盧向英

(甘肅省金昌市龍首高級中學(xué),甘肅 金昌 737100)

隨著新課改的深入,以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)來對整個(gè)教學(xué)的流程及內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化及改進(jìn),是促進(jìn)課程教學(xué)深入改革、助力學(xué)生綜合素質(zhì)發(fā)展的根本要求與必然選擇.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,強(qiáng)化解題思想方法的滲透,幫助學(xué)生提高解題能力,已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.

1 分類討論及其在高中生數(shù)學(xué)解題能力發(fā)展中的意義

分類討論實(shí)際上就是由于解題條件存在不確定的情況,為了保證最終問題分析的全面性與準(zhǔn)確性,對一切可能存在的解題條件進(jìn)行分情況討論,將整個(gè)問題相應(yīng)地劃分成若干個(gè)小問題來進(jìn)行分別討論、分析及求解,最終再將不同分類討論得到的結(jié)果進(jìn)行匯總.在數(shù)學(xué)問題解決中,如果可以指導(dǎo)高中生靈活運(yùn)用分類討論思想來求解問題,那么可以鍛煉學(xué)生思維的發(fā)散性、嚴(yán)密性與準(zhǔn)確性,保證他們在求解問題中可以保持思維的靈動(dòng)性和能辨性,避免因?yàn)樗季S定勢而造成錯(cuò)解問題.特別是數(shù)學(xué)知識(shí)及問題本身的繁雜、抽象等特征非常突出,如果巧用分類討論思想來分析問題,那么對學(xué)生邏輯思維能力和解題能力的發(fā)展都有積極的促進(jìn)作用.當(dāng)下許多高中生在解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)解題不全面、解題不準(zhǔn)確等問題,而造成這些問題出現(xiàn)的原因都是因?yàn)樽陨硭季S能力和解題能力不足.此時(shí)通過有效運(yùn)用分類討論思想,對增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,提高數(shù)學(xué)解題能力等有積極的意義[1].

2 基于分類討論的高中生數(shù)學(xué)解題能力提高策略

2.1 運(yùn)用于求解函數(shù)問題

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分,本身涉及到圖象、性質(zhì)、定理等眾多方面的知識(shí)點(diǎn),知識(shí)的綜合性以及相關(guān)數(shù)學(xué)問題本身的繁雜等特性都非常顯著.作為高中數(shù)學(xué)考試的必考知識(shí)點(diǎn),函數(shù)部分的數(shù)學(xué)題型種類繁多,對高中生自身的解題能力要求較高,尤其是容易在該部分?jǐn)?shù)學(xué)問題求解中遇到難題,主要表現(xiàn)為答題結(jié)果不全面、不完整或者不準(zhǔn)確等等[2].比如,許多學(xué)生在求解的時(shí)候容易忽視函數(shù)本身的定義域,以至于因?yàn)槎x域范圍判斷不準(zhǔn)而影響了最終的解題準(zhǔn)確性.而如果可以在指導(dǎo)學(xué)生求解函數(shù)問題中靈活融合分類討論思想,那么可以鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,讓他們可以立足于宏觀題干信息與條件視角來對其中的變量、隱含條件或者特殊要求等進(jìn)行深入把控,并且可以結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分類分析及討論,確保了整體函數(shù)問題求解中學(xué)生考慮的全面性,避免因?yàn)榭紤]不周全而直接影響最終的準(zhǔn)確解題.

例1已知某一函數(shù)f(x)=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)為一次函數(shù),試求參數(shù)m的取值是多少?

分析由于給定的函數(shù)f(x)本身已經(jīng)確定是一次函數(shù),而函數(shù)式中相應(yīng)的包含x的項(xiàng)中的(m+3)x2m+1中的(2m+1)次項(xiàng)或(m+3)系數(shù)本身不確定,為了滿足實(shí)際的求解需求,(2m+1)次項(xiàng)可以為0或1,而(m+3)系數(shù)可以為0,這些情況下都能夠確保最終所構(gòu)成的函數(shù)為一次函數(shù).在這種分類討論思路下,學(xué)生就可以針對不同分類討論的情況分別進(jìn)行列式計(jì)算,具體如下:

(2)在2m+1=1,即m=0的時(shí)候,相應(yīng)的函數(shù)是f(x)=7x-5,構(gòu)成了一次函數(shù).

(3)在m+3=0,即m=3的時(shí)候,相應(yīng)的函數(shù)是f(x)=4x-5,構(gòu)成了一次函數(shù).

2.2 運(yùn)用于求解集合問題

集合部分知識(shí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段入門的一類基礎(chǔ)知識(shí),本身也是高中生最早接觸的一類全新的數(shù)學(xué)內(nèi)容.雖然這部分知識(shí)以及相關(guān)類型題本身的求解難度不大,沒有涉及到繁瑣的計(jì)算過程,但是卻屬于高考數(shù)學(xué)考試中必考的知識(shí)點(diǎn).通過指導(dǎo)高中生在求解該類數(shù)學(xué)問題中有效運(yùn)用分類討論思想可以有效提高他們解題準(zhǔn)確度,增強(qiáng)他們解題的自信心.而分類討論思想運(yùn)用主要表現(xiàn)為要指導(dǎo)學(xué)生對集合與元素,集合與集合等彼此之間的相應(yīng)關(guān)系開展分類討論及分析,尤其是針對那些含有參數(shù)的集合問題,求解中更是依賴于分類討論,之后方可借助有效的計(jì)算方法來提高整體的問題分析及求解準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算或者遺漏計(jì)算等問題[3].

