安戰(zhàn)海

(甘肅省天水市田家炳中學(xué),甘肅 天水 741000)

微元法是一種重要的物理解題方法,將其應(yīng)用于物理問題的分析和解決過(guò)程中,可以更好地簡(jiǎn)化物理問題,提高解題效率.

1 微元法及其解題流程

1.1 微元法概述

微元法的運(yùn)用,本質(zhì)上是分解問題,展現(xiàn)“元過(guò)程”,即按照某個(gè)物理規(guī)律,研究與分析物理問題,并對(duì)物理思想及其方法進(jìn)行加工和處理,從而實(shí)現(xiàn)高效解決問題過(guò)程.

1.2 微元法的解題流程

第一步,取“元”.“元”是主要的內(nèi)容,在實(shí)際解題時(shí),取“元”十分關(guān)鍵,如果不能保證正確的取“元”,則不僅不能夠化繁為簡(jiǎn),而且還可能將原本簡(jiǎn)單的題目復(fù)雜化,達(dá)不到高效解題的目的.基于此,在具體取“元”時(shí),要關(guān)注以下幾點(diǎn):首先,取“元”時(shí),要遵循簡(jiǎn)單高效原則,取“元”能夠簡(jiǎn)化物理計(jì)算過(guò)程,減少物理變量,達(dá)不到簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的“元”是無(wú)效的.其次,保證所取“元”可以進(jìn)行疊加,并容易得到結(jié)論.取“元”疊加的含義主要體現(xiàn)在兩方面,一方面,加權(quán)疊加,即對(duì)各個(gè)“元”進(jìn)行疊加計(jì)算時(shí),要以“元”的本身權(quán)重為依據(jù);另一方面,取的“元”要能夠代表所用的情況,即真實(shí)、全面、客觀的展示物理過(guò)程或規(guī)律,即所取“元”能表示整體,避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的情況[1].最后,在理解微元時(shí),可以把它當(dāng)做極限概念,即通過(guò)無(wú)限小,對(duì)高中物理題進(jìn)行高效解答,同時(shí),在解題時(shí),取“元”的方式應(yīng)該依據(jù)題設(shè)條件和設(shè)問方式靈活應(yīng)用,不能夠拘泥于固定形式,這樣才能夠發(fā)揮“元”的實(shí)際作用.

第二步,模型化.取“元”以后,教師需要運(yùn)用“元”,把它轉(zhuǎn)變成能夠簡(jiǎn)單求解答案的過(guò)程.同時(shí),模型化能夠通過(guò)接近于相等或極限相等等多種方法,對(duì)問題的求解難度進(jìn)行降低,并通過(guò)更為簡(jiǎn)單的方法,進(jìn)行物理模型構(gòu)造,從而使高中物理試題得到有效解答.

第三步,求和.“元”的疊加計(jì)算全過(guò)程與數(shù)學(xué)知識(shí)之間是具有密切聯(lián)系的,這就要求學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)及其求和公式[2].在對(duì)各個(gè)“元”疊加求和時(shí),要包括全部的“元”,不重合不遺漏,通過(guò)“元”的求和實(shí)現(xiàn)降低問題難度的目標(biāo),并提高學(xué)生的解題效率.

2 微元法在高中物理解題中的應(yīng)用原則

應(yīng)用微元法時(shí),需要遵循以下原則:首先,順序性原則.在選取微元時(shí),要保證微元所對(duì)應(yīng)的某些量,能夠在試題給出的范圍內(nèi),非常簡(jiǎn)單、便捷地進(jìn)行不重不漏的完整疊加,這就要求在運(yùn)用微元法解題時(shí),要遵循順序性原則,依照題中的條件進(jìn)行相應(yīng)的微元順次選取.其次,疊加性原則[3].選取微元的目的是為了簡(jiǎn)化試題計(jì)算過(guò)程,通過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)微小過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)試題中整個(gè)變化過(guò)程,因此選取微元的基本條件就是其具有疊加性,能夠通過(guò)疊加反映出試題中的本質(zhì)規(guī)律或過(guò)程.最后,平權(quán)性原則.微元法的本質(zhì)是通過(guò)選取無(wú)數(shù)個(gè)“元”來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的求解,微元所對(duì)應(yīng)的某個(gè)量的疊加也就是以f(x)為權(quán)函數(shù)的加權(quán)疊加,這樣就成了求定積分問題.如果所選取的無(wú)數(shù)個(gè)“元”具備Δx1+Δx2+Δx3+…+Δxn的特征,即f(x)=kx的平權(quán)特征,也就是說(shuō)疊加區(qū)域內(nèi)的“元”都是相等的,則就能夠?qū)⑶蠖ǚe分問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的微元聯(lián)加.因此,在選取微元時(shí),要遵循平權(quán)性原則,使得微元與其所對(duì)應(yīng)的某個(gè)量所組成的權(quán)函數(shù)f(x)在取值范圍內(nèi)處處相等.

