吳其林，林育明，崔崢嶸，趙曉敏

（1.合肥學(xué)院先進(jìn)制造工程學(xué)院，合肥 230601；2.合肥工業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，合肥 230009）

前言

近年來(lái)，得益于信息技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，多智能體協(xié)同控制逐漸成為當(dāng)下熱點(diǎn)研究?jī)?nèi)容之一。當(dāng)前主要研究?jī)?nèi)容在于如何通過(guò)合理的控制算法和協(xié)作策略，使得智能體組合成一定的編隊(duì)形態(tài)并遵循期望的行為模式，包括一致性、跟蹤、編隊(duì)、包含、聚合等［1-5］。其中，多智能體編隊(duì)包含控制在物資運(yùn)輸中發(fā)揮了重要作用。編隊(duì)包含模式由外圍編隊(duì)和內(nèi)部包含兩種行為組成：外圍成員形成穩(wěn)定的隊(duì)形后，監(jiān)控周圍環(huán)境，識(shí)別和排除潛在的安全風(fēng)險(xiǎn)；而用于運(yùn)輸重要物資的成員則在外圍成員編隊(duì)的保護(hù)中執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)。編隊(duì)包含控制技術(shù)可以有效保障運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的安全性，在軍事、工業(yè)、自動(dòng)化領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用，正逐步應(yīng)用于無(wú)人機(jī)、無(wú)人車等運(yùn)載工具。

文獻(xiàn)［6］中首次提出了切換工作模式下的多智能體系統(tǒng)編隊(duì)包含控制問(wèn)題，并指出這類協(xié)同模式具有較好的魯棒性、可擴(kuò)展性和適應(yīng)性。在編隊(duì)包含問(wèn)題提出后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始對(duì)其進(jìn)行更廣泛更深入的研究［7-12］。文獻(xiàn)［13］中研究了基于有向圖論的高階線性時(shí)不變多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)包含問(wèn)題，開(kāi)發(fā)了一種啟發(fā)式迭代算法來(lái)計(jì)算控制器增益、觀測(cè)器增益以及補(bǔ)償信號(hào)。文獻(xiàn)［14］中通過(guò)變量代換將編隊(duì)包含控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一致性問(wèn)題，利用Laplacian 矩陣的特殊性質(zhì)以及領(lǐng)航者、跟隨者之間關(guān)系，將一致性問(wèn)題簡(jiǎn)化為低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)［15］中研究了在有向圖下具有參數(shù)不確定性和輸入擾動(dòng)的多個(gè)Euler-Lagrange系統(tǒng)編隊(duì)包含問(wèn)題。文獻(xiàn)［16］中從有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的觀測(cè)器角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一類新的基于分布式自適應(yīng)觀測(cè)器的控制器。文獻(xiàn)［17］中針對(duì)有向通信拓?fù)涞木€性時(shí)不變?nèi)合到y(tǒng)，提出了一種雙層分布式編隊(duì)包含控制方案。文獻(xiàn)［18］中針對(duì)有界輸入和時(shí)變時(shí)滯的Euler-Lagrange 方程建模系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了分布式動(dòng)態(tài)控制算法，并提出了保證網(wǎng)絡(luò)收斂的充分條件。

