殷美琴 申 苗

從目前的小學數(shù)學教材及教學現(xiàn)狀來看，由于各知識領域的內(nèi)容分散編排、各自呈現(xiàn)，教師教學也大多依據(jù)教材上的內(nèi)容分課時展開，從而導致學生難以將知識點關聯(lián)成一個整體的知識結(jié)構(gòu)?；凇读x務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）對課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求，在結(jié)構(gòu)化視角下對小學數(shù)學教材進行研讀，教師既要以整體、聯(lián)系的思維把握課程內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)，從單元整體的視角對教材內(nèi)容進行統(tǒng)整與梳理，又要站在學生的立場分析新課標對課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化教學的目標要求與教材之間的落差，促進學生遷移學科知識與方法，構(gòu)建有結(jié)構(gòu)的、完整的認知系統(tǒng)，從而培養(yǎng)他們的結(jié)構(gòu)化思維和系統(tǒng)化思維。

一、明確課標要求，把握課程內(nèi)容

1.對數(shù)運算一致性的要求

新課標十分強調(diào)數(shù)運算教學的整體性和一致性，明確指出“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。史寧中教授也提出，在“數(shù)與代數(shù)”中要注意兩個一致性：乘法和除法運算的一致性；整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)加減運算的一致性。因此，分數(shù)除法的教學內(nèi)容要緊扣“一致性”這條主線，前后貫通，既要整體把握課程內(nèi)容學習要求，還要考慮整體的“一致性”，以促進學生形成和發(fā)展學科關鍵能力。

2.對分數(shù)除法運算的要求

“分數(shù)除法”是第三學段的內(nèi)容，新課標中相對應的目標要求是：能進行簡單的分數(shù)除法運算，感悟數(shù)運算的一致性；形成符號意識、運算能力和推理意識。內(nèi)容要求指出：能進行分數(shù)四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識。學業(yè)要求指出：能進行簡單分數(shù)的四則運算和混合運算，并說明運算過程。數(shù)的運算的重點在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關的核心概念是計數(shù)單位，本質(zhì)都是計數(shù)單位之間的計算。

二、基于教材編排，明晰關鍵內(nèi)容

1.“分數(shù)除法”在教材中的地位

“分數(shù)除法”是“數(shù)與運算”主題的關鍵內(nèi)容，其統(tǒng)籌了四則運算的所有內(nèi)容（如圖1），既是分數(shù)乘法的延伸，也是整數(shù)除法運算的擴展，還是比、百分數(shù)等知識的基礎，其中蘊含多種核心素養(yǎng)。學生主要學習與理解“分數(shù)除法”的本質(zhì)：可以按照整數(shù)除法的算理和算法進行運算，即在計數(shù)單位相同的前提下進行個數(shù)的均分，構(gòu)建分數(shù)除法與整數(shù)除法的關聯(lián)，理解分數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性；同時，體會所有的除法運算本質(zhì)上都是乘法運算，感受乘法、除法運算的一致性。

（圖1）

2.“分數(shù)除法”在不同版本教材中的編排

研究不同版本的教材，有助于教師從不同視角把握相關知識點的本質(zhì)和內(nèi)容結(jié)構(gòu)。對比人教版和蘇教版兩個版本教材的單元目標，可以發(fā)現(xiàn)，其重點都是讓學生在理解分數(shù)除法意義的基礎上，理解和掌握分數(shù)除法的算理和算法。它們都是把分數(shù)除法分為分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)等幾種不同的類型，每種類型通過圖示直觀解釋算式意義的計算結(jié)果，計算方法則是從觀察一組除法轉(zhuǎn)化為乘法的例子中歸納得出的。

對于“分數(shù)除以整數(shù)”的算理和算法，兩個版本的教材都呈現(xiàn)了兩種算法：一種是等分除，利用計數(shù)單位說理；一種是包含除，根據(jù)分數(shù)乘法的意義來思考。等分除不能解釋分數(shù)除以分數(shù)，而包含除雖然能解釋，但也只是解釋了除法算式的意義，無法解釋分數(shù)除法的算理，不能突出計數(shù)單位對于算理理解的意義。

