何益慧

［摘 要］文章探討基于學(xué)生能力發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率有參考意義。

［關(guān)鍵詞］圓周角；教學(xué)；能力

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0026-03

一、內(nèi)容分析

“圓周角”是在學(xué)習(xí)“圓心角”的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入探索，為圓有關(guān)角的計(jì)算，角、弧、弦相等問題的證明提供簡便的方法，在有關(guān)說理、作圖、計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。“圓周角”既是圓心角、弧、弦之間關(guān)系的延續(xù)，又是下一節(jié)“圓周角定理推論”的學(xué)習(xí)依據(jù)，對研究圓內(nèi)接四邊形、判定相似三角形等幾何問題有重要作用，為高中階段學(xué)習(xí)圓和立體幾何奠定基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在八年級上冊已學(xué)習(xí)了三角形的外角定理以及圓的基本概念，會(huì)判斷圓心角，基本掌握了圓心角的相關(guān)性質(zhì)，在知識儲(chǔ)備上是足夠的。通過類比，學(xué)生能較快地掌握圓周角的概念，已具備一定的邏輯推理能力、獨(dú)立思考和探索能力，但對分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及“由特殊到一般”的認(rèn)知能力有待加強(qiáng)。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生理解圓周角的概念，能識別圓周角并畫出圓周角；（2）讓學(xué)生掌握圓周角定理，會(huì)求圓周角的度數(shù)；（3）讓學(xué)生會(huì)會(huì)用符號語言表述圓周角定理；（4）讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用圓周角定理解決簡單問題。

四、教學(xué)過程

（一）引入新課

教師先播放福建土樓的相關(guān)視頻，然后提問：為了更好地保護(hù)世界文化遺產(chǎn)，某土樓公司正在為圓形土樓安裝監(jiān)控?cái)z像頭，每臺(tái)攝像頭的監(jiān)控角度是[65°]，如圖1所示，請思考以下問題。

問題1：若按圖2所示，把攝像頭安裝在土樓中央的矮屋頂上，至少要安裝幾個(gè)攝像頭才能監(jiān)控整個(gè)土樓？

問題2：若按圖3所示，把攝像頭安裝在土樓走廊的欄桿上，至少需要安裝幾個(gè)攝像頭才能監(jiān)控整個(gè)土樓？

追問：[∠DCE]是圓心角嗎？

設(shè)計(jì)意圖：以身邊的現(xiàn)實(shí)問題為情境，回顧圓心角的概念，引出圓周角，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望。

（二）類比概念

問題3：請同學(xué)們觀察圖2中的[∠AOB]與圖3中的[∠DCE]，它們有何異同？

問題4：你能類比圓心角的概念并給圓周角下定義嗎？圓周角的定義要滿足哪些條件？

追問：為什么圓心角的概念中可不強(qiáng)調(diào)“兩邊都與圓相交”？

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形的比對以及概念的類比，讓學(xué)生經(jīng)歷對圓心角和圓周角的感知、分析、比較、抽象和歸納過程。

（三）應(yīng)用概念

問題5：如下五個(gè)圖形中，哪些角是圓周角？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過具體案例，從正反兩個(gè)方面加深學(xué)生對圓周角本質(zhì)屬性的理解。

問題6：如圖5所示，四邊形[ABCD]是正方形，你能否找出圖中的圓心角及其同一條弧所對的圓周角？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在更為復(fù)雜的組合圖形中辨認(rèn)圓心角和圓周角。

（四）定理探究

探究1：同一條弧所對的圓周角和圓心角在大小上有關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：用[90°]圓心角和[180°]圓心角的特殊性，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想。

探究2：利用幾何畫板，驗(yàn)證猜想。

操作1：用幾何畫板畫出圓周角[∠ABC]，量它的度數(shù)，再畫[AC]所對的圓心角[∠AOC]并量出它的度數(shù)，驗(yàn)證猜想。

操作2：拉動(dòng)頂點(diǎn)[B]，觀察[∠ABC]的角度值是否會(huì)改變。

操作3：拉動(dòng)圓心[O]，改變圓[O]半徑， 觀察[∠ABC]與[∠AOC]的角度值。

操作4：移動(dòng)點(diǎn)[A]或點(diǎn)[C]，觀察[∠ABC]與[∠AOC]的角度值是否同時(shí)改變，[∠ABC]與[∠AOC]的大小關(guān)系怎樣？

設(shè)計(jì)意圖：用幾何畫板進(jìn)行展示，讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證猜想，為定理證明做鋪墊。

（五）合作提升

活動(dòng)1：學(xué)生討論圓心與圓周角的位置關(guān)系。

活動(dòng)2：教師用投影儀展示各個(gè)小組的學(xué)習(xí)成果。

經(jīng)過大家討論和補(bǔ)充，最終得出圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，如圖6所示。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，在合作學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、空間觀念、符號意識、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想。

活動(dòng)3：分類證明。

當(dāng)圓心在圓周角的一邊上時(shí)，學(xué)生討論證明方法和思路；各組派代表分享解題思路和推理過程。

教師總結(jié)：把圓心角與圓周角的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系問題，如圖7所示。

設(shè)計(jì)意圖：通過說理活動(dòng)，讓學(xué)生在合作與交流中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

