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        羽毛球極限揮拍速度與Fourier級數(shù)展開

        2023-08-26 14:00:24董一諾沈軒昊聶子坤梁熠宇
        當(dāng)代體育科技 2023年22期
        關(guān)鍵詞:大臂小臂球拍

        董一諾 沈軒昊 聶子坤 梁熠宇*

        (1.北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;2.北京交通大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院 北京 100044)

        1 問題提出

        羽毛球是一項隔著球網(wǎng),使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打羽毛球的一種小型球類室內(nèi)運動項目。羽毛球作為一項深受大眾喜愛的隔網(wǎng)對抗型體育運動,在殺球的過程中球拍接觸到球時是否能達(dá)到最大速度決定了殺球威力的強(qiáng)弱,也是羽毛球競技的擊球水平與觀賞性的體現(xiàn)[1]。為了研究羽毛球的極限速度,需要將揮拍的極限速度測量出來,目前市面上的揮拍測速裝置都需要置入對應(yīng)傳感器的球拍,并且只能測出最大速度,無法測出身體其他部位的發(fā)力速度以及最后揮出的位置。該研究的意義在于更好地為羽毛球愛好者尋找出自己的不足,并提供更精確的理論訓(xùn)練指導(dǎo),也對羽毛球初學(xué)者如何做到正確的揮拍動作提供了指導(dǎo)。

        2 模型建立

        研究發(fā)現(xiàn),揮拍時球拍的運動軌跡可以簡化為二維平面上的運動,根據(jù)人體揮拍時發(fā)力的特點:由身體、肩關(guān)節(jié)、大臂、小臂、手腕,多個部分首尾相接共同發(fā)力。這一特點與復(fù)平面下傅里葉級數(shù)展開十分相似。因此,選擇傅里葉在復(fù)數(shù)域下的展開,通過在復(fù)平面上建立首尾相接的多段向量,進(jìn)行進(jìn)一步計算。這里,簡化地假設(shè)肩、肘和腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)是獨立的,且沿同一方向。實際建模中,可能需要考慮關(guān)節(jié)間的耦合以及不同關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸。

        復(fù)數(shù)域下的傅里葉級數(shù)展開為:

        傅里葉級數(shù)可以看作是將一個周期函數(shù)分解為一系列復(fù)數(shù)向量。這些向量首尾相接,表示一個復(fù)數(shù)平面上的旋轉(zhuǎn)和縮放操作。在復(fù)數(shù)域下的傅里葉級數(shù)表示中,每個指數(shù)函數(shù)exp(inx)表示一個旋轉(zhuǎn)向量,其長度為復(fù)數(shù)系數(shù)Cn。當(dāng)對所有整數(shù)n 求和時,實際上是將這些復(fù)數(shù)向量首尾相接,最終得到周期函數(shù)f(x)在每個點上的值。從幾何的角度來看,每個復(fù)數(shù)系數(shù)Cn定義了一個向量,其長度和方向分別由Cn的模和輻角決定。這些向量按照不同的頻率旋轉(zhuǎn),形成了一個相互連接的向量鏈。將這些旋轉(zhuǎn)向量相加,可以得到原始周期函數(shù)在任何給定點的值。

        根據(jù)身體各部分的數(shù)據(jù)和角速度,建立一個運動學(xué)模型。這個模型可以表示為各關(guān)節(jié)和球拍端點之間的向量方程。根據(jù)這些方程,可以計算球拍端點在揮拍過程中的速度和加速度。將角速度數(shù)據(jù)代入運動學(xué)模型,計算球拍端點在揮拍過程中的速度和加速度。

        球拍端點速度=大臂長度×肩關(guān)節(jié)角速度+小臂長度×肘關(guān)節(jié)角速度+球拍長度×腕關(guān)節(jié)角速度[2]。

        這個簡化的運動學(xué)模型基于以下假設(shè):(1)肩、肘和腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)是獨立的;(2)所有關(guān)節(jié)沿著同一方向旋轉(zhuǎn);(3)身體各部分的質(zhì)量分布對速度計算沒有影響。

        2.1 傅里葉變換

        快速傅里葉變換(FFT,F(xiàn)ast Fourier Transform)是一種高效計算離散傅里葉變換(DFT,Discrete Fourier Transform)及其逆變換的算法。DFT 是一種將信號從時域變換到頻域的數(shù)學(xué)方法。在信號處理、圖像處理、通信等領(lǐng)域中,F(xiàn)FT算法被廣泛應(yīng)用,因為它比直接計算DFT更加高效[3]。

        上述公式X(k)為離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)的定義。它將一個離散序列x(n)轉(zhuǎn)換為另一個離散序列X(k),其中x(n)是原始序列的時域數(shù)據(jù),X(k)是該序列在頻域的表示。對于頻域序列中每個索引k,都計算時域序列x(n)乘以指數(shù)項exp(-2πikn/N)的和。這便得到了頻域序列X(k)的值。

        使用FFT算法[4]得到的主要頻率分量圖見圖1。

        圖1 FFT頻率分量圖

        球拍末端速度隨時間顯示了球拍端點速度隨時間的變化。x 軸表示時間(單位:s),y 軸表示球拍端點的速度(單位:m/s)。從圖中可以看出,速度信號呈現(xiàn)出周期性變化的特點。實際應(yīng)用中,角速度數(shù)據(jù)將來源于傳感器或視頻分析,所以可能呈現(xiàn)出不同的形狀和特征。

