李桃

［摘? 要］ 文章以“等差數(shù)列的前n項和”教學為例，踐行章建躍博士提出的“兩個過程”合理性理念，即數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性以及學生認知過程的合理性，設計出知識生成環(huán)節(jié)的多條教學活動路線，與同行專家探討.

［關鍵詞］ 兩個過程；合理性；優(yōu)效教學；等差數(shù)列求和

問題緣起

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，教師要為“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”提供優(yōu)質的、可供學生多樣選擇的數(shù)學學習資源［1］. 換言之，優(yōu)質高效的教學應確保不同水平的學生都能學到數(shù)學知識、都能領悟數(shù)學思想、都能提高數(shù)學素養(yǎng).章建躍博士提出的“兩個過程”合理性理念，正好體現(xiàn)并落實新課程標準的基本理念和育人目標要求. 具體來說，在教學中做到“兩個過程”合理性，即在數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性以及學生認知過程的合理性上加強思考，這是讓不同層次的學生都能發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵點. 鑒于新課程新課標新高考背景下，高中學校實施學科分層教學的現(xiàn)狀，筆者基于“兩個過程”合理性理念，對等差數(shù)列的前n項和公式的生成過程進行了多樣化教學設計.

教學內容的認識

前n項和公式是等差數(shù)列的又一重要性質，是進一步認識等差數(shù)列函數(shù)特性的又一重要角度，是感受等差數(shù)列與一次函數(shù)、一元二次函數(shù)的關系，體會數(shù)學整體性的又一重要載體.等差數(shù)列的前n項和公式不僅是等差數(shù)列定義、通項公式和有關性質的延續(xù)，而且為后面類比等比數(shù)列的前n項和公式提供了學習內容、思維方法，是數(shù)列單元承上啟下的重要內容［2］.

尋找合適的算理、算法是推導公式的基本線索. 推導過程可以從簡單到復雜、從特殊到一般，歷史與現(xiàn)實有機結合，算法與性質交融并進. 怎樣讓等差數(shù)列前n項和公式的推導過程能夠自然地呈現(xiàn)出來，是學生理解公式推導過程合理性的關鍵.

設計路線的思考

對于人教A版（2019年）教材的設計，筆者認為：（1）教材以高斯巧算1到100的連續(xù)整數(shù)之和為基本問題，這是四年級就出現(xiàn)的題目，可想而知，這并不符合大部分學生的認知水平. （2）在推導過程中，教材從特殊（1到100的連續(xù)整數(shù)求和）到一般（1到n的前n個連續(xù)整數(shù)求和），再讓學生思考如何避免討論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，在此引出“倒序相加法”. 該推導路徑冗長、跨度大，有待優(yōu)化. 既然已經完成1到n的前n個連續(xù)整數(shù)求和，可以自然地推導公式S=na+d.足見，教材所設計的知識發(fā)生發(fā)展過程是否合理有待商榷. 鑒于此，筆者從“直面難點”“淡化難點”“回避難點”這三個層次對等差數(shù)列前項n和公式的生成階段進行了教學新設計.

1. “直面難點”的技術路線

采用問題解決型命題教學模式，其基本思想是把命題還原為一個抽象的數(shù)學問題，通過解決問題而得到命題. 解題過程對發(fā)展學生的直覺思維，提高學生的邏輯推理能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識有積極作用［3］.

環(huán)節(jié)1 提出數(shù)學問題.

如圖3所示，設想有另外一堆同樣的草，將其倒置，并和原來的草堆拼在一起，這樣草堆就共有8×9=72（束），因此原來的草堆共有36束.

環(huán)節(jié)2 探究算理：請學生分析此巧妙算法的應用前提和推廣價值.

教師鼓勵學生各抒己見，明確關鍵因素是各行的數(shù)量構成等差數(shù)列，即可以采用“平行倒置”的策略.

環(huán)節(jié)3 遷移應用：請學生自行推導等差數(shù)列的前n項和公式，易得S=. 教師指出這種方法叫做倒序相加法.

5. “回避難點”的技術路線

采用呈現(xiàn)型命題教學模式，教師直接給出公式S=，然后要求學生證明公式.

這就回避了“公式發(fā)現(xiàn)”，降低了問題的難度，但還留有“公式證明”的時間和空間. 學生可以采用分析法、綜合法進行證明，在證明的過程中運用等差數(shù)列的性質進行分析，體會“倒序相加法”，依然能夠滲透數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

以上基于學生的起點能力、認知特點不盡相同，構建了不同的技術路線和知識生成過程. 課堂教學的流程雖然不同，但都能讓學生達到課程的目標和要求，能夠有效發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

結束語

高中數(shù)學優(yōu)質高效教學要求教師正視學生知識水平和認知能力的差異性，注重因材施教，致力于學生的“可持續(xù)發(fā)展”，強調學生理性思維、核心素養(yǎng)以及創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和發(fā)展，關注學生數(shù)學思維方式的形成以及數(shù)學基本活動經驗的獲得，關注課堂教學的預設與生成，追求課堂教學的優(yōu)質高效［4］. 因此，一方面，教師要基于對數(shù)學及學生的理解和認識，著眼于“兩個過程”合理性，設計適合學生的教學方案；另一方面，教師要做好充分的教學預設，才能根據(jù)課堂教學的生成情況及時調整優(yōu)化教學方案，確保不同水平的學生都能學到數(shù)學知識、都能領悟數(shù)學思想、都能提高數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學用書（數(shù)學選擇性必修第二冊）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 喻平. 數(shù)學教學心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2018.

［4］ 肖凌戇. 高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的十年探索［J］，中國數(shù)學教育，2020（10）：20-25.