郭春 李中元 農(nóng)王亮 陶冶

摘要：發(fā)動機損傷葉片的表面重構(gòu)是發(fā)動機葉片修復(fù)的一個關(guān)鍵問題。在多種損傷類型葉片的曲面重構(gòu)中，邊緣損傷型葉片的表面重構(gòu)具有較大困難，因此類葉片表面在邊緣處過渡復(fù)雜，而且損傷后的葉片發(fā)生了變形。本文針對上述問題提出一種面向邊緣損傷型葉片表面的曲面重構(gòu)方法。首先，重構(gòu)非損傷截面輪廓的表面輪廓和邊緣輪廓，邊緣輪廓采用貝塞爾曲線進行重構(gòu)；然后，通過預(yù)測邊緣損傷區(qū)域貝塞爾曲線的控制點重構(gòu)損傷區(qū)域邊緣輪廓，通過將表面輪廓曲線與貝塞爾曲線進行搭接得到損傷區(qū)域完整截面曲線；最后，通過放樣各個截面曲線獲得重構(gòu)的葉片表面。本文對所提重構(gòu)方法進行驗證并進行誤差分析，結(jié)果表明了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞：曲面重構(gòu)；邊緣損傷型葉片；三次貝塞爾曲線；最小二乘法

中圖分類號：TH11 文獻標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.06.001

文章編號：1006-0316 （2023） 06-0001-08

Surface Reconstruction Method for Engine Edge Damaged BladeRepaire

GUO Chun，LI Zhongyuan，NONG Wangliang，TAO Ye

（ School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：Surface reconstruction of damaged engine blades is a key issue in engine blade repair. In the surface reconstruction of blades of multiple damage types， the surface reconstruction of edge damage leaves is difficult， so the surface transition of the blade-like blade is complex at the edge， and the blade is deformed after injury. In view of the above problems， this paper proposes a surface reconstruction method for edge damage blade surface. Firstly， the surface profile and edge profile of the non-damage section profile are reconstructed， and the edge profile is reconstructed by Bezier curve. Then， the edge contour of the damage area is reconstructed by predicting the control point of the Bezier curve of the edge damage area， and the complete cross-sectional curve of the damage area is obtained by lapping the surface contour curve with the Bezier curve. Finally， the reconstructed blade surface is obtained by lofting the individual cross-sectional curves. In this paper， the proposed reconstruction method is verified and the error analysis is carried out， and the results show the effectiveness of the proposed method.

Key words：surface reconstruction；edge damage blade；cubic Bezier curve；least square method

航空發(fā)動機葉片工作于高溫、高壓環(huán)境下，在服役一段時間之后會發(fā)生損壞及變形[1]。由于葉片的材料和制造成本高，相較于重新生產(chǎn)新的葉片，將損壞的葉片進行維修不僅能延長葉片的使用壽命，同時節(jié)約成本。當(dāng)下對葉片自適應(yīng)修復(fù)研究中，重構(gòu)損傷葉片表面是其關(guān)鍵環(huán)節(jié)。對此，國內(nèi)外學(xué)者展開了積極的探索。

在近幾年的研究中，李志[2]提出面向渦輪葉片曲面修復(fù)的曲面重構(gòu)方法。Gao等[3]發(fā)展了一種表面擴展算法，通過將缺陷表面的參數(shù)信息外推到缺陷區(qū)域，從而生成磨損的葉尖模型。張偉等[4]提出一種分段擬合葉片切片截面曲線，然后構(gòu)造滿足二維約束的最優(yōu)曲面，最后使用曲線放樣生成曲面。Zhao等[5]提出了一種對每個截面的測量點進行自由變形修正來確定最終截面曲線，然后放樣重建最終的截面曲線。該方法的測量數(shù)據(jù)點使用接觸式測量獲得。Xu等[6]提出了一種基于實測接觸點的薄特征葉片曲面重構(gòu)方法，該方法使用三次NURBS曲線對橫截面曲線進行逆插值，擬合和曲面重構(gòu)。這個方法只用于非損傷葉片的曲面重構(gòu)。Yu等[7]提出了一種通過遞推變形與缺陷截面曲線相鄰的參考截面曲線獲得損傷區(qū)域截面線的方法。文章中提出了參考曲線中各控制點的逆移動分布算法，以實現(xiàn)曲線變形。該方法旨在保證曲面光滑度。Zheng等[8]提出了一種基于刀具路徑修正的葉片修復(fù)方法。該方法首先對損傷區(qū)域附近的標(biāo)稱曲線和測量點的剛性配準(zhǔn)，然后基于可行區(qū)域的殘差B樣條逼近，以及修復(fù)機械所用刀具路徑的修正，用改進的ICP算法實現(xiàn)了標(biāo)稱曲線對測量點的修正。該方法用于葉尖修復(fù)。聶兆偉等[9]提出鏡像模型驅(qū)動的葉身自適應(yīng)修復(fù)曲面重構(gòu)方法。該方法以葉身設(shè)計曲面作為理論模型，以實際待修復(fù)葉身的測量值作為實作模型。