目前對(duì)于編隊(duì)包含控制的研究仍存在一些困難與挑戰(zhàn)：主要是避撞性問(wèn)題以及系統(tǒng)不確定性問(wèn)題。首先，多智能體在進(jìn)行編隊(duì)和包含運(yùn)動(dòng)時(shí)，各智能體之間的位置相互靠近，可能會(huì)造成各成員的碰撞；其次，系統(tǒng)模型存在各類不確定性，這些不確定性可能來(lái)自外界擾動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)變化等，直接影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，現(xiàn)有的處理方法主要有魯棒控制［19-21］、自適應(yīng)控制［22-23］、模糊方法［24-25］等。傳統(tǒng)的魯棒控制容易導(dǎo)致控制輸入過(guò)剩，而模糊法中模糊推理的制定需要專業(yè)人員長(zhǎng)時(shí)間的探索和大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。因此，本文重點(diǎn)考慮了編隊(duì)包含模式下成員間的避撞性以及系統(tǒng)不確定性影響，基于約束跟隨控制的方式實(shí)現(xiàn)多車系統(tǒng)的編隊(duì)、包含行為。主要有以下3 方面貢獻(xiàn)：首先，在系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通過(guò)合理的避撞約束保證多車間的避撞性能；其次，采用層級(jí)約束的形式，分別設(shè)計(jì)了領(lǐng)航層編隊(duì)約束和跟隨層包含約束，通過(guò)約束跟隨的形式完成編隊(duì)包含行為；最后，考慮了系統(tǒng)的時(shí)變不確定性，通過(guò)一類漸虧型自適應(yīng)律估計(jì)系統(tǒng)的綜合不確定性，并基于此設(shè)計(jì)了自適應(yīng)魯棒控制器，實(shí)現(xiàn)多無(wú)人車的編隊(duì)包含行為，并在全過(guò)程中保證了各成員間的避撞性。

1 系統(tǒng)模型

編隊(duì)包含系統(tǒng)如圖1 所示，考慮由N輛無(wú)人車組成的編隊(duì)包含系統(tǒng)，其中包括K輛領(lǐng)航車和NK輛跟隨車，定義系統(tǒng)集合N={1，2，…，N}，定義領(lǐng)航車集合L={1，2，…，K}，定義跟隨車集合為F={K+1，K+2，…，N}。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

圖1 編隊(duì)包含系統(tǒng)

式中：qi=[xi，yi]T表示坐標(biāo)；τi=[τix，τiy]T表示控制輸 入；Mi表示質(zhì)量；Ci為科里奧利力；Fi=[Fix，F(xiàn)iy]T表示所受到的外界阻力之和，包括滾動(dòng)阻力、坡度阻力等；σi∈Σi?Rpi是未知參數(shù)，代表系統(tǒng)的不確定性。

2 層級(jí)編隊(duì)約束設(shè)計(jì)

2.1 避撞約束設(shè)計(jì)

設(shè)任意兩車的距離為ΔSij(t)：

式中：qi與qj表示任意兩車的坐標(biāo)；表示以車輛質(zhì)心為圓心的安全半徑。進(jìn)一步定義：

構(gòu)造如下函數(shù)：

對(duì)式（4）求1階和2階導(dǎo)數(shù)：

設(shè)計(jì)1階避撞約束為=0，即

設(shè)計(jì)2階避撞約束=0，即

則式（7）、式（8）可分別寫(xiě)成如下形式：

式中i，j∈{1，2，…，N}，i≠j。現(xiàn)將各車的避撞約束歸納寫(xiě)成如下形式：

當(dāng)i=2，3，…，N-1時(shí)：

2.2 領(lǐng)航層隊(duì)形約束設(shè)計(jì)

定義期望編隊(duì)為：qj(t)-qk(t)=?jk，其中，?jk∈R2為表示任意兩領(lǐng)航車輛相對(duì)位置的常向量。由此可定義編隊(duì)誤差如下：

設(shè)置1階編隊(duì)約束：

式中l(wèi)jk>0 為常量。上述1 階約束的解為ejk(t)=ejk(t0)ejk-ljkt，當(dāng)t→∞時(shí)，誤差ejk將收斂到0，且以指數(shù)形式的速度收斂，收斂速度與常量ljk有關(guān)。

對(duì)式（19）求導(dǎo)可得2階約束形式：

對(duì)式（18）求導(dǎo)后整理得：

代入式（19）、式（20）可得：

則式（22）與式（23）可寫(xiě)成：

1階和2階約束分別歸納寫(xiě)成如下形式：

2.3 跟隨層隊(duì)形約束設(shè)計(jì)

令跟隨車與各領(lǐng)航車的位置關(guān)系滿足：

由式（30）可定義跟隨車輛的包含誤差：

設(shè)置包含約束：

式中l(wèi)s>0為常量。對(duì)式（32）求導(dǎo)得：

接著，對(duì)式（31）求1階和2階導(dǎo)數(shù)得：

將式（34）與式（35）分別代入式（32）與式（33）：

包含約束式（36）與式（37）可寫(xiě)成：

3 層級(jí)編隊(duì)控制設(shè)計(jì)

