吳莖潔 吳子昊

［摘? 要］ 立體幾何教學(xué)是提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的重要載體之一，高三復(fù)習(xí)往往涉及復(fù)雜的立體圖形的體積問題.文章以“割補(bǔ)法”為視角，分析三種類型的立體幾何體積問題，并通過設(shè)計(jì)、實(shí)踐教學(xué)，以有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 割補(bǔ)法；立體幾何；體積問題；直觀想象

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將直觀想象列為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，并指出其重要作用：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)［1］. 直觀想象是一種重要的思維方式，也是數(shù)學(xué)認(rèn)知的重要環(huán)節(jié)［2］，教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)是值得教師研究和關(guān)注的問題.

有研究指出，直觀想象素養(yǎng)的本質(zhì)是基于幾何圖形進(jìn)行想象的思維能力［3］，立體幾何教學(xué)則是提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的重要載體之一，學(xué)生借助幾何直觀、空間想象能感受物體形狀的多樣性，利用幾何圖形能解決數(shù)學(xué)問題. 因此，利用立體幾何問題，在課堂教學(xué)中可有效發(fā)展和提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)內(nèi)容解析

在高中數(shù)學(xué)中，立體幾何在發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用. 在教學(xué)中，教師要結(jié)合立體幾何內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)一般到特殊研究立體圖形及其位置關(guān)系的過程［4］.而高三復(fù)習(xí)往往涉及如棱錐等立體圖形的體積問題，如何巧妙地將復(fù)雜圖形分割或補(bǔ)全為較簡(jiǎn)單的圖形或特殊圖形，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化是立體幾何教學(xué)的難點(diǎn)之一.

割補(bǔ)法在高三第一學(xué)期推導(dǎo)錐體體積公式時(shí)起到了重要作用，是實(shí)現(xiàn)空間幾何體之間相互轉(zhuǎn)化的一條有效途徑. “割”能把復(fù)雜或不熟悉的幾何體分割成簡(jiǎn)單的或熟悉的幾何體，“補(bǔ)”能把不熟悉的幾何體補(bǔ)全為熟悉的幾何體，將復(fù)雜問題通過幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化變得簡(jiǎn)潔明了.掌握割補(bǔ)法能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)未知幾何體與已知幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系，其蘊(yùn)含了辯證統(tǒng)一的唯物主義思想，從這個(gè)意義上來說，割補(bǔ)法符合立體幾何內(nèi)容的內(nèi)在邏輯與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)有重要意義.

本節(jié)高三專題復(fù)習(xí)課以“割補(bǔ)法”為主題，使學(xué)生感悟教材推導(dǎo)錐體體積公式所用的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三種類型的立體幾何體積問題進(jìn)行分析、求解，使學(xué)生掌握解決此類與棱錐有關(guān)的立體幾何問題的一種常用方法——割補(bǔ)法，體會(huì)割補(bǔ)法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)化歸思想. 除此之外，通過三種類型的立體幾何體積問題的解決，歸納其共同點(diǎn)，分辨其差異性，總結(jié)出解決此類問題的一般方法和規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)此類問題的理解程度，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)，有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）分析棱錐有關(guān)問題，使學(xué)生掌握解決此類問題的一種常用方法——割補(bǔ)法.

（2）通過幾何體的轉(zhuǎn)化，體會(huì)割補(bǔ)法蘊(yùn)含的化歸思想，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：棱錐有關(guān)問題中割補(bǔ)法的應(yīng)用.

（2）難點(diǎn)：通過割補(bǔ)法發(fā)現(xiàn)未知幾何體與已知幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系.

教學(xué)過程

1. 課堂引入

割補(bǔ)法在滬教版高中教材中推導(dǎo)錐體的體積公式時(shí)起到了重要作用（實(shí)際上，在2020年出版并投入使用的滬教版高中數(shù)學(xué)新教材必修第三冊(cè)中也有類似內(nèi)容，但由于筆者執(zhí)教的高三年級(jí)的入學(xué)時(shí)間為2019年，當(dāng)時(shí)尚未使用新教材，故選取滬教版舊教材中的相應(yīng)內(nèi)容作為教學(xué)載體），我們先將n棱錐分割成n－2個(gè)三棱錐，將求n棱錐的體積問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積問題.

設(shè)計(jì)意圖 出示本題旨在考查學(xué)生是否真正掌握了割補(bǔ)法并且能靈活使用. 求解本題不僅可以采用“割”的方法，還可以采用“補(bǔ)”的方法，方法較多，學(xué)生能夠從不同角度進(jìn)行探究，體會(huì)割補(bǔ)法蘊(yùn)含的化歸思想，從而提升直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)實(shí)踐反思

在解決立體幾何體積問題時(shí)，部分學(xué)生往往感到圖形不規(guī)則，難以使用常規(guī)方法進(jìn)行計(jì)算. 實(shí)際上，空間圖形中有一些簡(jiǎn)單的“基本圖形”，如正方體（長(zhǎng)方體）、正四面體、球，它們類似于平面圖形中的直角三角形、等邊（等腰）三角形、圓. 正方體（長(zhǎng)方體）作為最基本的空間圖形，其原型在生活中隨處可見.這節(jié)課講解的割補(bǔ)法正是運(yùn)用了這一點(diǎn)，把與棱錐有關(guān)的圖形轉(zhuǎn)化成正方體（長(zhǎng)方體），將不熟悉的復(fù)雜圖形化歸為熟悉的圖形，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化. 另外，在運(yùn)用割補(bǔ)法對(duì)空間圖形進(jìn)行“割”“補(bǔ)”的操作過程中，也鍛煉了學(xué)生的空間想象能力，能有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七［J］. 課程·教材·教法，2017，37（04）：8-14.

［3］ Kozhevnikov M，Hegarty M，Mayer R E. Revising the Visualizer-vervalizer Dimension： Evidence for Two Types of Visualizers［J］. Cognition and Instruction，2002，20（1）：47-77.

［4］ 李海東. 基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設(shè)計(jì)與教學(xué)思考［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（01）：8-11.