例2已知集合M?{1,2,3,4,5},假定a∈M,試求滿足(6-1)∈M的非空集合M有多少個(gè)?(注:寫出相應(yīng)的集合.)

分析針對本道集合題的求解,如果忽視了分類討論思想的有效運(yùn)用,那么會(huì)造成解題結(jié)果不準(zhǔn)確.因?yàn)楦鶕?jù)題干給出的條件以及待求解的結(jié)論,為了保證高中生在解題中做到全面分析,嚴(yán)謹(jǐn)求解,就需要結(jié)合集合M當(dāng)中的實(shí)際元素個(gè)數(shù)開展分類討論,以保證最終結(jié)果的準(zhǔn)確性,具體分類討論結(jié)果如下:

(1)如果集合M當(dāng)中僅包含1個(gè)元素,假定3∈M,那么此時(shí)可知6-a=6-3=3∈M,故此時(shí)相應(yīng)的集合M為M={1};

(2)如果集合M當(dāng)中僅包含2個(gè)元素,那么這時(shí)候滿足有關(guān)條件的M數(shù)目總計(jì)為2,即M={1,5},M={2,4};

(3)如果集合M當(dāng)中僅包含3個(gè)元素,那么這時(shí)候滿足有關(guān)條件的M數(shù)目總計(jì)為2,即M={1,3,5},M={2,3,4};

(4)如果集合M當(dāng)中僅包含4個(gè)元素,那么這時(shí)候滿足有關(guān)條件的M數(shù)目總計(jì)為1,即M={1,2,4,5};

(5)如果集合M當(dāng)中僅包含5個(gè)元素,那么這時(shí)候滿足有關(guān)條件的M數(shù)目總計(jì)為1,即M={1,2,3,4,5};

綜上所述,滿足題干條件的集合M的相應(yīng)數(shù)量總計(jì)是7,且分別為{1}、{1,5}、{2,4}、{1,3,5}、{2,3,4}、{1,2,4,5}和{1,2,3,4,5}.

2.3 運(yùn)用于求解數(shù)列問題

數(shù)列問題同樣是高中數(shù)學(xué)又一重要問題,主要是等差或等比兩種類型的數(shù)列.該種類型數(shù)學(xué)題本身難度不大,但是一般會(huì)包含有未知量、變量等,為了可以對相應(yīng)數(shù)列問題進(jìn)行準(zhǔn)確求解,也要注意在求解問題中應(yīng)用分類討論思想,更好地幫助高中生對其中包含的數(shù)量關(guān)系問題或者周期性問題進(jìn)行求解,降低了相應(yīng)問題求解的難度[4].因此,在該部分?jǐn)?shù)學(xué)題求解教學(xué)中,可以選擇恰當(dāng)?shù)囊恍╊愋皖}來幫助學(xué)生借助分類討論的方法來對整個(gè)問題求解過程進(jìn)行簡化,保證不斷提高他們解題的準(zhǔn)確性與效率.

例3 現(xiàn)有一個(gè)數(shù)列1,2x,3x2,4x3,…,試求其Sn?

分析本道數(shù)列問題中沒有對數(shù)列本身所屬的類型進(jìn)行確定,在實(shí)際的求解中許多高中生可能會(huì)片面地認(rèn)為其為等差數(shù)列或者等比數(shù)列,那么求解問題過程中就容易出現(xiàn)考慮不周的問題.此時(shí)如果學(xué)生懂得利用分類討論思想來分析問題,那么可以在分類討論的過程中快速簡化問題求解過程,尤其是注意到對x=0這一特殊情況進(jìn)行考慮.

假設(shè)Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1,之后可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下述分類討論:

(1)當(dāng)x=0時(shí),a1=1,a2=2x=0,a3=3x2=0,…,an=nxn-1=0,這時(shí)候化簡可以確定Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1=1.

(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí),基于Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1①可以相應(yīng)地得到下式:xSn=x+2x2+3x3+4x4+…+nxn②.

由①-②,得

2.4 運(yùn)用于求解幾何問題

幾何問題也是高中生覺得難度比較大的一類數(shù)學(xué)問題,相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有較大比重.雖然高中生在經(jīng)過以前的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)之后對平面幾何知識(shí)形成了深刻認(rèn)知,但是在進(jìn)入高中后碰到立體幾何方面知識(shí)及問題,卻容易因?yàn)檫@些知識(shí)或問題的繁雜性特征比較突出而影響了他們學(xué)習(xí)的效果.在指導(dǎo)高中生求解立體幾何問題過程中,為了可以鞏固他們課堂所學(xué)部分的數(shù)學(xué)知識(shí),以及提高他們求解幾何問題的能力,要注意結(jié)合題干信息應(yīng)用分類討論思想,對數(shù)學(xué)問題題干信息進(jìn)行剖析來確定問題的關(guān)鍵類型,之后結(jié)合關(guān)鍵信息來進(jìn)行認(rèn)真分析,明確其中可能存在的各種可能情況,并且要逐一列出來,避免因?yàn)檫z漏而造成解題不準(zhǔn)確.

總之,分類討論是提高高中生數(shù)學(xué)解題能力和思維能力,助力他們數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)全面發(fā)展中非常關(guān)鍵的一種數(shù)學(xué)思想.在實(shí)際的數(shù)學(xué)問題求解教學(xué)中,可以結(jié)合集合問題、函數(shù)問題、數(shù)列問題和幾何問題等常見問題,指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論去對問題進(jìn)行分類討論及求解,保證不斷提高他們基于分類討論思想解題的能力.