加性脈沖噪聲,其服從SαS分布,zl,k(t)～Sα(γl,0,0)。本文假設(shè)噪聲與發(fā)射信號相互獨立,考慮不同的接收站的脈沖噪聲可能不一致的情況,即脈沖噪聲的分散參數(shù)不同。當(dāng)α=2時,脈沖噪聲退化為高斯噪聲,此時上述情況相應(yīng)退化為高斯噪聲功率不一致的情況[33]。

以Ts為采樣周期采樣接收信號,則第l個接收站在第k個時隙的接收信號樣本[44]為

rl,k(tn)=sk(tn-τl,k)ej2πfl,ktn+zl,k(tn),

l=1,2,…,L;k=1,2,…,K

(8)

rl,k=Al,kFl,ksk+zl,k,l=1,2,…,L;k=1,2,…,K

(9)

式中:

rl,k[rl,k(t0),rl,k(t1),…,rl,k(tN-1)]T

(10)

sk[sk(t0),sk(t1),…,sk(tN-1)]T

(11)

zl,k[zl,k(t0),zl,k(t1),…,zl,k(tN-1)]T

(12)

Al,kdiag{ej2πfl,kt0,ej2πfl,kt1,…,ej2πfl,ktN-1}

(13)

第3節(jié)將基于本節(jié)建立的信號模型,推導(dǎo)脈沖噪聲分散系數(shù)不一致情況下基于最大相關(guān)熵的DPD算法。

3 算法過程

本節(jié)將基于建立的信號模型和最大相關(guān)熵準(zhǔn)則,推導(dǎo)脈沖噪聲分散系數(shù)不一致情況下的基于MCC-DPD(MCC-DPD under nonuniform impulsive noise dispersion, NU-MCC-DPD)算法。

假設(shè)各接收站接收的脈沖噪聲的分散參數(shù)分別為γ1,γ2,…,γL。由于在實際中只能獲得有限的樣本,因此考慮基于MCC準(zhǔn)則,并使用各接收站的信號觀測樣本來近似估計相關(guān)熵,得到第k個時隙中第i個采樣點的代價函數(shù)為

(14)

式中:el,k,i(p)=(rl,k-Al,kFl,ksk)i(l=1,2,…,L)表示每個時隙中每個采樣點處的多個接收站觀測樣本的差;(a)i表示向量a的第i個元素。

為了簡化推導(dǎo),對于各個時隙中每個采樣點的代價函數(shù),本文選取相同的核長參數(shù)。事實上,對各個時隙中每個采樣點的代價函數(shù),選取不同的核長參數(shù)有可能得到更高的定位性能。將式(13)中的代價函數(shù)相加,得到全局代價函數(shù):

(15)

圖3 代價函數(shù)隨目標(biāo)估計位置變化圖Fig.3 Cost function with respect to the estimated target position

(16)

注意到,當(dāng)脈沖噪聲一致時,即γl=γ(l=1,2,…,L),此時脈沖噪聲的分散系數(shù)不影響式(14)的極值點位置,于是式(14)退化為

(17)

式(16)為脈沖噪聲一致情況下的MCC-DPD算法的全局代價函數(shù)。

除此之外,本文提出的算法是在使用α-穩(wěn)定分布對脈沖噪聲建模的基礎(chǔ)上提出的。當(dāng)α=2時,α-穩(wěn)定分布退化為高斯分布,對應(yīng)的脈沖噪聲退化為高斯噪聲。因此,對于所有接收站均為高斯噪聲的情況,或部分接收站為脈沖噪聲的情況,本文提出的算法也是適用的。

4 仿真實驗

本節(jié)將通過仿真實驗驗證本文提出的MCC-DPD算法在多種不同實驗條件下的有效性。假設(shè)目標(biāo)位于[10 000,10 000] m?？紤]接收站數(shù)量L=5,5個接收站初始位置分別為[0,0] m,[282.84, 282.84] m,[-282.84, 282.84] m、[0,-400] m、[0,-800] m,運動速度均為[100,0]Tm/s,截取時隙數(shù)K=5,截取間隔為2 s,每次截取時間為3.9 ms。發(fā)射信號的載頻為2 GHz,信號帶寬為200 kHz。本節(jié)實驗中,通過網(wǎng)格搜索的方法尋找代價函數(shù)的最大值點,獲得目標(biāo)的位置估計。

對于脈沖噪聲,這里定義廣義信噪比(generalized signal-to-noise ratio, GSNR)[21]

(18)

(19)

實驗 1本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下GSNR對MCC-DPD、ML-DPD等算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數(shù)α=0.8,MCC準(zhǔn)則的核長參數(shù)σ=4。圖4給出了MCC-DPD算法、ML-DPD算法在噪聲一致情況下RMSE隨GSNR變化的曲線。從圖4可以明顯看出,與ML-DPD算法對比,MCC-DPD算法能夠在脈沖噪聲的環(huán)境下獲得更高的定位精度,尤其在GSNR高的條件下優(yōu)勢更為明顯,這是因為脈沖噪聲的尖峰脈沖特性會對接收信號產(chǎn)生幅度上的較大影響。因此,采樣后的信號樣本中就會出現(xiàn)幅度上的異常,而MCC-DPD算法利用高斯核函數(shù)減小了脈沖噪聲的影響。