葉片常見的三種損傷形式分別是尖端損傷、凹面和凸面損傷以及邊緣損傷。在當(dāng)前的研究中，有的學(xué)者提出的方法針對特定損傷形式葉片的表面重構(gòu)。Gao等[3]提出的方法適用于的尖端損傷的扭曲葉片表面重構(gòu)。有一部分學(xué)者所提方法雖然沒有指定針對某一種特定損傷形式，但是其實驗結(jié)果主要傾向于葉片凹面和凸面的驗證。Wu等[10]提出的模型重建方法中，實驗結(jié)果驗證了所提方法在葉片凹面和凸面的有效性，卻缺少對邊緣表面的驗證。Zheng等[8]提出的方法以尖端損傷葉片驗證了所提方法，但并沒有給出邊緣損傷葉片的驗證實例。

當(dāng)下較少有學(xué)者和工程人員針對邊緣損傷形式的葉片重構(gòu)進行研究。在針對特定損傷形式葉片表面重構(gòu)研究中，很少有學(xué)者關(guān)注邊緣損傷形式的葉片表面的重構(gòu)。而在不區(qū)分具體損傷形式的葉片重構(gòu)方法中，也很少給出對葉片邊緣重構(gòu)效果的驗證。陳云勇等[11]提出一種基于誤差控制的薄壁葉片橢圓弧形前后緣建模方法。但該方法適用于完整葉片的逆向建模，而不適用于損傷葉片的建模。趙旭升等[12]在損傷葉片曲面重構(gòu)的研究中，分別提出了針對葉片尖端損傷和邊緣損傷的葉片截面曲線重構(gòu)方法。該方法對邊緣損傷葉片的重構(gòu)精度還仍有提升空間。

邊緣損傷是發(fā)動機葉片的常見損傷形式，針對邊緣損傷型葉片的表面重構(gòu)對葉片修復(fù)具有重要意義。然而，邊緣損傷型葉片表面重構(gòu)面臨較大困難，其原因在于此類葉片表面在邊緣處過渡復(fù)雜，且損傷后的葉片存在形變。針對當(dāng)下邊緣損傷形式的葉片表面重構(gòu)研究較少。因此，本文提出一種面向發(fā)動機邊緣損傷型葉片表面的曲面重構(gòu)方法。

1 本文提出的曲面重構(gòu)方法

如圖1所示是邊緣損傷型葉片表面重構(gòu)流程，在進行葉片截面輪廓曲線重構(gòu)時，分別對邊緣輪廓曲線和表面輪廓曲線進行重構(gòu)，因為在葉片的一個截面輪廓上，其葉片邊緣曲率變化大，而葉片表面輪廓的曲線變化平緩。在進行邊緣輪廓進行重構(gòu)時，采用三次貝塞爾曲線擬合邊緣曲線，同時利用已知非損傷區(qū)域的貝塞爾曲線特征預(yù)測損傷區(qū)域貝塞爾曲線特征，從而實現(xiàn)損傷區(qū)域邊緣曲線的重構(gòu)。在獲得各個高度下的葉片邊緣輪廓，利用搭接算法將不完整的表面輪廓曲線和貝塞爾曲線首末端點進行搭接，完成葉片截面輪廓曲線的重構(gòu)。最后經(jīng)過曲線放樣獲得完整葉片表面。