對于“除數(shù)是分數(shù)的除法”，兩個版本教材的編排層次都不太明顯，計數(shù)單位的價值難以凸顯。人教版教材呈現(xiàn)同一個路程情境，分別從整數(shù)和分數(shù)除以非分數(shù)單位的分數(shù)入手，根據(jù)這兩個例子總結(jié)出“除以一個不為0 的數(shù)，等于乘上這個分數(shù)的倒數(shù)”，而就路程情境而言，學生是較難理解的；蘇教版教材則從整數(shù)除以分數(shù)單位、整數(shù)除以非分數(shù)單位、同分母分數(shù)相除入手。兩個版本的教材均根據(jù)特例總結(jié)出“除以一個不為0 的數(shù)，等于乘這個分數(shù)的倒數(shù)”，然后對該總結(jié)進行推廣應用，整體探究上缺乏對除數(shù)是一般分數(shù)類型的研究，而把從特例中發(fā)現(xiàn)、驗證得到的計算方法推廣為一般分數(shù)除法的運算法則。這個推理過程屬于不完全歸納，沒有體現(xiàn)分數(shù)除法通法通則的推導過程，給學生的知識建構(gòu)留下了思維“縫隙”?？梢姡瑑蓚€版本的教材都沒有把統(tǒng)一的算理貫徹其中，忽略了計數(shù)單位在計算方法探索過程中的作用，不利于學生感悟數(shù)的運算在本質(zhì)上的一致性，顯然與新課標對分數(shù)除法運算的要求有一定落差。

三、站在學生立場，審視教材安排

結(jié)構(gòu)化視角下的教材研讀必須關注學生的認知和思維發(fā)展水平，需要教師站在學生的視角研讀教材，以學生的眼光看待教材內(nèi)容的呈現(xiàn)，分析學生學習時存在的思維障礙，立足學生的認知基礎對教材內(nèi)容進行合理編排，以便學生更好地形成知識結(jié)構(gòu)及數(shù)學學習方法論。

筆者所在學校使用的是人教版教材，曾在六年級下學期對學生進行了一次“分數(shù)除法”的教學評估，形式為紙筆測試，以分析學生對分數(shù)除法算理的理解和算法的掌握情況。后測題目為：計算，為什么可以寫成，你能用文字、算式或畫圖的方式說說你的想法嗎？從后測分析（如表1）來看，學生對分數(shù)除法的算理理解并不到位，40%的學生僅僅知道除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)的算法，對計數(shù)單位在運算過程中的價值難以體會。

表1 “分數(shù)除法”后測分析反饋表

基于以上分析，根據(jù)新課標對分數(shù)除法運算一致性的要求，筆者認為，教材需進一步突出計數(shù)單位解釋算理的理解過程，使學生明確分數(shù)運算就是在分數(shù)單位相同的前提下進行分子的運算，即整數(shù)的運算，所有除法運算都可歸結(jié)為乘法運算。從結(jié)構(gòu)化的視角研讀教材，需要思考以下幾個問題：（1）有沒有產(chǎn)生新的計數(shù)單位？（2）新的計數(shù)單位是多少？（3）如何找到有多少個新的計數(shù)單位？因此，需要對“分數(shù)除法”單元進行重構(gòu)，將“分數(shù)除以整數(shù)”“除數(shù)是分數(shù)的除法”進一步細分為“同分母分數(shù)相除”“整數(shù)除以分數(shù)”“異分母分數(shù)的除法”，并設計基于真實情境的核心任務，以大任務驅(qū)動學生深度思考，從而使其更好地理解分數(shù)除法的算理和算法。