將全體車輛約束歸納如下：

領(lǐng)航層與跟隨層中任意車輛i的約束為

定義1階約束跟隨誤差：

對(duì)式（44）求導(dǎo)得：

由式（1）得：

接著，將Mi、Ci、Fi進(jìn)行分解如下：

假設(shè)1：對(duì)于每一個(gè)(qi，t) ∈Rn×R，σi∈Σi，質(zhì)量矩陣Mi(qi，σi，t)是正定的。

假設(shè)2：對(duì)于任意方陣Pi∈Rn×n，Pi>0，令

存在一個(gè)可能未知的常量ρEi滿足：

假設(shè)2 實(shí)際上是對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)量不確定性的界限做出了一定的限制，即標(biāo)稱質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量之間的偏差有界。

假設(shè)3：

（1）存在一個(gè)常向量αi∈(0，∞)ki和一個(gè)已知函數(shù)Πi：(0，∞)ki×R2N×R2N×R2N×R →R+，

（3）該函數(shù)為關(guān)于αi的非遞減函數(shù)。

假設(shè)3 中的函數(shù)Πi(αi，q，，，t)實(shí)際上表示的是系統(tǒng)不確定性的上界。

基于以上假設(shè)，給出控制器形式如下：

給出的控制器由3部分組成，前兩部分為

pi1是由Udwadia-Kalaba 方程得到的理想約束力，具體推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)［26］。pi2中的λi為大于0 的常量參數(shù)，ηi=Ai-ci表示系統(tǒng)的約束跟隨誤差。

控制器的第3部分控制：

式中：εi>0 為常量參數(shù)；r為大于2 的整數(shù)；由式（59）漸虧型自適應(yīng)律控制。

其中，Πi(，q，，，t)用于估計(jì)不確定性的上界，即假設(shè)3中的Πi(αi，q，，，t)。由于假設(shè)3中的αi無(wú)法確定，因而采用式（59）自適應(yīng)律中的來(lái)估計(jì)αi的值。

控制設(shè)計(jì)思路如圖2 所示。針對(duì)領(lǐng)航者，設(shè)計(jì)編隊(duì)約束以及避撞約束，得到領(lǐng)航層的理想編隊(duì)控制，再通過(guò)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)Π函數(shù)，從而設(shè)計(jì)補(bǔ)償不確定性的控制部分。跟隨層控制設(shè)計(jì)同理。

圖2 控制設(shè)計(jì)思路

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)其求1階導(dǎo)數(shù)：

分析式（61）第1項(xiàng)，由式（46）有：

由式（54）有

由式（55）可得：

由式（56）可得：

由式（57）得，式（65）等號(hào)右邊第1項(xiàng)有：

回顧假設(shè)2，式（65）等號(hào)右邊的第2項(xiàng)有：

將式（66）、式（67）和式（58）代入式（65）得：

由式（51）可得：

將式（63）、式（64）、式（68）和式（69）代入式（62）得：

接著，分析整理式（61）等號(hào)右邊第2項(xiàng)：

將式（70）、式（71）代入式（61）可得：

系統(tǒng)還具有一致最終有界性：

4 仿真結(jié)果與分析

選取N=7 輛無(wú)人車，其中包括K=4 輛領(lǐng)航車。安全半徑選取=0.5。

跟隨隊(duì)形參數(shù)選?。?51=?52=0.4，?53=?54=0.1；?61=?62=?64=0.17，?63=0.49；?71=?72=?73=0.17，?74=0.49。

系統(tǒng)參數(shù)：M1，2，3，4=60+3sint，M5，6，7=70+4sint

根據(jù)假設(shè)3，可選取Πi函數(shù)：

式 中αi1，αi2，αi3>0 是未知的常數(shù)參數(shù)且αi=max{αi1，αi2/2，αi3}。

選取初始條件：q1=[0 0]T，q2=[-1 3]T，q3=[4-3]T，q4=[5 5]T，q5=[6 2]T，q6=[7 3]T，q7=[9 4]T，=[1 0]T(i=1，2，…，7)。