1.1 點云分割

葉片非損傷截面輪廓的點云分割算法的輸

入是 ，該點集是激光傳感器所

測得的同一個截面輪廓的點云數(shù)據(jù)。首先將該點集在xoy平面投影。然后以四次曲線擬合該數(shù)據(jù)點可得到一條處于截面輪廓內(nèi)部的四階曲線，曲線表示為：

（1）

式中：a、b、c、d、e為四次曲線系數(shù)；x為曲線自變量；y為因變量。

P的y坐標(biāo)在四階曲線投影得到點集Pp，

比較P和Pp的y方向坐標(biāo)值，如果 ，pi屬于PH，反之pi屬于PL，由此可將該曲線P分為兩個點集，分別是 和 。

在一個截面的測量點云數(shù)據(jù)中，據(jù)點在邊緣某處曲率逐漸增大，將這些數(shù)據(jù)點分為前緣點、后緣點、上表面點和下表面點。得到非損傷截面輪廓數(shù)據(jù)之后，需要將數(shù)據(jù)點進行分割。

如圖2所示，用四階曲線擬合輪廓數(shù)據(jù)，可得到穿過輪廓內(nèi)部的一條四次曲線，該曲線將點云數(shù)據(jù)分為上下兩部分。接下來的工作重點是將邊緣輪廓的數(shù)據(jù)點與表面輪廓的數(shù)據(jù)點分割。

圖2 階曲線分割葉片截面數(shù)據(jù)點

根據(jù)四次曲線的首末端點P1、P2可對數(shù)據(jù)

進行排序。點集為 ，P1、P2

的中點為P0，P0與點集P中的點形成向量 ，計算向量 與向量 之間的夾角 ， 。根據(jù)ai大小對點集P進行排序，所得點集為 。

分割算法如下：

步驟1：輸入點集合Q。輸入變量 ，賦值 ， 為點集 的序號。

步驟2：如果 ，創(chuàng)建點集合M，

，創(chuàng)建點集合N和R， ， ；否則，

結(jié)束。

步驟3：以點集合R計算Pi點的法線 ，

分別以點集合M和N計算每個點所在的曲率半徑r1、r2。

步驟4：設(shè)定曲率閾值r0，遍歷點集合Q，

如果 ，則將點集分割為邊緣輪廓數(shù)

據(jù)點和表面輪廓數(shù)據(jù)點。

步驟5：合并前緣和后緣的兩個邊緣數(shù)據(jù)點，得到前緣和后緣的完整數(shù)據(jù)點。

1.2 非損傷截面表面輪廓曲線擬合

由上文所提的同一截面輪廓上數(shù)據(jù)點的分割算法可將一個高度上的葉片非損傷截面輪廓數(shù)據(jù)點分割為前緣數(shù)據(jù)、后緣數(shù)據(jù)、葉盆數(shù)據(jù)、葉背數(shù)據(jù)。在本節(jié)中，葉盆數(shù)據(jù)和葉背數(shù)據(jù)采用相同的重構(gòu)方式，用四次曲線擬合葉盆數(shù)據(jù)和葉

背數(shù)據(jù)。輸入點集 ，將點集投影于xoy平面得到二維點集合 ，使用最小二乘法擬合點集 。設(shè)擬合多項式為：

（2）

式中：a0、a1、a2、a3、a4為多項式系數(shù)。

計算偏差和為：

（3）

將式（3）對ai求偏導(dǎo)數(shù)并化簡整理得：

（4）

式（4）的形式為 ，A為系數(shù)矩陣，由矩陣運算可得到A，即得到擬合曲線。葉背擬合曲線如圖3所示。

圖3 葉背數(shù)據(jù)點擬合

1.3 非損傷截面輪廓邊緣曲線重構(gòu)

通過分割算法對非損傷截面輪廓數(shù)據(jù)點進行分割，可獲得非損傷區(qū)域截面輪廓完整的邊緣數(shù)據(jù)點，同時可以得到邊緣數(shù)據(jù)點和上下表面數(shù)據(jù)點公共點的切點和切線方向。已知三次貝塞爾曲線的特點就是第一個和第四個控制點就是曲線的起點和終點，第二個控制點位于起點切線方向上，第三個控制點位于終點切線方向上。于是可通過如下算法利用貝塞爾曲線擬合葉片輪廓邊緣數(shù)據(jù)點。