四、基于結(jié)構(gòu)化視角，重構(gòu)教學內(nèi)容

1.同分母分數(shù)相除

“同分母分數(shù)相除”的算法能運用到所有分數(shù)除法中，其方法具有一般性。筆者教學時以“科技節(jié)”為現(xiàn)實背景，設計包含除的任務。在同一個情境下設置兩個問題，側(cè)重于運用計數(shù)單位解釋算法。學生通過畫圖或文字表征的計算過程，發(fā)現(xiàn)同分母分數(shù)相除等于兩個分數(shù)的分子相除，即理解相同分數(shù)單位下的個數(shù)相除可得到結(jié)果，把分數(shù)除法與整數(shù)除法相聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)運算的一致性。

【任務一】學校舉行科技節(jié)，給各班發(fā)了一些彩帶，用于制作海報，501 班用了米，502 班用了米，503班用了米。（1）501班用的彩帶是502 班用的彩帶的幾倍？（2）501 班用的彩帶是503班用的彩帶的幾倍？

要求：（1）列式計算；（2）請通過畫圖或文字表示你的計算過程和想法。

2.整數(shù)除以分數(shù)

“整數(shù)除以分數(shù)”依然以“科技節(jié)”為現(xiàn)實背景，設計包含除的任務。任務二是整數(shù)除以分數(shù)單位，任務三沒有具體的情境，學生首先需要理解整數(shù)除以分數(shù)的含義，再用文字或畫圖的方式表征計算的過程，理解整數(shù)除以分數(shù)要把整數(shù)化成和除數(shù)分母相同的分數(shù)再相除，把被除數(shù)與除數(shù)的計數(shù)單位統(tǒng)一，進一步感受分數(shù)除法運算的本質(zhì)是相同計數(shù)單位個數(shù)的均分，從而更好地體會數(shù)的運算在本質(zhì)上的一致性。

【任務二】在科技節(jié)的開幕式上，需要先將場地進行消毒，工作人員將2 升的消毒液分瓶裝，每升倒?jié)M一瓶，可以倒?jié)M幾瓶？

要求：（1）列式計算；（2）請通過畫圖或文字表示你的計算過程和想法。

要求：（1）這個算式表示什么意思？（2）請通過畫圖或文字表示你的計算過程和想法。

3.異分母分數(shù)的除法

任務四沒有情境；任務五則繼續(xù)以“科技節(jié)”為現(xiàn)實背景，設計包含除的任務——。學生需要先理解分數(shù)除法的含義，借助直觀或文字的形式理解算理，理解分母不同時可以先通分成同分母的分數(shù)再相除，即。計數(shù)單位不同時，可以利用通分使被除數(shù)、除數(shù)的計數(shù)單位一致，這樣就可以直接使用計數(shù)單位的個數(shù)相除，促進學生深入理解算理，從而實現(xiàn)與分數(shù)加減法運算的統(tǒng)一。

隨著字母的出現(xiàn)，直觀表征難度增加，從而引出形式表征，通過演繹推理得出：分數(shù)除以分數(shù)，就是將除數(shù)的分子、分母顛倒后，再和被除數(shù)相乘，可以用表示。在此過程中，學生不僅能通過推理感受一個非零數(shù)除以一個分數(shù)等于乘這個分數(shù)的倒數(shù)，體會任意分數(shù)除法的算法均可轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法進行計算，而分數(shù)乘法運算與整數(shù)、小數(shù)乘法運算又保持了一致性，還能探究多角度解釋乘倒數(shù)的算法，在溝通通法與其他算法的關聯(lián)中歸納分數(shù)除法的計算法則。

要求：（1）這個算式表示什么意思？（2）請通過畫圖或文字表示你的計算過程和想法。

要求：（1）列出算式；（2）請試著推理出計算的結(jié)果。

綜上所述，從新課標對學科知識的本質(zhì)要求和學生的思維發(fā)展水平出發(fā)，深入了解課程知識結(jié)構(gòu)，站在整體、聯(lián)系、發(fā)展的視角研讀教材，打通知識關聯(lián)，著力讓零散的知識建立結(jié)構(gòu)化的聯(lián)系，從而架構(gòu)適切的教學路徑，將有助于學生構(gòu)建具有生長力的認知體系，形成更好的知識結(jié)構(gòu)及數(shù)學學習方法論，從而促進其核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。