        FFT 結(jié)果顯示了速度信號的傅里葉變換結(jié)果。x軸表示頻率(單位:赫茲),y 軸表示振幅??梢钥吹?,F(xiàn)FT 結(jié)果呈現(xiàn)出明顯的尖峰,這些尖峰對應(yīng)速度信號中的主要頻率分量,揭示了不同頻率分量對整個揮拍過程的貢獻(xiàn)[5]。

        2.2 計算理論極值

        設(shè)l為力臂,w為旋轉(zhuǎn)的角速度

        先以一階為例:

        推廣至三階:

        當(dāng)t=0時,v取得最大值。

        計算四階:

        當(dāng)t=0時,得到羽毛球的極限速度為:

        3 實際分析

        3.1 OpenPose的相關(guān)應(yīng)用

        OpenPose人體姿態(tài)識別項目是美國卡耐基梅隆大學(xué)(CMU)基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和監(jiān)督學(xué)習(xí),并以caffe 為框架開發(fā)的開源庫??梢詫崿F(xiàn)人體動作、面部表情、手指運動等姿態(tài)估計,適用于單人和多人。OpenPose 提出Part Affinity Fields(PAFs),每個像素是2D 的向量,用于表征位置和方向信息。基于檢測出的關(guān)節(jié)點和關(guān)節(jié)連通區(qū)域,使用greedy inference 算法,可以將這些關(guān)節(jié)點快速對應(yīng)到不同人物個體[6]。

        3.2 動量守恒及能量守恒定律的相關(guān)應(yīng)用

        羽毛球拍擊球時可近似為彈性碰撞,由動量守恒和能量守恒定律可知:彈性碰撞前后系統(tǒng)的總動能不變,對兩個物體組成的系統(tǒng)的正碰情況滿足:

        碰后m1的速度幾乎未變,仍按照原方向運動,質(zhì)量小的物體以兩倍v1的速度向前運動。

        3.3 羽毛球愛好者揮拍分析

        收集身邊羽毛球愛好者揮拍視頻作為案例,首先進(jìn)行相關(guān)測量,截取視頻中球速最快的兩幀并拼接計算轉(zhuǎn)動角速度,最終得出相關(guān)數(shù)據(jù)。

        如圖2所示,測量得到球拍旋轉(zhuǎn)的角度為6°,測量可知球拍長度67 cm,身體部分參數(shù)為:大臂30 cm,小臂35 cm。已知截取視頻的放慢倍速為32 倍,幀率為30幀/秒,得到實際速度為33.67 m/s。

        圖2 羽毛球愛好者小臂揮拍截圖及OpenPose模型建立

        下一步進(jìn)行理論速度的計算,球拍旋轉(zhuǎn)的角度為6°,間隔的時間為0.002 s,得出角速度w1=50.265 rad/s;測量得出小臂旋轉(zhuǎn)的角度為31°,計算得出角速度w2=14.840 rad/s;測量得出大臂旋轉(zhuǎn)的角度為32°,得到間隔的時間為0.147 s,計算得出角速度w3=3.803 rad/s,線性疊加得到的理論速度為:0.67×50.262+0.35×14.840+0.3×3.803=40.01(m/s)。

        實際值與理論值之比為:33.67/40.01≈0.84。

        3.4 專業(yè)運動員揮拍分析

        根據(jù)指導(dǎo)教師給出的人體骨架模型,對運動員進(jìn)行相關(guān)分析計算(見圖3)。

        圖3 人體骨架模型相關(guān)演示

        因為放慢倍數(shù)未知,可取系數(shù)a,本工作的結(jié)果是求出實際速度與理論速度的比例,故可將放慢倍數(shù)省略,通過計算得到時間為0.067 s,l為球拍長度67.5 cm,可得s=0.349 m,得到實際速度為5.24 am/s。

        下一步進(jìn)行理論速度的計算,球拍旋轉(zhuǎn)的角度為32°,間隔的時間為0.1 s,計算得出角速度w1=6.283 rad/s;測量得出小臂旋轉(zhuǎn)的角度為37°,得到間隔的時間為0.3 s,計算得出角速度為w2=2.153 rad/s;測量得出大臂旋轉(zhuǎn)的角度為31°,得到間隔的時間為1 s,計算得出角速度為w3=0.541 rad/s;測量得出身體旋轉(zhuǎn)的角度為31°,得到間隔的時間為5.633 s,得出角速度為w4=0.096 rad/s。線性疊加得到的理論速度為0.67×6.28+0.35×2.15+0.3×0.54+1.7×0.096=5.28(am/s)。

        實際值與理論值之比為:5.24/5.28≈0.992。

        4 結(jié)論與建議

        通過模型建立以及對案例的具體分析,從普通人和運動員兩個部分分別分析。先將羽毛球運動分解為大臂、小臂、身體轉(zhuǎn)動和球拍四部分,逐步分析實際速度與理論速度的差別。通過分析得出:業(yè)余球員揮拍速度主要依靠最后一個關(guān)節(jié)的角速度,在缺少身體轉(zhuǎn)動的時候依舊只能達(dá)到理論值的84%。而職業(yè)球員四段發(fā)力的傳導(dǎo)完整,實際速度與理論速度高度一致。故對于業(yè)余球員來說,提升球技依舊需要鍛煉揮拍的集中發(fā)力,加強(qiáng)整體發(fā)力的協(xié)調(diào)性,這比單純的力量訓(xùn)練對球速的提升更明顯。

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