當(dāng)圓心在圓周角的內(nèi)部時(shí)，學(xué)生嘗試解決相關(guān)問題（估計(jì)有一定的困難）。教師提示：能否把它轉(zhuǎn)化為第一種情況？（引導(dǎo)學(xué)生作輔助線）教師展示正確的解答過程，并補(bǔ)充說明，如圖8所示。

當(dāng)圓心在圓周角的外部時(shí)：

小組成員共同完成證明過程，請小組代表上臺(tái)講解，教師點(diǎn)評，如圖9所示。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在構(gòu)造基本圖形的過程中培養(yǎng)空間觀念、推理能力和轉(zhuǎn)化思想。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納上述證明過程，如圖10所示。

通過圓心在圓周角的一邊上、圓周角的內(nèi)部、圓周角的外部三種情況的證明，得出圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生一起歸納，厘清學(xué)生的解題思路，鍛煉學(xué)生的概括能力。

（六）引導(dǎo)發(fā)展

若按圖3所示，把攝像頭安裝在土樓走廊的欄桿上，至少需要安裝幾個(gè)攝像頭才能監(jiān)控整個(gè)土樓？

設(shè)計(jì)意圖：與課堂引入問題相呼應(yīng)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

（七）當(dāng)堂檢測

1.下列說法正確的是（ ? ? ? ?）。

A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角

B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的 2 倍

D.圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半

2.如圖11所示，[A、B、C、D]是圓[Ο]上的點(diǎn)，若[∠1=80°]，則[∠C=] ? ? ? ? ? ? ，[∠D=] ? ? ? ? ? ? 。

設(shè)計(jì)意圖：通過解答本題，讓學(xué)生加深對圓周角定理的理解，也為證明圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)埋下伏筆。

3.我校是省足球特色校及示范校，七年級的甲、乙兩名新球員在足球場進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練，他們分別站在球門前的圓上Ａ、Ｂ位置上（如圖12所示）。他們都說自己的位置射門好，對球門CD的張角大。

（1）甲、乙兩名足球運(yùn)動(dòng)員誰說得對？

（2）我校足球運(yùn)動(dòng)員在一次比賽中正在向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)后衛(wèi)李明帶球沖到Ｅ點(diǎn)時(shí)，兩名隊(duì)友也到達(dá)了Ａ、Ｂ點(diǎn)的位置（如圖13所示），單從射門角度的大小考慮，李明應(yīng)把球傳給誰？

設(shè)計(jì)意圖：檢測學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果，便于改進(jìn)教學(xué)。

（八）課后作業(yè)

1.必做題：（1）寫一篇關(guān)于本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì)（300字以上）；（2）課本習(xí)題24.1第5、第14題。

2.選做題：課本第91頁“拓廣探索”第17題。

設(shè)計(jì)意圖：分層布置作業(yè)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓不同的學(xué)生有不同的收獲。

五、設(shè)計(jì)思考

（一）創(chuàng)設(shè)情境是設(shè)計(jì)的切入點(diǎn)

學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和素養(yǎng)的形成與情境密不可分。本節(jié)課通過世界文化遺產(chǎn)福建土樓的視頻引入新課，在當(dāng)堂檢測中借助足球射門訓(xùn)練的問題，創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的問題情境，讓數(shù)學(xué)問題的生成更加自然，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情倍增，感受數(shù)學(xué)的真實(shí)有用。圍繞圓心角、圓周角等重要概念、原理和解決問題的思維方式，落實(shí)學(xué)科育人，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言、模型描述問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。情境和情境活動(dòng)的設(shè)計(jì)，可以關(guān)注學(xué)生與未來學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)和對數(shù)學(xué)學(xué)科的深度探索，也可以關(guān)注學(xué)生與社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)分析問題、解決問題的全過程，提升學(xué)生的思考能力。

（二）基于問題導(dǎo)向是設(shè)計(jì)的著眼點(diǎn)

問題是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，精準(zhǔn)的問題為學(xué)生提供了更多表現(xiàn)機(jī)會(huì)。關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的設(shè)計(jì)要以問題為導(dǎo)向，通過設(shè)計(jì)有層次的問題，引導(dǎo)學(xué)生深入開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展，經(jīng)歷解決問題的全過程，將轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式落在實(shí)處，實(shí)現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化。本節(jié)課自始至終都以問題為教學(xué)主線，為學(xué)生提供了基于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在圓周角概念的引入中提高觀察能力和抽象素養(yǎng)，在定理的探究中通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想的能力，在概念及定理的應(yīng)用中增強(qiáng)合作探究、邏輯推理、交流表達(dá)、解決實(shí)際問題等能力，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想是設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是夯實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”的突破口，關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的設(shè)計(jì)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透。教師多引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去審視問題，才能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力的發(fā)展。本節(jié)課在圓周角概念的引入中，運(yùn)用類比推理的方法，根據(jù)圓心角的特征去推測圓周角的特征。在圓周角定理的證明中，由于圓心與圓周角位置關(guān)系具有不確定性，教師可通過分類與整合思想引導(dǎo)學(xué)生加以討論，全面而具體，做到不重不漏，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性，還滲透著“數(shù)形結(jié)合”“化歸與轉(zhuǎn)化”“特殊與一般”等數(shù)學(xué)思想，這對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）