仿真結(jié)果如圖3～圖12所示。

圖3 隊(duì)形變化情況

圖3（a）～圖3（d）分別表示t=0、t=2 s、t=5 s、t=20 s時(shí)隊(duì)形變化情況。在t=0時(shí)，各車位置無(wú)明顯的編隊(duì)關(guān)系；在t=2 s時(shí)，跟隨車5、6已基本進(jìn)入到領(lǐng)航車包圍中；t=5 s 時(shí)，領(lǐng)航車和跟隨車輛分別初步形成了領(lǐng)航編隊(duì)跟隨隊(duì)形；t=20 s 時(shí)，領(lǐng)航車和跟隨車已形成穩(wěn)定的編隊(duì)包含隊(duì)形。

圖4 顯示了領(lǐng)航車Sij的變化情況。各車距離在t=15 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。S12、S13、S24和S34均穩(wěn)定在24 m 左右；S14、S23均穩(wěn)定在49 m 左右。整個(gè)過(guò)程始終有Sij>0。

圖4 領(lǐng)航車距離變化

圖5 顯示了各跟隨車Sij變化情況。在t=25 s時(shí)刻后，S56、S57均穩(wěn)定在5 m 左右；S67穩(wěn)定在2.5 m左右，整個(gè)過(guò)程始終有Sij>0。

圖5 跟隨車距離變化

圖6 顯示了任意領(lǐng)航車與任意跟隨車之間Sij變化情況。在全過(guò)程中，Sij均大于0。

圖6 其余車距變化

圖7 顯示各領(lǐng)航車的編隊(duì)誤差ejk情況。各誤差在t=15 s 后均下降到0 左右，并在之后穩(wěn)定保持在0附近。

圖7 領(lǐng)航車編隊(duì)誤差

圖8 顯示了跟隨車的包含誤差es變化情況。在t∈[0，10] s 內(nèi)，包含誤差均快速降至0 左右，在t∈[10，20] s 內(nèi)，波動(dòng)逐漸減小，在t=25 s 之后無(wú)明顯波動(dòng)。

圖8 跟隨車包含誤差

圖9 各車約束跟隨誤差

圖10 顯示了各車的自適應(yīng)參數(shù)變化情況。領(lǐng)航車自適應(yīng)參數(shù)在t∈[0，5] s內(nèi)先快速增大，后逐漸減??；而跟隨車的自適應(yīng)參數(shù)則保持相對(duì)較小。

圖10 各車自適應(yīng)參數(shù)

圖11 和圖12 分別顯示各車在X、Y方向的控制輸入情況。各車控制輸入先快速增大后減小，峰值在500 N 左右。在t=10 s 后，各無(wú)人車在X、Y方向上的控制輸入逐漸穩(wěn)定。其中，領(lǐng)航車輛的控制輸入均穩(wěn)定在0 左右，只有輕微的波動(dòng)，且波動(dòng)越來(lái)越??；而跟隨車輛的控制輸入均穩(wěn)定在-20 N左右。

圖11 各車X方向上的控制輸入

圖12 各車Y方向上的控制輸入

5 結(jié)論

本文針對(duì)多車協(xié)同系統(tǒng)中存在的不確定性問(wèn)題，基于Udwadia-Kalaba 方程設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)魯棒控制方法，并應(yīng)用到多無(wú)人車編隊(duì)包含協(xié)同系統(tǒng)中。對(duì)于系統(tǒng)中存在的快速時(shí)變不確定性，構(gòu)建了不確定性邊界估計(jì)函數(shù)，通過(guò)漸虧型自適應(yīng)律估計(jì)不確定參數(shù)，從而設(shè)計(jì)了針對(duì)系統(tǒng)不確定性的補(bǔ)償部分。通過(guò)李雅普諾夫方法驗(yàn)證了系統(tǒng)具有一致有界性和一致最終有界性，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果顯示：針對(duì)初始零散分布的多無(wú)人車系統(tǒng)，在所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制作用下，各成員按照領(lǐng)航車和跟隨車劃分，分別形成矩形編隊(duì)和包含隊(duì)形，并在全過(guò)程中無(wú)任何碰撞發(fā)生。