三次貝塞爾曲線表達式為：

（5）

式中：t為參數(shù)，t＝0～1；P0、P1、P2、P3為貝塞爾曲線控制點。

利用貝塞爾曲線重構(gòu)葉片邊緣曲線的關(guān)鍵在于確定控制點。由葉盆和葉背曲線端點和端點切線方向確定貝塞爾曲線首末控制點及其切線方向，如圖4所示。根據(jù)貝塞爾曲線性質(zhì)，

控制點P1位于P0法線 方向上，控制點P2位于P3的法線 方向上。

控制點求取算法如下：

（1）步驟1

輸入控制點P0、P3， ， ，葉片邊緣點集合 ，首末控制點切線向量 、 ， ， ，輸入變量k1、k2。

（2）步驟2

第二個控制點表示為：

（6）

第三個控制點表示為：

（7）

誤差值表示為：

（8）

（9）

（10）

式中： 、 、 、 。

最小二乘公式替換為：

（11）

對k1和k2求偏導(dǎo)數(shù)并化簡得 ，利用矩陣計算可求得k1和k2。

（3）步驟3

將k1和k2帶入得到葉片邊緣貝塞爾曲線。

P0、P1、P2、P3為三次貝塞爾曲線控制點；

、 為首末控制點所在切線的向量。

P0、P1、P2、P3為三次貝塞爾曲線控制點。

1.4 邊緣曲線控制點預(yù)測

葉片邊緣從葉尖到葉根過渡過程中，曲線呈現(xiàn)出光順的過渡。于是通過損傷區(qū)域上下兩個邊緣貝塞爾曲線的首尾控制點預(yù)測損傷區(qū)域各個截面輪廓的邊緣貝塞爾曲線的首尾控制點。同時，三次貝塞爾曲線的首末控制點的交點也呈光順變化，所以使用損傷區(qū)域上下兩個控制點交點預(yù)測損傷區(qū)域控制點交點。預(yù)測的數(shù)值呈線性變化趨勢。此外，葉片邊緣輪廓貝塞爾曲線平行于首末端點所形成的線段的切點應(yīng)光滑過渡，所以使用損傷區(qū)域上下兩個邊緣貝塞爾曲線的切點預(yù)測損傷區(qū)域的貝塞爾曲線切點。

由三次貝塞爾曲線擬合方法可重構(gòu)鄰近于邊緣損傷區(qū)域的最高和最低兩個高度的截面曲線，P1、P2、P3、P4為最低高度的邊緣輪廓貝塞爾曲線的控制點，P0為貝塞爾曲線首末控制點所在切線的交點。P1'、P2'、P3'、P4'為最高高度的邊緣輪廓貝塞爾曲線的控制點，P0'為貝塞爾曲線首末控制點所在切線的交點。如圖6所示。

P1、P2、P3、P4和P1'、P2'、P3'、P4'分別是完整邊緣輪廓三次貝塞爾曲線控制點；Pi1、Pi4分別為第i個損傷輪廓三次貝塞爾曲線的預(yù)測首末控制點；P0、P0'分別為首末控制點切線的交點；

Pi0為第i個損傷輪廓的預(yù)測交點。

圖6 首末控制點切線交點示意圖

首先需要確定P0的坐標(biāo)，由向量關(guān)系可確

定的坐標(biāo)。由向量關(guān)系 、 可確定系數(shù)k，進而得到P0的坐

標(biāo)。將P0、P0' 投影于xoz平面和yoz平面，建立首末控制點切線的交點值的 坐標(biāo)和y坐標(biāo)與截面高度z的一階線性關(guān)系。P0坐標(biāo)為（xp，yp，zp），P0'坐標(biāo)為（xq，yq，zq），第i個截面首末控制點切線交點P0i坐標(biāo)為（xi，yi），可得關(guān)系如下：