3 微元法在高中物理解題中的應(yīng)用策略

3.1 巧借微元法,解決力學(xué)問題

例1一個(gè)質(zhì)量為m的物體以初速度v0從地面開始做豎直向上的運(yùn)動(dòng),現(xiàn)已知物體受到的空氣阻力與速度呈正比,物體的具體運(yùn)動(dòng)速率詳見圖3,試求:(1)物體從地面豎直向上運(yùn)動(dòng)到最后回到地面的過(guò)程中,空氣阻力所做的總功?(2)物體在從地面豎直向上運(yùn)動(dòng)的瞬間,其加速度為多少?(3)求物體在圖3中t1時(shí)刻的高度?

解析依據(jù)上拋運(yùn)動(dòng)可知,物體離開地面的初速度為v0,之后在重力和空氣阻力的作用下做變減速運(yùn)動(dòng),直到t1時(shí)刻速度為0,達(dá)到向上運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn),隨后,物體在重力和空氣阻力的作用下開始做落體運(yùn)動(dòng),當(dāng)重力和空氣阻力一致的時(shí)候,物體開始做勻速直線運(yùn)動(dòng),直到落地,落地的速率為v1,這個(gè)時(shí)候,就能運(yùn)用微元法對(duì)問題進(jìn)行解答.

3.2 巧借微元法,解決變力做功問題

例2如圖2所示,將一個(gè)恒力F作用于可以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤邊緣,轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中力的方向始終與圓盤受力點(diǎn)的切線方向相同,已知F=6 N,圓盤半徑r=2 m,則在該力的作用下,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中,力F做了多少總功?

解析力F在作用于圓盤的過(guò)程中,其方向始終與圓盤受力點(diǎn)的切線方向一致,則F對(duì)圓盤做功,由于F的方向是隨著圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)而不斷變化,這就增加了求F做功的難度,常規(guī)方法很難求解.應(yīng)用微元法可以將圓盤的周長(zhǎng)無(wú)限切割,使之成為很多的微小單元,如圖1所示,當(dāng)切割后的Δs無(wú)限小時(shí),可以把F的作用方向與圓盤的位移方向近似認(rèn)為一致,則每個(gè)位移Δs內(nèi)力F做的功為W=FΔs,則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周,F做的總功即為W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…+FΔsn=F(Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn)=F2πr=24π(J).

圖1 運(yùn)動(dòng)速率圖像

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤簡(jiǎn)化圖

因此,微元的本質(zhì)是極限思想.本題中,通過(guò)將圓周分成與力作用方向一致的n個(gè)位移,然后運(yùn)用疊加方式將這些“元”組合到一起,巧妙地獲得物理問題的實(shí)際解題方法.

3.3 巧借微元法,解決單棒切割問題

電磁場(chǎng)是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容,一些涉及電磁場(chǎng)問題常伴隨切割磁感線,或是帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)等內(nèi)容,由于在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的方向和受力常常隨著時(shí)間改變,這就增加了試題解答的難度.通過(guò)微元法應(yīng)用,可以更好地體現(xiàn)物體在電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,有效地解決復(fù)雜變化的運(yùn)動(dòng)問題[4].

例3如圖3,兩條平行的導(dǎo)軌之間的距離是L,與水平面呈θ角進(jìn)行放置,兩根導(dǎo)軌均與一個(gè)平行板電容器的兩極相連接,電容是C,導(dǎo)軌位于勻強(qiáng)的磁場(chǎng),磁場(chǎng)的方向垂直于導(dǎo)軌平面朝下,導(dǎo)軌與金屬棒之間接觸良好,且二者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是μ,已知重力加速度是g,忽略導(dǎo)軌和金屬棒等物體的電阻,金屬棒由導(dǎo)軌的頂端從靜止逐漸下滑.求:(1)電容器板上的電荷量與金屬棒速度之間的關(guān)系;(2)金屬棒的速度與時(shí)間之間的變化關(guān)系.

圖3 平行導(dǎo)軌簡(jiǎn)化圖

綜上所述,微元法是解決物理問題的重要方法之一,其運(yùn)用過(guò)程十分靈活.因此,在高中物理的解題教學(xué)中,教師需要注重微元法并與實(shí)際例題相結(jié)合,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)此方法的認(rèn)識(shí),提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),從而使學(xué)生的解題能力得到顯著提高.