武錦濤

(揚州大學數(shù)學科學學院,江蘇 揚州 225002)

非導數(shù)背景是指在不涉及導數(shù)知識下的問題情境,在題目中不會出現(xiàn)明顯的導數(shù)知識,在具體解題中無法使用或者可以使用但過程極其復雜的情形.在此背景下,函數(shù)不等式是函數(shù)基本性質(zhì)中比較常見的考查形式,考查學生的構(gòu)造能力,數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的數(shù)學思想.在解這類問題時,有以下幾個難點:第一,如何從題目條件中發(fā)現(xiàn)所要考查的知識點,這種不等式形式有何實際意義?第二,如何將這些知識點與題目和已擁有的知識相聯(lián)系.

1 題目給出具體函數(shù)解析式

在高考試題和模擬試題中,一般給出的函數(shù)解析式不會復雜到超出認知范圍,同時也不會特別簡單,一般為幾個初等函數(shù)的和、差或者乘積形式或者復合形式的運算.

分析這道題雖然給出了函數(shù)解析式,但這個函數(shù)解析式在進行求導運算時不好判斷其性質(zhì),這就需要我們分開來看部分函數(shù)的性質(zhì)

又f(x)是奇函數(shù),因此f(x)在R上為減函數(shù).

所以不等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化為f(2x2-10x)

可得3x2-16x-12>0.

兩式相加,得f(-x)+f(x)=4.

解法1(代數(shù)方法)由上述可得

f(-a)+f(a)=4.

由題目條件f(-a)+f(2a-3)>4,

所以f(-a)+f(2a-3)>f(-a)+f(a).

所以f(2a-3)>f(a).

所以a>3.

2 題目給出部分函數(shù)解析式

一些題目條件中給出一部分解析式,給出一些具體條件,但這些解析式通常不能直接用于解題,還需要對題目條件進行分析,找出在全部定義域的解析式或圖象,必要時還需要運用構(gòu)造的方法來建立函數(shù)模型.

因為f(x)為R上的增函數(shù),

即ax2-2x+6≥0在x∈R恒成立.

所以f(x)為奇函數(shù).所以f(-x)=-f(x).

所以g(x)為偶函數(shù).

即g(x1)

因為g(x)為偶函數(shù),

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.

因為f(3x)=3f(x),f(1)=1,

解得-3≤x<0或0

所以原不等式解集為[-3,0)∪(0,3].

3 題目未給出具體解析式

在一些題目中,有時完全沒有給出解析式,相對于前兩種題目來說忽略一些定量的運算轉(zhuǎn)而多了一些定性分析,具有高度抽象性,不易解決,往往是難題.

例5 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=ax(a>1),若對任意的x∈[0,b+1],均有f(x+b)≥f2(x),則實數(shù)b的最大值為____.

分析這道題的條件只給出函數(shù)類型為指數(shù)函數(shù),沒有給出具體的值,驀然一看不知該從何下手,在不知道具體值的同時還有另一個未知量在“搗亂”,但只要通過分析函數(shù)的奇偶性,是能使條件從無到有,甚至還可以求出具體的值,這就是這道題的神奇之處.

解析因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=ax(a>1),所以f(x)=a|x|(a>1),且當x≥0時f(x)單調(diào)遞增.

所以f2(x)=(a|x|)2=a|2x|=f(2x).

即|x+b|≥|2x|.即3x2-2bx-b2≤0對于任意的x∈[0,b+1]恒成立[3].

即3(b+1)2-2b(b+1)-b2≤0,b+1>0.

例6 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),當x>1時,f(x)<0,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為____.

分析這道題的已知條件非常簡單,只給了一個抽象函數(shù)的式子,一個局部函數(shù)不等式,關(guān)鍵的突破點就在于這個抽象函數(shù)不等式到底怎么用,所對的那個條件應(yīng)該和前面的式子怎么結(jié)合起來成為解決這個問題的關(guān)鍵,一般這類抽象函數(shù)的問題通常采用的方法就是賦值,通過賦值找到題目關(guān)聯(lián)條件然后得到答案.

解析令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0).

從而f(0)=0.

令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1).從而f(1)=0.

令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0.

令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1).

所以f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且只有x=1一個零點.

因為f(x)為偶函數(shù),

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.

所以f(x)在(-∞,0)也只有一個零點x=-1.

故f(x)有3個零點.

函數(shù)不等式是高中數(shù)學知識里面較為重要的一部分,也是?？嫉慕?jīng)典題型,但近年的高考這類型題更加綜合、抽象,同時伴隨著較大的計算量,較復雜的分析過程,較為新穎的知識復合.因此在學生掌握這類解題技巧和思維方法的同時,將知識點與解題技巧進一步融合內(nèi)化,為以后的高考函數(shù)不等式的問題打下堅實基礎(chǔ).