（12）

（13）

該截面上首末控制點切線交點 ，以同樣方法可獲得該截面上首末控制點和P4i。

1.5 表面輪廓曲線搭接

葉片表面的輪廓曲線在邊緣處過渡平緩，可利用三次樣條曲線對缺失部分的表面輪廓曲線進行搭接。為了保證一階連續(xù)，在控制點P4和表面曲線端點位置，搭接曲線的零階和一階倒數(shù)分別等于P4點和表面曲線端點的零階和一階倒數(shù)。由此條件可確定搭接曲線。圖7為搭接前后曲線。

2 實驗驗證

為了驗證所提方法的有效性，采用標(biāo)準(zhǔn)葉片模型來進行實驗。采用標(biāo)準(zhǔn)模型的好處在于，通過所提方法對損傷模型進行重構(gòu)，在驗證階段可以使用標(biāo)準(zhǔn)模型作為參考來驗證所提出方法的重構(gòu)效果。在標(biāo)準(zhǔn)葉片模型上加凸起模擬堆焊修補后的邊緣損傷型葉片。在不同高度上對損傷葉片表面進行采樣，生成理想點云。如圖8（a）是葉片標(biāo)稱模型，圖8（b）是經(jīng)堆焊修補后的邊緣損傷型葉片示意圖。

為了評價本文提出的方法的重建精度，本文基于圖8（a）中所示葉片標(biāo)準(zhǔn)模型生成的測點進行了葉片的樣條表面重建。實驗中在模型表面進行采樣取點。為了模擬激光傳感器的測量數(shù)據(jù)，在不同高度上分別以間隔0.1進行采樣。所獲得的模擬測量數(shù)據(jù)如圖9所示。在實際的激光傳感器測量過程中，總是有誤差存在，為此，在每個測量點的z坐標(biāo)上隨機生成0.01的誤差，用于模擬實際的激光傳感器測量數(shù)據(jù)。圖10所示是有誤差的模擬測量數(shù)據(jù)。

通過模擬的測量數(shù)據(jù)，使用本文所提算法損傷區(qū)域相鄰的非損傷截面輪廓進行重構(gòu)，然后使用邊緣輪廓控制點預(yù)測算法對損傷區(qū)域邊緣輪廓進行重構(gòu)，最后通過搭接算法搭接損傷區(qū)域邊緣和凹面、凸面輪廓。最終的重建模型與葉片標(biāo)準(zhǔn)模型相同，但在幾何精度上存在差異。

為了驗證重構(gòu)后的葉片表面，分別計算重構(gòu)后截面輪廓曲線到標(biāo)準(zhǔn)葉片模型表面的誤差。圖11為重構(gòu)截面輪廓與標(biāo)準(zhǔn)模型表面之間的誤差分布。本文提出方法的最大誤差為0.0352 mm。

此外，為了觀察重構(gòu)葉片分別在損傷區(qū)域頂端、中部、底端的重構(gòu)效果，分別建立重構(gòu)葉片在如圖11所示三個截面輪廓的平均誤差。截面如圖12所示，圖13為三個截面最大誤差值。

3 結(jié)論

本文提出了一種面向邊緣損傷型葉片的表面重構(gòu)方法，對于邊緣損傷型葉片，通過重構(gòu)葉片截面輪廓曲線，并將輪廓曲線進行放樣實現(xiàn)損傷葉片表面的重構(gòu)。通過對損傷區(qū)域邊緣曲線控制點的預(yù)測，以及頂點約束，利用三次貝塞爾曲線重構(gòu)葉片缺失的截面曲線邊緣，進一步將邊緣曲線與表面曲線搭接實現(xiàn)葉片損傷截面輪廓的重構(gòu)。與原始截面輪廓相比，其重構(gòu)的截面誤差最大為0.0352 mm。

本文提出的邊緣損傷型葉片表面重建方法在仿真中具有較高的精度，這有利于修復(fù)后的葉片更好地適應(yīng)工作環(huán)境。本節(jié)的實例分析表明了所提出的邊緣損傷型葉片表面重建方法的有效性。實例表明，該方法可用于葉片自適應(yīng)修復(fù)過程的葉片表面重構(gòu)模塊。

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