圖4 不同GSNR下各算法的定位性能Fig.4 Localization performance of each algorithm for different GSNRs

實驗 2本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下特征參數(shù)對MCC-DPD、ML-DPD算法定位性能的影響。給定MCC準(zhǔn)則的核長參數(shù)σ=4,接收站接收信號的GSNR=5 dB。圖5給出了MCC-DPD算法、ML-DPD算法在噪聲一致情況下RMSE隨特征參數(shù)α變化的曲線。從圖5可以明顯看出,與ML-DPD算法對比,MCC-DPD算法能夠在0.6≤α≤1的強脈沖噪聲環(huán)境下有效地提升定位精度;隨著α增大,脈沖噪聲的脈沖性逐漸減弱,ML-DPD算法的定位精度逐漸提高。注意到當(dāng)α=2時,脈沖噪聲退化為高斯噪聲。從圖5可以觀察到,當(dāng)α≥1.7時,兩種算法的定位精度趨于一致。

圖5 不同特征參數(shù)下各算法的定位性能Fig.5 Localization performance of each algorithm for different characteristic factors

實驗 3本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下核長參數(shù)和特征參數(shù)對MCC-DPD算法定位性能的影響。給定接收站接收信號的GSNR=5 dB。圖6給出了MCC-DPD算法在不同特征參數(shù)α情況下的定位精度RMSE隨核長參數(shù)變化的曲線。從圖6可以明顯看出,噪聲的脈沖性越弱,MCC-DPD算法的定位性能越好。當(dāng)核長參數(shù)較大時,在脈沖性較弱的噪聲環(huán)境下,MCC-DPD算法的定位性能基本不隨核長參數(shù)而變化;在強脈沖噪聲環(huán)境下, MCC-DPD算法的定位性能隨核長參數(shù)變小而改善。這是因為L1范數(shù)和L0范數(shù)能很好減少脈沖噪聲的影響,而核長參數(shù)較小時,CIM的非歐氏區(qū)域較大,算法可以很好地減小脈沖噪聲對定位的影響。

實驗 4本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下核長參數(shù)和GSNR對MCC-DPD算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數(shù)α=0.8。圖7給出了MCC-DPD算法在噪聲一致、不同GSNR情況下RMSE隨核長參數(shù)變化的曲線。從圖7可以明顯看出,在GSNR較高情況下,MCC-DPD算法定位性能更好;在4種GSNR情況下,在核長參數(shù)σ≥2時,任一σ對應(yīng)的MCC-DPD算法的定位性能與當(dāng)前GSNR條件下的最佳定位性能相差不大。結(jié)合圖6可以觀察到,MCC-DPD算法的定位性能與核長參數(shù)的選取有關(guān);然而,在噪聲的特征參數(shù)α不同時,選取2≤σ≤4范圍的核長參數(shù),對定位精度的影響不大。因此,選取2≤σ≤4范圍內(nèi)的核長參數(shù),而無須利用噪聲的先驗信息,可以得到較高精度的定位結(jié)果。

圖7 不同GSNR和核長參數(shù)下MCC-DPD算法的定位性能Fig.7 Localization performance of MCC-DPD algorithm for different GSNRs and kernel sizes

實驗 5本實驗研究了在脈沖噪聲不一致情況下GSNR對MCC-DPD、ML-DPD[33]、NWO-ML-DPD[33]、NU-MCC-DPD等算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數(shù)α=0.8;MCC準(zhǔn)則的核長參數(shù)σ=4;第1、第3個接收站接收信號的GSNR分別為-5 dB、-2 dB,第2、第4、第5個接收站接收信號的GSNR變化為-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB、15 dB。由于脈沖噪聲沒有二階矩,本文復(fù)現(xiàn)的NWO-ML-DPD算法使用脈沖噪聲的廣義功率替代其使用的高斯噪聲的功率。圖8給出了在噪聲不一致情況下,MCC-DPD算法、ML-DPD算法、NWO-ML-DPD算法、NU-MCC-DPD算法RMSE隨GSNR變化的曲線。從圖8可以明顯看出,在噪聲不一致情況下,與基于極大似然準(zhǔn)則的DPD算法相比,基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的DPD算法在各信噪比條件下有更好的定位性能;且在噪聲不一致情況下,利用接收站接收噪聲廣義功率的倒數(shù)1/γl加權(quán)相應(yīng)的代價函數(shù),式(14)中的算法能獲得比式(16)中的算法更精準(zhǔn)的定位估計。

圖8 不同GSNR下各算法的定位性能Fig.8 Localization performance of each algorithm for different GSNRs

5 結(jié)束語

為了提高DPD算法在脈沖噪聲環(huán)境下的定位精度,本文基于MCC準(zhǔn)則提出了MCC-DPD算法和噪聲不一致背景下的MCC-DPD NU-MCC-DPD算法。仿真實驗結(jié)果表明,相比于ML-DPD算法,MCC-DPD算法在強脈沖噪聲環(huán)境下具有更好的定位性能,并且MCC-DPD算法的核長參數(shù)選取不需要脈沖噪聲的先驗信息;在噪聲不一致背景下,NU-MCC-DPD算法相比于NWO-ML-DPD算法和MCC-DPD算法能實現(xiàn)更精準(zhǔn)的定位。